{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWartość wyrażenia 𝑥2 + 10𝑥+ 25 dla 𝑥= √2 -5 jest równa\nA. 2\nB. √2\nC. 2 -20√2\nD. 62 -10√2\n\nMMAP-P0_100\nWartość wyrażenia x² + 10x + 25 dla x = √2 - 5 jest równa A. 2 B. √2 C. 2-20√2 D. 62-10√2","answer":"A","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nII.1) stosuje wzory skróconego mnożenia\nna: (𝑎+ 𝑏)2, (𝑎-𝑏)2, 𝑎2 -𝑏2.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nA\nB","solution":"Odpowiedź: A\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nRozpoznaj wzór skróconego mnożenia. $x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2$.\n\nPodstaw $x = \\sqrt{2} - 5$:\n\n$$x + 5 = \\sqrt{2} - 5 + 5 = \\sqrt{2}$$\n\nPodnieś do kwadratu:\n\n$$(x + 5)^2 = (\\sqrt{2})^2 = 2$$\n\nPo co to umieć\n\nZawsze sprawdź czy wyrażenie to kwadrat sumy/różnicy: $a^2 \\pm 2ab + b^2 = (a \\pm b)^2$. Skraca radykalnie obliczenia, gdy $x$ jest \"dobrane\" pod ten wzór.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: bezpośrednie podstawianie i rozwijanie kwadratu pierwiastka — dużo rachunków. Klucz: zauważyć, że $x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2$, więc $x + 5 = \\sqrt{2}$, a kwadrat = $2$.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"wzory skróconego mnożenia, podstawianie, algebra","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 6. (0-1)<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Wartość wyrażenia 𝑥2 + 10𝑥+ 25 dla 𝑥= √2 -5 jest równa<br>A. 2<br>B. √2<br>C. 2 -20√2<br>D. 62 -10√2</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Wartość wyrażenia x² + 10x + 25 dla x = √2 - 5 jest równa A. 2 B. √2 C. 2-20√2 D. 62-10√2</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 6. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>I. Sprawność rachunkowa.<br>Wykonywanie obliczeń na liczbach<br>rzeczywistych, także przy użyciu<br>kalkulatora, stosowanie praw działań<br>matematycznych przy przekształcaniu<br>wyrażeń algebraicznych oraz<br>wykorzystywanie tych umiejętności przy<br>rozwiązywaniu problemów w kontekstach<br>rzeczywistych i teoretycznych.<br>Zdający:<br>II.1) stosuje wzory skróconego mnożenia<br>na: (𝑎+ 𝑏)2, (𝑎-𝑏)2, 𝑎2 -𝑏2.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>Wersja A<br>Wersja B<br>A<br>B</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: A</p>\n<p>Strona arkusza CKE z trescia zadania</p>\n<p>Co zrobić?</p>\n<p>Rozpoznaj wzór skróconego mnożenia. $x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2$.</p>\n<p>Podstaw $x = \\sqrt{2} - 5$:</p>\n<p>$$x + 5 = \\sqrt{2} - 5 + 5 = \\sqrt{2}$$</p>\n<p>Podnieś do kwadratu:</p>\n<p>$$(x + 5)^2 = (\\sqrt{2})^2 = 2$$</p>\n<p>Po co to umieć</p>\n<p>Zawsze sprawdź czy wyrażenie to kwadrat sumy/różnicy: $a^2 \\pm 2ab + b^2 = (a \\pm b)^2$. Skraca radykalnie obliczenia, gdy $x$ jest &quot;dobrane&quot; pod ten wzór.</p>\n<p>Typowy błąd: Najczęstszy błąd: bezpośrednie podstawianie i rozwijanie kwadratu pierwiastka — dużo rachunków. Klucz: zauważyć, że $x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2$, więc $x + 5 = \\sqrt{2}$, a kwadrat = $2$.</p>"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedz: A</h4>\n<h4>Sposob 1 - Rozpoznanie wzoru skroconego mnozenia</h4>\n<p><strong>Krok 1. Zauwaz strukture wyrazenia.</strong><br>Wyrazenie \\( x^2 + 10x + 25 \\) ma postac kwadratu sumy. Korzystamy ze wzoru skroconego mnozenia (KARTA WZOROW CKE EM2023, dzial &quot;Wzory skroconego mnozenia&quot;):<br>\\[ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \\]</p>\n<p><strong>Krok 2. Dopasuj wspolczynniki.</strong><br>Przyjmujemy \\( a = x \\) oraz \\( b = 5 \\). Wtedy:</p>\n<ul><li>\\( a^2 = x^2 \\),</li><li>\\( 2ab = 2 \\cdot x \\cdot 5 = 10x \\),</li><li>\\( b^2 = 5^2 = 25 \\).</li></ul>\n<p>Wszystkie skladniki sie zgadzaja, zatem:<br>\\[ x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2 \\]</p>\n<p><strong>Krok 3. Podstaw \\( x = \\sqrt{2} - 5 \\).</strong><br>Najpierw obliczamy podstawe potegi:<br>\\[ x + 5 = (\\sqrt{2} - 5) + 5 = \\sqrt{2} \\]</p>\n<p>Liczba \\( 5 \\) skraca sie z \\( -5 \\), co jest &quot;sztuczka&quot; tego zadania - dlatego dobrano taka wartosc \\( x \\).</p>\n<p><strong>Krok 4. Podnies do kwadratu.</strong><br>\\[ (x+5)^2 = (\\sqrt{2})^2 = 2 \\]</p>\n<p>Korzystamy z wlasnosci \\( (\\sqrt{a})^2 = a \\) dla \\( a \\ge 0 \\).</p>\n<p><strong>Wynik:</strong> wartosc wyrazenia jest rowna \\( 2 \\) - odpowiedz <strong>A</strong>.</p>\n<h4>Sposob 2 - Bezposrednie podstawienie (kontrola)</h4>\n<p>Dla pewnosci mozna podstawic \\( x = \\sqrt{2} - 5 \\) wprost.</p>\n<p>Najpierw kwadrat (wzor \\( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \\)):<br>\\[ x^2 = (\\sqrt{2} - 5)^2 = (\\sqrt{2})^2 - 2\\cdot\\sqrt{2}\\cdot 5 + 5^2 = 2 - 10\\sqrt{2} + 25 = 27 - 10\\sqrt{2} \\]</p>\n<p>Skladnik liniowy:<br>\\[ 10x = 10(\\sqrt{2} - 5) = 10\\sqrt{2} - 50 \\]</p>\n<p>Sumujemy wszystko z wyrazem wolnym \\( 25 \\):<br>\\[ x^2 + 10x + 25 = (27 - 10\\sqrt{2}) + (10\\sqrt{2} - 50) + 25 \\]<br>\\[ = (27 - 50 + 25) + (-10\\sqrt{2} + 10\\sqrt{2}) = 2 + 0 = 2 \\]</p>\n<p>Wynik identyczny: \\( 2 \\). Potwierdza odpowiedz <strong>A</strong>.</p>\n<h4>Dlaczego pozostale sa bledne</h4>\n<ul><li><strong>B. \\( \\sqrt{2} \\)</strong> - to wartosc \\( x+5 \\), czyli podstawa potegi <em>przed</em> podniesieniem do kwadratu. Blad polega na zapomnieniu o kwadracie.</li><li><strong>C. \\( 2 - 20\\sqrt{2} \\)</strong> - wynik bledu rachunkowego, np. policzenia \\( 2\\cdot 10\\sqrt{2} = 20\\sqrt{2} \\) i niedoprowadzenia do skrocenia wyrazow z \\( \\sqrt{2} \\).</li><li><strong>D. \\( 62 - 10\\sqrt{2} \\)</strong> - efekt pominiecia jednego ze skladnikow przy redukcji (np. nieuwzglednienia \\( 10x \\)) lub bledu w wyrazie wolnym; wyrazy z \\( \\sqrt{2} \\) powinny sie zniesc, a tu zostaly.</li></ul>\n<h4>Typowe pulapki</h4>\n<ol><li><strong>Niedokonczenie obliczen przy bezposrednim podstawieniu</strong> - po rozpisaniu kwadratu uczen wybiera odpowiedz z \\( \\sqrt{2} \\) lub liczbe niezredukowana. Trzeba do konca dodac wszystkie wyrazy; skladniki \\( -10\\sqrt{2} \\) i \\( +10\\sqrt{2} \\) musza sie zniesc.</li><li><strong>Pomylenie podstawy z wartoscia wyrazenia</strong> - \\( x+5 = \\sqrt{2} \\) to dopiero polowa drogi; wyrazenie rowna sie \\( (\\sqrt{2})^2 = 2 \\), a nie \\( \\sqrt{2} \\).</li></ol>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia:</p>\n<p>x^2+10x+25=(x+5)^2</p>\n<p>Podstawiamy x=√(2)-5 :</p>\n<p>(x+5)^2=(√(2)-5+5)^2</p>\n<p>=(√(2))^2=2</p>\n<p>Odpowiedź: A. 2</p>"}]}