{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nLiczba naturalna 412 ⋅524 jest podzielna przez 20.\nP\nF\nLiczba naturalna 412 ⋅524 jest w zapisie dziesiętnym liczbą 25-cyfrową.\nP\nF\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Liczba naturalna 4^12 ⋅ 5^24 jest podzielna przez 20. | P | F | Liczba naturalna 4^12 ⋅ 5^24 jest w zapisie dziesiętnym liczbą 25-cyfrową. | P | F |","answer":"PP","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nI.2) przeprowadza proste dowody dotyczące\npodzielności liczb całkowitych;\nI.4) stosuje […] prawa działań na potęgach\n[…].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nPP\nPP\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: PP\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nUprość iloczyn. $4 = 2^2$, więc $4^{12} = 2^{24}$. Stąd:\n\n$$4^{12} \\cdot 5^{24} = 2^{24} \\cdot 5^{24} = (2 \\cdot 5)^{24} = 10^{24}$$\n\nTo liczba $1\\underbrace{000\\ldots0}_{24 \\text{ zer}}$.\n\nZdanie 1: $10^{24}$ podzielna przez $20$? $10^{24} = 20 \\cdot 5 \\cdot 10^{22}$ (bo $20 \\cdot 5 = 100$). Tak — P.\n\nZdanie 2: $10^{24}$ jest liczbą 25-cyfrową? $10^{24}$ to \"1 i 24 zera\" = 25 cyfr. Tak — P.\n\nPo co to umieć\n\nReguła: $a^n \\cdot b^n = (ab)^n$. Często pozwala przekształcić dziwny iloczyn potęg do $10^n$, co radykalnie upraszcza zadanie.\n\nLiczba cyfr $10^n$: $n + 1$.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: nieuznanie, że $4^{12} \\cdot 5^{24} = 10^{24}$. Klucz: $4^{12} = 2^{24}$, więc iloczyn to $2^{24} \\cdot 5^{24} = 10^{24}$. To liczba $1\\underbrace{00\\ldots0}_{24}$ — łatwo sprawdzić oba stwierdzenia.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"potęgi, podzielność, liczba cyfr, Liczby rzeczywiste, liczby_naturalne","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 5. (0-1)<br>Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest<br>prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.<br>Liczba naturalna 412 ⋅524 jest podzielna przez 20.<br>P<br>F<br>Liczba naturalna 412 ⋅524 jest w zapisie dziesiętnym liczbą 25-cyfrową.<br>P<br>F<br>Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Liczba naturalna 4^12 ⋅ 5^24 jest podzielna przez 20. | P | F | Liczba naturalna 4^12 ⋅ 5^24 jest w zapisie dziesiętnym liczbą 25-cyfrową. | P | F |</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 5. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>I.2) przeprowadza proste dowody dotyczące<br>podzielności liczb całkowitych;<br>I.4) stosuje […] prawa działań na potęgach<br>[…].<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>Wersja A<br>Wersja B<br>PP<br>PP<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: PP</p>\n<p>Strona arkusza CKE z trescia zadania</p>\n<p>Co zrobić?</p>\n<p>Uprość iloczyn. $4 = 2^2$, więc $4^{12} = 2^{24}$. Stąd:</p>\n<p>$$4^{12} \\cdot 5^{24} = 2^{24} \\cdot 5^{24} = (2 \\cdot 5)^{24} = 10^{24}$$</p>\n<p>To liczba $1\\underbrace{000\\ldots0}_{24 \\text{ zer}}$.</p>\n<p>Zdanie 1: $10^{24}$ podzielna przez $20$? $10^{24} = 20 \\cdot 5 \\cdot 10^{22}$ (bo $20 \\cdot 5 = 100$). Tak — P.</p>\n<p>Zdanie 2: $10^{24}$ jest liczbą 25-cyfrową? $10^{24}$ to &quot;1 i 24 zera&quot; = 25 cyfr. Tak — P.</p>\n<p>Po co to umieć</p>\n<p>Reguła: $a^n \\cdot b^n = (ab)^n$. Często pozwala przekształcić dziwny iloczyn potęg do $10^n$, co radykalnie upraszcza zadanie.</p>\n<p>Liczba cyfr $10^n$: $n + 1$.</p>\n<p>Typowy błąd: Najczęstszy błąd: nieuznanie, że $4^{12} \\cdot 5^{24} = 10^{24}$. Klucz: $4^{12} = 2^{24}$, więc iloczyn to $2^{24} \\cdot 5^{24} = 10^{24}$. To liczba $1\\underbrace{00\\ldots0}_{24}$ — łatwo sprawdzić oba stwierdzenia.</p>"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedz: 1 - P, 2 - P</h4>\n<p>Obie liczby (stwierdzenia) sa <strong>prawdziwe</strong>.</p>\n<p>Kluczem jest sprowadzenie wyrazenia \\( 4^{12}\\cdot 5^{24} \\) do potegi liczby \\( 10 \\).</p>\n<h4>Sposob 1 - sprowadzenie do potegi dziesiatki</h4>\n<p><strong>Krok 1. Zapisujemy 4 jako potege dwojki.</strong></p>\n<p>\\[<br>4 = 2^2 \\quad\\Rightarrow\\quad 4^{12} = \\left(2^2\\right)^{12} = 2^{24}.<br>\\]</p>\n<p>Skorzystalismy z wlasnosci potegowania potegi \\( (a^m)^n = a^{m\\cdot n} \\) (karta wzorow CKE EM2023, dzial <em>Potegi i pierwiastki - dzialania na potegach</em>).</p>\n<p><strong>Krok 2. Laczymy obie potegi.</strong></p>\n<p>\\[<br>4^{12}\\cdot 5^{24} = 2^{24}\\cdot 5^{24}.<br>\\]</p>\n<p>Poniewaz oba czynniki maja ten sam wykladnik \\( 24 \\), stosujemy wzor \\( a^n\\cdot b^n = (a\\cdot b)^n \\):</p>\n<p>\\[<br>2^{24}\\cdot 5^{24} = (2\\cdot 5)^{24} = 10^{24}.<br>\\]</p>\n<p>Zatem cala liczba jest rowna:</p>\n<p>\\[<br>4^{12}\\cdot 5^{24} = 10^{24}.<br>\\]</p>\n<p><strong>Krok 3. Ocena stwierdzenia 1 - podzielnosc przez 20.</strong></p>\n<p>Liczba \\( 10^{24} \\) zawiera czynnik \\( 2 \\) oraz czynnik \\( 5 \\) (a nawet wiele takich), wiec mozna ja zapisac jako:</p>\n<p>\\[<br>10^{24} = 10^{2}\\cdot 10^{22} = 100\\cdot 10^{22} = 5\\cdot 20\\cdot 10^{22}.<br>\\]</p>\n<p>Widac, ze \\( 20 \\) jest dzielnikiem tej liczby:</p>\n<p>\\[<br>\\frac{10^{24}}{20} = \\frac{10^{24}}{20} = 5\\cdot 10^{22},<br>\\]</p>\n<p>co jest liczba calkowita. Mozna to tez uzasadnic przez rozklad: \\( 20 = 2^2\\cdot 5 \\), a \\( 10^{24} = 2^{24}\\cdot 5^{24} \\) zawiera zarowno \\( 2^2 \\), jak i \\( 5 \\). Stwierdzenie 1 jest wiec <strong>PRAWDZIWE (P)</strong>.</p>\n<p><strong>Krok 4. Ocena stwierdzenia 2 - liczba cyfr.</strong></p>\n<p>Liczba postaci \\( 10^{k} \\) to jedynka, po ktorej nastepuje \\( k \\) zer:</p>\n<p>\\[<br>10^{24} = 1\\underbrace{00\\ldots0}_{24\\ \\text{zer}}.<br>\\]</p>\n<p>Liczba cyfr to: jedna cyfra &quot;1&quot; oraz \\( 24 \\) cyfry &quot;0&quot;, czyli lacznie:</p>\n<p>\\[<br>1 + 24 = 25 \\ \\text{cyfr}.<br>\\]</p>\n<p>Liczba \\( 10^{24} \\) jest zatem liczba <strong>25-cyfrowa</strong>. Stwierdzenie 2 jest <strong>PRAWDZIWE (P)</strong>.</p>\n<p><strong>Wniosek:</strong> 1 - P, 2 - P.</p>\n<h4>Uwaga (ogolna regula liczby cyfr)</h4>\n<p>Liczba calkowita dodatnia \\( N \\) ma dokladnie \\( \\lfloor \\log_{10} N \\rfloor + 1 \\) cyfr. Tutaj:</p>\n<p>\\[<br>\\log_{10}\\!\\left(10^{24}\\right) = 24 \\quad\\Rightarrow\\quad \\lfloor 24\\rfloor + 1 = 25 \\ \\text{cyfr},<br>\\]</p>\n<p>co potwierdza wynik z Kroku 4.</p>\n<h4>Typowe pulapki</h4>\n<ul><li><strong>Bledne laczenie podstaw 4 i 5.</strong> Nie wolno mnozyc podstaw przy roznych wykladnikach (\\( 4^{12}\\cdot 5^{24} \\neq 20^{36} \\)). Trzeba najpierw zamienic \\( 4^{12} = 2^{24} \\), aby wyrownac wykladniki do \\( 24 \\) i dopiero wtedy uzyc wzoru \\( a^n b^n = (ab)^n \\).</li><li><strong>Mylenie liczby zer z liczba cyfr.</strong> \\( 10^{24} \\) ma \\( 24 \\) zera, ale \\( 25 \\) cyfr (zera plus poczatkowa jedynka). Czesty blad to zaznaczenie &quot;24-cyfrowa&quot; zamiast &quot;25-cyfrowa&quot;.</li></ul>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Dana liczba ma postać:</p>\n<p>4^12·5^24</p>\n<p>Zamieniamy 4 na potęgę liczby 2 :</p>\n<p>4^12=(2^2)^12=2^24</p>\n<p>Zatem:</p>\n<p>4^12·5^24<br>2^24·5^24<br>(2·5)^24<br>10^24</p>\n<p>Liczba 10^24 jest podzielna przez 20 .</p>\n<p>Pierwsze zdanie: prawda.</p>\n<p>Liczba 10^24 to jedynka i 24 zera, więc ma 25 cyfr.</p>\n<p>Drugie zdanie: prawda.</p>\n<p>Odpowiedź: P, P</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<ol><li>PRAWDA 2) PRAWDA</li></ol>"}]}