{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/33.2","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"33.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33.2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWyrzucona piłeczka osiągnęła największą wysokość w chwili\nA. 𝑡= 1,5 s\nB. 𝑡= 2 s\nC. 𝑡= 2,5 s\nD. 𝑡= 3 s\n\nMMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMAP-P0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023","answer":"A","answer_text":"Zadanie 33.2. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nXIII) rozwiązuje zadania optymalizacyjne\nw sytuacjach dających się opisać funkcją\nkwadratową.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nA\nD\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nOcena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nObowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez stwierdzonej\ndyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\nI. ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze\nstwierdzoną dyskalkulią (punkty 1.-12.);\nII. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy\nosób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom\npodstawowy, termin główny 2026.\nI. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek wynikających z:\nbłędnego przepisania\nprzestawienia cyfr\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie\nprzestawienia położenia przecinka\nprzestawienia położenia znaku liczby.\n2. W przypadku błędów wynikających ze zmiany znaku liczby należy w każdym zadaniu\noddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę\nrozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej\n1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub\nzapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne\nrozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt\nza rozwiązanie zadania.\n5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.\n6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności\nkwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.\n7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej\nzdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji\nkwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.\n8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych\nlub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie\ntakiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.\n9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych, lub zapisze zależności pozwalające rozwiązać zadanie.\n10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych\nsprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje\nprawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.\n11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.\n12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub\ngeometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która\nwyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać\n1 punkt.\nII. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób\nze stwierdzoną dyskalkulią\nZadanie 7.\nUwaga:\nNie stosuje się uwagi 4. z zasad oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 10.\n1 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego\n3𝑥2 -2𝑥-8, tzn. zastosowanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego\ni obliczenie tych pierwiastków,\nALBO\n- konsekwentne (do otrzymanego w wyniku popełnienia błędów o charakterze\ndyskalkulicznym ujemnego lub równego zero wyróżnika) narysowanie paraboli,\nALBO\n- poprawne rozwiązanie nierówności 3𝑥2 + 4𝑥≥0 (tzn. stosuje się punkt 6.\nogólnych zasad oceniania),\nALBO\n- konsekwentne (do wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz do rozpatrywanego\ntrójmianu i nierówności) wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności.\nUwagi:\n1. Nie stosuje się uwag 3., 4. i 5. z zasad oceniania arkusza standardowego.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n2. Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎+ 𝑏√𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są\nliczbami wymiernymi.\nZadanie 11.\n1 pkt - zapisanie równania 0,75 ⋅(35𝑥+ 25𝑦) = 4665\nALBO\n- obliczenie przychodu organizatorów przedstawienia: 6220 zł.\nZadanie 12.1.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 12.2.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 14.\n2 pkt - zapisanie miejsc zerowych funkcji 𝑓: 𝑥1 = 1, 𝑥2 = 5,\nALBO\n- zapisanie wzoru funkcji 𝑔 w postaci 𝑔(𝑥) = 𝑎(𝑥-2)2 -2,\nALBO\n- zapisanie wzoru funkcji 𝑔 w postaci 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥(𝑥-4),\nALBO\n- zapisanie, że wierzchołkiem wykresu funkcji 𝑔 jest punkt o współrzędnych (2, -2),\noraz zapisanie, że drugim miejscem zerowym funkcji 𝑔 jest liczba 4.\n1 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-𝑝)2 + 𝑞 oraz zapisanie\n𝑝= 3 oraz 𝑞= -2\nALBO\n- zapisanie jednego z równań:\n-𝑏\n2𝑎= 3\n-∆\n4𝑎= -2\n𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= -2\n𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0\nZadanie 15.\n2 pkt - obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego (𝑎1, 𝑎9, 𝑎𝑘): 𝑞= 4\nALBO\n- obliczenie wyrazów 𝑎1 oraz 𝑎9: 𝑎1 = 8, 𝑎9 = 32, oraz wykorzystanie własności\nciągu geometrycznego i zapisanie związku między wyrazami 𝑎1\n, 𝑎9\n, 𝑎𝑘\n, np.\n(𝑎9)2 = 𝑎1 ⋅𝑎𝑘 .\n1 pkt - obliczenie wyrazu 𝑎1: 𝑎1 = 8\nALBO\n- obliczenie wyrazu 𝑎9: 𝑎9 = 32.\nZadanie 17.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 21.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 22.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 27.\n1 pkt - zastosowanie definicji funkcji trygonometrycznej lub związków miarowych w trójkącie\no kątach 30°, 60°, 90° i zapisanie równania z jedną niewiadomą (wysokością\nostrosłupa), np.: 𝐻\n4√3 = tg 30°, 𝐻\n4√3 =\n√3\n3 ,\nALBO\n- obliczenie długości krawędzi podstawy ostrosłupa: 𝑎= 4√6.\nZadanie 30.\n1 pkt - zapisanie jedynie liczby 25 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich\nzdarzeń elementarnych).\nUwagi:\n1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi ze\nstandardowych zasad oceniania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające\nzdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. |𝐴| = 8) i konsekwentnie zapisze\nwynik (np. 8\n25), to otrzymuje 2 punkty.","solution":"**A** — $t = 1{,}5$ s.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-33.2.webp","solution_image":null,"topics":"funkcja kwadratowa, zastosowanie fizyczne, wierzchołek paraboli, Optymalizacja, funkcje","page_from":33,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 33.2. (0-1)<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Wyrzucona piłeczka osiągnęła największą wysokość w chwili<br>A. 𝑡= 1,5 s<br>B. 𝑡= 2 s<br>C. 𝑡= 2,5 s<br>D. 𝑡= 3 s</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>MMAP-P0_100</p>\n<p>MATEMATYKA<br>Poziom podstawowy<br>Formuła 2023<br>MATEMATYKA<br>Poziom podstawowy<br>Formuła 2023<br>MATEMATYKA<br>Poziom podstawowy<br>Formuła 2023</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 33.2. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.</p>\n<ol><li>Interpretowanie i operowanie</li></ol>\n<p>informacjami przedstawionymi w tekście,<br>zarówno matematycznym, jak<br>i popularnonaukowym, a także w formie<br>wykresów, diagramów, tabel.<br>Zdający:<br>XIII) rozwiązuje zadania optymalizacyjne<br>w sytuacjach dających się opisać funkcją<br>kwadratową.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>Wersja A<br>Wersja B<br>A<br>D<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Ocena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią<br>Obowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez stwierdzonej<br>dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:<br>I. ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze<br>stwierdzoną dyskalkulią (punkty 1.-12.);<br>II. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy<br>osób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom<br>podstawowy, termin główny 2026.<br>I. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną<br>dyskalkulią</p>\n<ol><li>Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek wynikających z:</li></ol>\n<p>błędnego przepisania<br>przestawienia cyfr<br>zapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie<br>przestawienia położenia przecinka<br>przestawienia położenia znaku liczby.</p>\n<ol><li>W przypadku błędów wynikających ze zmiany znaku liczby należy w każdym zadaniu</li></ol>\n<p>oddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza<br>umiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania<br>badanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.</p>\n<ol><li>We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę</li></ol>\n<p>rozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej<br>1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.</p>\n<ol><li>Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub</li></ol>\n<p>zapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne<br>rozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt<br>za rozwiązanie zadania.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu</li></ol>\n<p>kwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę<br>wyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania<br>wartościach liczbowych.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający</li></ol>\n<p>może otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności<br>kwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej</li></ol>\n<p>zdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji<br>kwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych</li></ol>\n<p>lub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie<br>takiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na</li></ol>\n<p>płaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu<br>rozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur<br>geometrycznych, lub zapisze zależności pozwalające rozwiązać zadanie.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać</li></ol>\n<p>przynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych<br>sprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje<br>prawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli</li></ol>\n<p>podaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia<br>rozwiązania.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub</li></ol>\n<p>geometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która<br>wyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać<br>1 punkt.<br>II. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób<br>ze stwierdzoną dyskalkulią<br>Zadanie 7.<br>Uwaga:<br>Nie stosuje się uwagi 4. z zasad oceniania arkusza standardowego.<br>Zadanie 10.<br>1 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego<br>3𝑥2 -2𝑥-8, tzn. zastosowanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego<br>i obliczenie tych pierwiastków,<br>ALBO</p>\n<ul><li>konsekwentne (do otrzymanego w wyniku popełnienia błędów o charakterze</li></ul>\n<p>dyskalkulicznym ujemnego lub równego zero wyróżnika) narysowanie paraboli,<br>ALBO</p>\n<ul><li>poprawne rozwiązanie nierówności 3𝑥2 + 4𝑥≥0 (tzn. stosuje się punkt 6.</li></ul>\n<p>ogólnych zasad oceniania),<br>ALBO</p>\n<ul><li>konsekwentne (do wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz do rozpatrywanego</li></ul>\n<p>trójmianu i nierówności) wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Nie stosuje się uwag 3., 4. i 5. z zasad oceniania arkusza standardowego.</li></ol>\n<p>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>\n<ol><li>Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎+ 𝑏√𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są</li></ol>\n<p>liczbami wymiernymi.<br>Zadanie 11.<br>1 pkt - zapisanie równania 0,75 ⋅(35𝑥+ 25𝑦) = 4665<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie przychodu organizatorów przedstawienia: 6220 zł.</li></ul>\n<p>Zadanie 12.1.<br>Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.<br>Zadanie 12.2.<br>Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.<br>Zadanie 14.<br>2 pkt - zapisanie miejsc zerowych funkcji 𝑓: 𝑥1 = 1, 𝑥2 = 5,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie wzoru funkcji 𝑔 w postaci 𝑔(𝑥) = 𝑎(𝑥-2)2 -2,</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie wzoru funkcji 𝑔 w postaci 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥(𝑥-4),</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie, że wierzchołkiem wykresu funkcji 𝑔 jest punkt o współrzędnych (2, -2),</li></ul>\n<p>oraz zapisanie, że drugim miejscem zerowym funkcji 𝑔 jest liczba 4.<br>1 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-𝑝)2 + 𝑞 oraz zapisanie<br>𝑝= 3 oraz 𝑞= -2<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie jednego z równań:</li></ul>\n<p>-𝑏<br>2𝑎= 3<br>-∆<br>4𝑎= -2<br>𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= -2<br>𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0<br>Zadanie 15.<br>2 pkt - obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego (𝑎1, 𝑎9, 𝑎𝑘): 𝑞= 4<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie wyrazów 𝑎1 oraz 𝑎9: 𝑎1 = 8, 𝑎9 = 32, oraz wykorzystanie własności</li></ul>\n<p>ciągu geometrycznego i zapisanie związku między wyrazami 𝑎1<br>, 𝑎9<br>, 𝑎𝑘<br>, np.<br>(𝑎9)2 = 𝑎1 ⋅𝑎𝑘 .<br>1 pkt - obliczenie wyrazu 𝑎1: 𝑎1 = 8<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie wyrazu 𝑎9: 𝑎9 = 32.</li></ul>\n<p>Zadanie 17.<br>Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.<br>Zadanie 21.<br>Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.<br>Zadanie 22.<br>Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.<br>Zadanie 27.<br>1 pkt - zastosowanie definicji funkcji trygonometrycznej lub związków miarowych w trójkącie<br>o kątach 30°, 60°, 90° i zapisanie równania z jedną niewiadomą (wysokością<br>ostrosłupa), np.: 𝐻<br>4√3 = tg 30°, 𝐻<br>4√3 =<br>√3<br>3 ,<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie długości krawędzi podstawy ostrosłupa: 𝑎= 4√6.</li></ul>\n<p>Zadanie 30.<br>1 pkt - zapisanie jedynie liczby 25 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich<br>zdarzeń elementarnych).<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi ze</li></ol>\n<p>standardowych zasad oceniania.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające</li></ol>\n<p>zdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. |𝐴| = 8) i konsekwentnie zapisze<br>wynik (np. 8<br>25), to otrzymuje 2 punkty.</p>","solutions":[{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p><strong>A</strong> — $t = 1{,}5$ s.</p>"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedz: A</h4>\n<p>Piłeczka osiąga największą wysokość w chwili \\( t = 1{,}5 \\) s.</p>\n<h4>Sposob 1 - wierzchołek paraboli (wzór na pierwszą współrzędną wierzchołka)</h4>\n<p><strong>Krok 1. Rozpoznanie typu funkcji.</strong><br>Wysokość opisana jest wzorem<br>\\[<br>h(t) = -4{,}9t^2 + 14{,}7t,<br>\\]<br>czyli jest to funkcja kwadratowa postaci \\( h(t) = at^2 + bt + c \\), gdzie:<br>\\[<br>a = -4{,}9, \\qquad b = 14{,}7, \\qquad c = 0.<br>\\]</p>\n<p><strong>Krok 2. Kształt wykresu.</strong><br>Ponieważ współczynnik \\( a = -4{,}9 &lt; 0 \\), to ramiona paraboli skierowane są <strong>w dół</strong>. Oznacza to, że funkcja ma <strong>maksimum</strong> - przyjmuje największą wartość w wierzchołku. To właśnie ten moment odpowiada największej wysokości piłeczki.</p>\n<p><strong>Krok 3. Pierwsza współrzędna wierzchołka.</strong><br>Zgodnie z <strong>Kartą wzorów CKE (EM2023)</strong>, dział <em>Funkcja kwadratowa</em>, pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli dana jest wzorem<br>\\[<br>t_w = \\frac{-b}{2a}.<br>\\]<br>Podstawiamy:<br>\\[<br>t_w = \\frac{-14{,}7}{2 \\cdot (-4{,}9)} = \\frac{-14{,}7}{-9{,}8} = 1{,}5.<br>\\]</p>\n<p><strong>Krok 4. Wniosek.</strong><br>Największą wysokość piłeczka osiąga w chwili \\( t_w = 1{,}5 \\) s. Odpowiedź <strong>A</strong>.</p>\n<h4>Sposob 2 - sprawdzenie przez pochodną (kontrolnie)</h4>\n<p>Maksimum funkcji \\( h(t) \\) wystąpi tam, gdzie \\( h&#x27;(t) = 0 \\):<br>\\[<br>h&#x27;(t) = -9{,}8t + 14{,}7.<br>\\]<br>\\[<br>-9{,}8t + 14{,}7 = 0 \\quad\\Longrightarrow\\quad t = \\frac{14{,}7}{9{,}8} = 1{,}5 \\text{ s}.<br>\\]<br>Wynik zgodny z metodą wierzchołka - potwierdza odpowiedź <strong>A</strong>.</p>\n<h4>Dlaczego pozostale sa bledne</h4>\n<ul><li><strong>B. \\( t = 2 \\) s</strong> - \\( h(2) = -4{,}9 \\cdot 4 + 14{,}7 \\cdot 2 = -19{,}6 + 29{,}4 = 9{,}8 \\) m, podczas gdy \\( h(1{,}5) = -4{,}9 \\cdot 2{,}25 + 14{,}7 \\cdot 1{,}5 = -11{,}025 + 22{,}05 = 11{,}025 \\) m - wartość mniejsza niż w wierzchołku, więc to nie jest maksimum.</li><li><strong>C. \\( t = 2{,}5 \\) s</strong> - to wartość większa od \\( t_w = 1{,}5 \\) s; piłeczka już opada, wysokość \\( h(2{,}5) = -4{,}9 \\cdot 6{,}25 + 14{,}7 \\cdot 2{,}5 = -30{,}625 + 36{,}75 = 6{,}125 \\) m jest wyraźnie mniejsza.</li><li><strong>D. \\( t = 3 \\) s</strong> - \\( h(3) = -4{,}9 \\cdot 9 + 14{,}7 \\cdot 3 = -44{,}1 + 44{,}1 = 0 \\) m, czyli to moment <strong>powrotu piłeczki na ziemię</strong> (drugie miejsce zerowe), a nie chwila największej wysokości.</li></ul>\n<h4>Typowe pulapki</h4>\n<ol><li><strong>Mylenie maksimum wysokości z momentem upadku.</strong> Odpowiedź D (\\( t = 3 \\) s) to chwila, w której \\( h = 0 \\), czyli piłeczka spada z powrotem na ziemię - kuszące, bo łatwo policzyć drugie miejsce zerowe, ale to NIE jest największa wysokość.</li><li><strong>Błąd ze znakiem we wzorze \\( t_w = \\dfrac{-b}{2a} \\).</strong> Trzeba pamiętać, że \\( a = -4{,}9 \\) jest ujemne; pominięcie minusa w mianowniku daje \\( t = -1{,}5 \\) (wynik bezsensowny fizycznie) lub błędną wartość. Warto też zauważyć, że z symetrii paraboli wierzchołek leży dokładnie pośrodku między miejscami zerowymi \\( t = 0 \\) i \\( t = 3 \\), czyli w \\( t = 1{,}5 \\) s.</li></ol>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Wysokość piłeczki opisuje funkcja kwadratowa:</p>\n<p>h(t)=-4 , 9t^2+14 , 7t</p>\n<p>Największa wysokość jest osiągana w wierzchołku paraboli.</p>\n<p>Dla funkcji at^2+bt+c współrzędna t wierzchołka jest równa:</p>\n<p>t_w=(-b)/(2a)</p>\n<p>W naszym przypadku:</p>\n<p>a=-4 , 9, b=14 , 7</p>\n<p>t_w=frac -14 , 7 2·(-4 , 9)</p>\n<p>t_w=frac -14 , 7 -9 , 8 =1 , 5</p>\n<p>Odpowiedź: A. t=1 , 5 s</p>"}]}