{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba log8 4 -log8 32 jest równa\nA. (-2)\nB. (-1)\nC. 1\nD. 2\n\nMMAP-P0_100\nLiczba log_8 4 - log_8 32 jest równa A. (-2) B. (-1) C. 1 D. 2","answer":"B","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nI.9) stosuje związek logarytmowania\nz potęgowaniem, posługuje się wzorami na\nlogarytm iloczynu, logarytm ilorazu\ni logarytm potęgi.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nB\nC","solution":"Odpowiedź: B\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nSkorzystaj ze wzoru na logarytm ilorazu:\n\n$$\\log_a x - \\log_a y = \\log_a \\frac{x}{y}$$\n\n$$\\log_8 4 - \\log_8 32 = \\log_8 \\frac{4}{32} = \\log_8 \\frac{1}{8}$$\n\nWykorzystaj definicję logarytmu: $\\log_a \\frac{1}{a} = \\log_a a^{-1} = -1$.\n\n$$\\log_8 \\frac{1}{8} = -1$$\n\nPo co to umieć\n\nWzory logarytmów:\n- $\\log_a (xy) = \\log_a x + \\log_a y$\n- $\\log_a \\frac{x}{y} = \\log_a x - \\log_a y$\n- $\\log_a x^k = k \\log_a x$\n- $\\log_a \\frac{1}{a^n} = -n$\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: dzielenie liczb $\\frac{4}{32} = \\frac{1}{8}$ → poprawne, ale $\\log_8 \\frac{1}{8} = -1$, nie $\\frac{1}{8}$ ani $-8$. Logarytm $\\frac{1}{a}$ to wykładnik $-1$.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"logarytmy, różnica logarytmów","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 4. (0-1)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba log8 4 -log8 32 jest równa
A. (-2)
B. (-1)
C. 1
D. 2

\n

MMAP-P0_100
Liczba log_8 4 - log_8 32 jest równa A. (-2) B. (-1) C. 1 D. 2

","answer_text_html":"

Zadanie 4. (0-1)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Stosowanie obiektów matematycznych
\n

i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
I.9) stosuje związek logarytmowania
z potęgowaniem, posługuje się wzorami na
logarytm iloczynu, logarytm ilorazu
i logarytm potęgi.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
Wersja A
Wersja B
B
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: B

\n

Strona arkusza CKE z trescia zadania

\n

Co zrobić?

\n

Skorzystaj ze wzoru na logarytm ilorazu:

\n

$$\\log_a x - \\log_a y = \\log_a \\frac{x}{y}$$

\n

$$\\log_8 4 - \\log_8 32 = \\log_8 \\frac{4}{32} = \\log_8 \\frac{1}{8}$$

\n

Wykorzystaj definicję logarytmu: $\\log_a \\frac{1}{a} = \\log_a a^{-1} = -1$.

\n

$$\\log_8 \\frac{1}{8} = -1$$

\n

Po co to umieć

\n

Wzory logarytmów:

\n\n

Typowy błąd: Najczęstszy błąd: dzielenie liczb $\\frac{4}{32} = \\frac{1}{8}$ → poprawne, ale $\\log_8 \\frac{1}{8} = -1$, nie $\\frac{1}{8}$ ani $-8$. Logarytm $\\frac{1}{a}$ to wykładnik $-1$.

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedz: B

\n

Liczba \\( \\log_{8} 4 - \\log_{8} 32 \\) jest równa \\( (-1) \\).

\n

Sposob 1 - wlasnosc logarytmu roznicy (logarytm ilorazu)

\n

Krok 1. Skorzystaj ze wzoru na roznice logarytmow o tej samej podstawie.
Z karty wzorow CKE EM2023 (dzial Funkcja logarytmiczna - wlasnosci logarytmow) mamy:
\\[
\\log_{a} x - \\log_{a} y = \\log_{a}\\!\\left(\\frac{x}{y}\\right), \\qquad a>0,\\ a\\neq 1,\\ x,y>0.
\\]
Stosujac to dla \\( a=8,\\ x=4,\\ y=32 \\):
\\[
\\log_{8} 4 - \\log_{8} 32 = \\log_{8}\\!\\left(\\frac{4}{32}\\right) = \\log_{8}\\frac{1}{8}.
\\]

\n

Krok 2. Wyznacz wartosc logarytmu.
Z definicji logarytmu \\( \\log_{8}\\frac{1}{8} \\) to wykladnik, do ktorego nalezy podniesc \\( 8 \\), aby otrzymac \\( \\frac{1}{8} \\). Poniewaz
\\[
8^{-1} = \\frac{1}{8},
\\]
to
\\[
\\log_{8}\\frac{1}{8} = -1.
\\]

\n

Wniosek: \\( \\log_{8} 4 - \\log_{8} 32 = -1 \\), czyli odpowiedz B.

\n

Sposob 2 - zamiana na potegi podstawy 2

\n

Krok 1. Zapisz argumenty jako potegi dwojki.
\\( 8 = 2^{3} \\), \\( 4 = 2^{2} \\), \\( 32 = 2^{5} \\).

\n

Krok 2. Skorzystaj ze wzoru na logarytm potegi i zamiane podstawy.
\\[
\\log_{8} 4 = \\log_{2^{3}} 2^{2} = \\frac{2}{3}, \\qquad \\log_{8} 32 = \\log_{2^{3}} 2^{5} = \\frac{5}{3},
\\]
korzystajac z wlasnosci \\( \\log_{a^{k}} a^{m} = \\frac{m}{k} \\).

\n

Krok 3. Odejmij.
\\[
\\frac{2}{3} - \\frac{5}{3} = \\frac{2-5}{3} = \\frac{-3}{3} = -1.
\\]

\n

Otrzymujemy ten sam wynik: \\( -1 \\) - odpowiedz B.

\n

Dlaczego pozostale sa bledne

\n\n

Typowe pulapki

\n
  1. Znak roznicy. Odejmujemy \\( \\log_{8} 4 - \\log_{8} 32 \\), wiec w ilorazie jest \\( \\frac{4}{32} \\) (mniejsze przez wieksze), co daje argument \\( <1 \\), a wiec wynik ujemny. Zamiana kolejnosci dalaby blednie \\( +1 \\).
  2. Mylenie ilorazu z roznica argumentow. \\( \\log_{8} 4 - \\log_{8} 32 \\neq \\log_{8}(4-32) \\). Roznica logarytmow to logarytm ilorazu, a nie logarytm roznicy.
"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Obliczamy wartość wyrażenia:

\n

log_8 4-log_8 32

\n

Najpierw zapisujemy wszystkie liczby jako potęgi liczby 2 :

\n

8=2^3, 4=2^2, 32=2^5

\n

Obliczamy pierwszy logarytm. Szukamy takiej liczby x , że:

\n

8^x=4

\n

Po zapisaniu w postaci potęg liczby 2 mamy:

\n

(2^3)^x=2^2

\n

Czyli:

\n

2^3x=2^2

\n

Porównujemy wykładniki:

\n

3x=2

\n

Stąd:

\n

x=(2)/(3)

\n

Zatem:

\n

log_8 4=(2)/(3)

\n

Analogicznie obliczamy drugi logarytm:

\n

log_8 32=log_2^32^5=(5)/(3)

\n

Teraz odejmujemy:

\n

log_8 4-log_8 32
(2)/(3)-(5)/(3)

\n

(2)/(3)-(5)/(3)=-(3)/(3)=-1

\n

Odpowiedź: B. (-1)

"}]}