{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"7","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby całkowitej 𝒏 liczba 𝟕𝒏𝟐+ 𝟐𝟏𝒏 jest podzielna przez 𝟏𝟒.\n7.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nWykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba 7n² + 21n jest podzielna przez 14.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nI.2) przeprowadza proste dowody dotyczące\npodzielności liczb całkowitych i reszt\nz dzielenia […].\nZasady oceniania\n2 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania, tj.\nuzasadnienie, że liczba 7𝑛2 + 21𝑛 jest podzielna przez 7 i przez 2\nLUB\nrozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛= 2𝑘, tj. uzasadnienie, że liczba\n7 ⋅(2𝑘)2 + 21 ⋅(2𝑘) jest podzielna przez 14, oraz rozpatrzenie przypadku,\ngdy 𝑛= 2𝑘+ 1, tj. uzasadnienie, że liczba 7 ⋅(2𝑘+ 1)2 + 21 ⋅(2𝑘+ 1) jest\npodzielna przez 14.\n1 pkt - uzasadnienie, że liczba 7𝑛2 + 21𝑛 jest podzielna przez 7\nALBO\n- uzasadnienie, że liczba 7𝑛2 + 21𝑛 jest podzielna przez 2,\nALBO\n- rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛= 2𝑘, tj. uzasadnienie, że liczba\n7 ⋅(2𝑘)2 + 21 ⋅(2𝑘) jest podzielna przez 14,\nALBO\n- rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛= 2𝑘+ 1, tj. uzasadnienie, że liczba\n7 ⋅(2𝑘+ 1)2 + 21 ⋅(2𝑘+ 1) jest podzielna przez 14.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości 𝑛, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający wykazuje, że dla każdej liczby całkowitej 𝑛 wyrażenie 7𝑛2 -21𝑛\n(zamiast 7𝑛2 + 21𝑛) jest podzielne przez 14, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za\ncałe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający przyjmuje np. 𝑛= 14𝑘+ 𝑟, gdzie 𝑘∈ℤ i 𝑟 jest resztą z dzielenia liczby\n𝑛 przez 14, i przeprowadzi pełne rozumowanie dla wszystkich przypadków, to otrzymuje\n2 punkty.\nGdy przeprowadzi pełne rozumowanie dla co najmniej połowy przypadków, ale nie\nprzeprowadzi pełnego rozumowania dla wszystkich przypadków, to otrzymuje 1 punkt za\ncałe rozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający zapisze równanie 7𝑛(𝑛+ 3) = 0 (lub 7(𝑛2 + 3𝑛) = 0), to nie uznaje się\ntego zapisu jako uzasadnienia podzielności wyrażenia 7𝑛2 + 21𝑛 przez 7.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nLiczba 7𝑛2 + 21𝑛 jest podzielna przez 7 jako suma dwóch liczb podzielnych przez 7.\nGdy liczba 𝑛 jest parzysta, to liczby 7𝑛2 oraz 21𝑛 są parzyste, więc liczba 7𝑛2 + 21𝑛\njest parzysta jako suma dwóch liczb parzystych.\nGdy liczba 𝑛 jest nieparzysta, to liczby 7𝑛2 oraz 21𝑛 są nieparzyste jako iloczyny liczb\nnieparzystych i w konsekwencji liczba 7𝑛2 + 21𝑛 jest parzysta jako suma dwóch liczb\nnieparzystych.\nZatem liczba 7𝑛2 + 21𝑛 jest podzielna przez 2 i przez 7. Liczby 2 i 7 są względnie\npierwsze, więc liczba 7𝑛2 + 21𝑛 jest podzielna przez 2 ⋅7 = 14. To należało wykazać.\nSposób II\nPrzedstawiamy liczbę 7𝑛2 + 21𝑛 w postaci iloczynu:\n7𝑛2 + 21𝑛= 7𝑛(𝑛+ 3)\nJeżeli liczba 𝑛 jest parzysta, to wtedy liczba 𝑛+ 3 jest nieparzysta.\nJeżeli liczba 𝑛 jest nieparzysta, to wtedy liczba 𝑛+ 3 jest parzysta.\nWynika stąd, że liczba 𝑛(𝑛+ 3) jest podzielna przez 2.\nZatem liczba 7𝑛(𝑛+ 3) jest podzielna przez 7 ⋅2 = 14. To należało wykazać.\nSposób III\nRozważamy dwa przypadki: gdy liczba 𝑛 jest parzysta i gdy liczba 𝑛 jest nieparzysta.\nParzystą liczbę 𝑛 możemy zapisać w postaci 𝑛= 2𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ.\nWtedy:\n7𝑛2 + 21𝑛= 7 ⋅(2𝑘)2 + 21 ⋅(2𝑘) = 28𝑘2 + 42𝑘= 14 ⋅(2𝑘2 + 3𝑘)\nPonieważ 𝑘 jest liczbą całkowitą, to liczba 2𝑘2 + 3𝑘 również jest całkowita, zatem iloczyn\n14 ⋅(2𝑘2 + 3𝑘) jest podzielny przez 14.\nNieparzystą liczbę 𝑛 możemy zapisać w postaci 𝑛= 2𝑘+ 1, gdzie 𝑘∈ℤ.\nWtedy:\n7𝑛2 + 21𝑛= 7 ⋅(2𝑘+ 1)2 + 21 ⋅(2𝑘+ 1) = 7(4𝑘2 + 4𝑘+ 1) + 42𝑘+ 21 =\n= 28𝑘2 + 28𝑘+ 7 + 42𝑘+ 21 = 28𝑘2 + 70𝑘+ 28 = 14 ⋅(2𝑘2 + 5𝑘+ 2)\nPonieważ 𝑘 jest liczbą całkowitą, to liczba 2𝑘2 + 5𝑘+ 2 również jest całkowita, zatem\niloczyn 14 ⋅(2𝑘2 + 5𝑘+ 2) jest podzielny przez 14. To należało wykazać.\nSposób IV\nPrzedstawiamy liczbę 7𝑛2 + 21𝑛 w postaci iloczynu:\n7𝑛2 + 21𝑛= 7𝑛(𝑛+ 3)\nRozważamy dwa przypadki: gdy liczba 𝑛 jest parzysta i gdy liczba 𝑛 jest nieparzysta.\nParzystą liczbę 𝑛 możemy zapisać w postaci 𝑛= 2𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ.\nWtedy:\n7𝑛(𝑛+ 3) = 7 ⋅2𝑘⋅(2𝑘+ 3) = 14 ⋅𝑘(2𝑘+ 3)\nPonieważ 𝑘 jest liczbą całkowitą, to liczba 2𝑘+ 3 również jest całkowita, zatem iloczyn\n14 ⋅𝑘(2𝑘+ 3) jest podzielny przez 14.\nNieparzystą liczbę 𝑛 możemy zapisać w postaci 𝑛= 2𝑘+ 1, gdzie 𝑘∈ℤ.\nWtedy:\n7𝑛(𝑛+ 3) = 7(2𝑘+ 1)(2𝑘+ 1 + 3) = 14 ⋅(2𝑘+ 1)(𝑘+ 2)\nPonieważ 𝑘 jest liczbą całkowitą, to liczby 2𝑘+ 1 oraz 𝑘+ 2 również są całkowite,\nzatem iloczyn 14 ⋅(2𝑘+ 1)(𝑘+ 2) jest podzielny przez 14. To należało wykazać.","solution":"Odpowiedź: $7n^2 + 21n = 7n(n+3)$. Wystarczy pokazać, że $n(n+3)$ jest podzielna przez $2$. Liczby $n$ i $n+3$ mają **różną parzystość** (różnią się o liczbę nieparzystą $3$), więc dokładnie jedna z nich jest parzysta. Iloczyn $n(n+3) = 2k$ dla pewnego $k$, stąd $7n(n+3) = 14k$. ∎\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nWyłącz wspólny czynnik:\n\n$$7n^2 + 21n = 7n(n + 3)$$\n\nCel: Pokazać, że $7n(n+3)$ jest podzielne przez $14 = 7 \\cdot 2$. Współczynnik $7$ już mamy. Wystarczy wykazać, że $n(n+3)$ jest parzyste.\n\nZauważ kluczową własność: $n$ i $n+3$ mają różną parzystość, bo różnica jest nieparzysta ($3$). Więc dokładnie jedna z nich jest parzysta:\n\n- $n$ parzyste → $n = 2k$ → $n(n+3) = 2k(2k+3)$ podzielne przez $2$\n- $n$ nieparzyste → $n+3$ parzyste → $n+3 = 2k$ → $n(n+3) = n \\cdot 2k$ podzielne przez $2$\n\nW obu przypadkach $n(n+3) = 2m$ dla pewnego $m \\in \\mathbb{Z}$.\n\nWniosek:\n\n$$7n(n+3) = 7 \\cdot 2m = 14m$$\n\nTo znaczy, że $7n^2 + 21n$ jest podzielne przez $14$ dla każdej liczby całkowitej $n$. ∎\n\nPo co to umieć\n\nReguła parzystości iloczynu: dwie liczby o różnej parzystości dają iloczyn parzysty. Dwie liczby o tej samej parzystości — iloczyn też tej samej parzystości jak składniki (parzyste × parzyste = parzyste, nieparzyste × nieparzyste = nieparzyste).\n\nLiczby $n, n+1$ (kolejne): zawsze różna parzystość → iloczyn parzysty.\nLiczby $n, n+3$ (różnica nieparzysta): też różna parzystość → iloczyn parzysty.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: \"$n$ i $n+3$ to liczby kolejne\" — **NIE**. Kolejne to $n, n+1$. Tutaj $n+3$ ma inną parzystość niż $n$ (różnica nieparzysta), więc działają jak liczby kolejne pod względem parzystości.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"dowód, podzielność, parzystość liczb sąsiednich, Dowody algebraiczne, liczby_naturalne","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 7. (0-2)<br>Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej 𝒏 liczba 𝟕𝒏𝟐+ 𝟐𝟏𝒏 jest podzielna przez 𝟏𝟒.<br>7.<br>0-1-2</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba 7n² + 21n jest podzielna przez 14.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 7. (0-2)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Przeprowadzanie rozumowań, także</li></ol>\n<p>kilkuetapowych, podawanie argumentów<br>uzasadniających poprawność rozumowania,<br>odróżnianie dowodu od przykładu.<br>Zdający:<br>I.2) przeprowadza proste dowody dotyczące<br>podzielności liczb całkowitych i reszt<br>z dzielenia […].<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania, tj.<br>uzasadnienie, że liczba 7𝑛2 + 21𝑛 jest podzielna przez 7 i przez 2<br>LUB<br>rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛= 2𝑘, tj. uzasadnienie, że liczba<br>7 ⋅(2𝑘)2 + 21 ⋅(2𝑘) jest podzielna przez 14, oraz rozpatrzenie przypadku,<br>gdy 𝑛= 2𝑘+ 1, tj. uzasadnienie, że liczba 7 ⋅(2𝑘+ 1)2 + 21 ⋅(2𝑘+ 1) jest<br>podzielna przez 14.<br>1 pkt - uzasadnienie, że liczba 7𝑛2 + 21𝑛 jest podzielna przez 7<br>ALBO</p>\n<ul><li>uzasadnienie, że liczba 7𝑛2 + 21𝑛 jest podzielna przez 2,</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛= 2𝑘, tj. uzasadnienie, że liczba</li></ul>\n<p>7 ⋅(2𝑘)2 + 21 ⋅(2𝑘) jest podzielna przez 14,<br>ALBO</p>\n<ul><li>rozpatrzenie przypadku, gdy 𝑛= 2𝑘+ 1, tj. uzasadnienie, że liczba</li></ul>\n<p>7 ⋅(2𝑘+ 1)2 + 21 ⋅(2𝑘+ 1) jest podzielna przez 14.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości 𝑛, to otrzymuje</li></ol>\n<p>0 punktów za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający wykazuje, że dla każdej liczby całkowitej 𝑛 wyrażenie 7𝑛2 -21𝑛</li></ol>\n<p>(zamiast 7𝑛2 + 21𝑛) jest podzielne przez 14, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za<br>całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający przyjmuje np. 𝑛= 14𝑘+ 𝑟, gdzie 𝑘∈ℤ i 𝑟 jest resztą z dzielenia liczby</li></ol>\n<p>𝑛 przez 14, i przeprowadzi pełne rozumowanie dla wszystkich przypadków, to otrzymuje<br>2 punkty.<br>Gdy przeprowadzi pełne rozumowanie dla co najmniej połowy przypadków, ale nie<br>przeprowadzi pełnego rozumowania dla wszystkich przypadków, to otrzymuje 1 punkt za<br>całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający zapisze równanie 7𝑛(𝑛+ 3) = 0 (lub 7(𝑛2 + 3𝑛) = 0), to nie uznaje się</li></ol>\n<p>tego zapisu jako uzasadnienia podzielności wyrażenia 7𝑛2 + 21𝑛 przez 7.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Liczba 7𝑛2 + 21𝑛 jest podzielna przez 7 jako suma dwóch liczb podzielnych przez 7.<br>Gdy liczba 𝑛 jest parzysta, to liczby 7𝑛2 oraz 21𝑛 są parzyste, więc liczba 7𝑛2 + 21𝑛<br>jest parzysta jako suma dwóch liczb parzystych.<br>Gdy liczba 𝑛 jest nieparzysta, to liczby 7𝑛2 oraz 21𝑛 są nieparzyste jako iloczyny liczb<br>nieparzystych i w konsekwencji liczba 7𝑛2 + 21𝑛 jest parzysta jako suma dwóch liczb<br>nieparzystych.<br>Zatem liczba 7𝑛2 + 21𝑛 jest podzielna przez 2 i przez 7. Liczby 2 i 7 są względnie<br>pierwsze, więc liczba 7𝑛2 + 21𝑛 jest podzielna przez 2 ⋅7 = 14. To należało wykazać.<br>Sposób II<br>Przedstawiamy liczbę 7𝑛2 + 21𝑛 w postaci iloczynu:<br>7𝑛2 + 21𝑛= 7𝑛(𝑛+ 3)<br>Jeżeli liczba 𝑛 jest parzysta, to wtedy liczba 𝑛+ 3 jest nieparzysta.<br>Jeżeli liczba 𝑛 jest nieparzysta, to wtedy liczba 𝑛+ 3 jest parzysta.<br>Wynika stąd, że liczba 𝑛(𝑛+ 3) jest podzielna przez 2.<br>Zatem liczba 7𝑛(𝑛+ 3) jest podzielna przez 7 ⋅2 = 14. To należało wykazać.<br>Sposób III<br>Rozważamy dwa przypadki: gdy liczba 𝑛 jest parzysta i gdy liczba 𝑛 jest nieparzysta.<br>Parzystą liczbę 𝑛 możemy zapisać w postaci 𝑛= 2𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ.<br>Wtedy:<br>7𝑛2 + 21𝑛= 7 ⋅(2𝑘)2 + 21 ⋅(2𝑘) = 28𝑘2 + 42𝑘= 14 ⋅(2𝑘2 + 3𝑘)<br>Ponieważ 𝑘 jest liczbą całkowitą, to liczba 2𝑘2 + 3𝑘 również jest całkowita, zatem iloczyn<br>14 ⋅(2𝑘2 + 3𝑘) jest podzielny przez 14.<br>Nieparzystą liczbę 𝑛 możemy zapisać w postaci 𝑛= 2𝑘+ 1, gdzie 𝑘∈ℤ.<br>Wtedy:<br>7𝑛2 + 21𝑛= 7 ⋅(2𝑘+ 1)2 + 21 ⋅(2𝑘+ 1) = 7(4𝑘2 + 4𝑘+ 1) + 42𝑘+ 21 =<br>= 28𝑘2 + 28𝑘+ 7 + 42𝑘+ 21 = 28𝑘2 + 70𝑘+ 28 = 14 ⋅(2𝑘2 + 5𝑘+ 2)<br>Ponieważ 𝑘 jest liczbą całkowitą, to liczba 2𝑘2 + 5𝑘+ 2 również jest całkowita, zatem<br>iloczyn 14 ⋅(2𝑘2 + 5𝑘+ 2) jest podzielny przez 14. To należało wykazać.<br>Sposób IV<br>Przedstawiamy liczbę 7𝑛2 + 21𝑛 w postaci iloczynu:<br>7𝑛2 + 21𝑛= 7𝑛(𝑛+ 3)<br>Rozważamy dwa przypadki: gdy liczba 𝑛 jest parzysta i gdy liczba 𝑛 jest nieparzysta.<br>Parzystą liczbę 𝑛 możemy zapisać w postaci 𝑛= 2𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ.<br>Wtedy:<br>7𝑛(𝑛+ 3) = 7 ⋅2𝑘⋅(2𝑘+ 3) = 14 ⋅𝑘(2𝑘+ 3)<br>Ponieważ 𝑘 jest liczbą całkowitą, to liczba 2𝑘+ 3 również jest całkowita, zatem iloczyn<br>14 ⋅𝑘(2𝑘+ 3) jest podzielny przez 14.<br>Nieparzystą liczbę 𝑛 możemy zapisać w postaci 𝑛= 2𝑘+ 1, gdzie 𝑘∈ℤ.<br>Wtedy:<br>7𝑛(𝑛+ 3) = 7(2𝑘+ 1)(2𝑘+ 1 + 3) = 14 ⋅(2𝑘+ 1)(𝑘+ 2)<br>Ponieważ 𝑘 jest liczbą całkowitą, to liczby 2𝑘+ 1 oraz 𝑘+ 2 również są całkowite,<br>zatem iloczyn 14 ⋅(2𝑘+ 1)(𝑘+ 2) jest podzielny przez 14. To należało wykazać.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: $7n^2 + 21n = 7n(n+3)$. Wystarczy pokazać, że $n(n+3)$ jest podzielna przez $2$. Liczby $n$ i $n+3$ mają <strong>różną parzystość</strong> (różnią się o liczbę nieparzystą $3$), więc dokładnie jedna z nich jest parzysta. Iloczyn $n(n+3) = 2k$ dla pewnego $k$, stąd $7n(n+3) = 14k$. ∎</p>\n<p>Strona arkusza CKE z trescia zadania</p>\n<p>Co zrobić?</p>\n<p>Wyłącz wspólny czynnik:</p>\n<p>$$7n^2 + 21n = 7n(n + 3)$$</p>\n<p>Cel: Pokazać, że $7n(n+3)$ jest podzielne przez $14 = 7 \\cdot 2$. Współczynnik $7$ już mamy. Wystarczy wykazać, że $n(n+3)$ jest parzyste.</p>\n<p>Zauważ kluczową własność: $n$ i $n+3$ mają różną parzystość, bo różnica jest nieparzysta ($3$). Więc dokładnie jedna z nich jest parzysta:</p>\n<ul><li>$n$ parzyste → $n = 2k$ → $n(n+3) = 2k(2k+3)$ podzielne przez $2$</li><li>$n$ nieparzyste → $n+3$ parzyste → $n+3 = 2k$ → $n(n+3) = n \\cdot 2k$ podzielne przez $2$</li></ul>\n<p>W obu przypadkach $n(n+3) = 2m$ dla pewnego $m \\in \\mathbb{Z}$.</p>\n<p>Wniosek:</p>\n<p>$$7n(n+3) = 7 \\cdot 2m = 14m$$</p>\n<p>To znaczy, że $7n^2 + 21n$ jest podzielne przez $14$ dla każdej liczby całkowitej $n$. ∎</p>\n<p>Po co to umieć</p>\n<p>Reguła parzystości iloczynu: dwie liczby o różnej parzystości dają iloczyn parzysty. Dwie liczby o tej samej parzystości — iloczyn też tej samej parzystości jak składniki (parzyste × parzyste = parzyste, nieparzyste × nieparzyste = nieparzyste).</p>\n<p>Liczby $n, n+1$ (kolejne): zawsze różna parzystość → iloczyn parzysty.<br>Liczby $n, n+3$ (różnica nieparzysta): też różna parzystość → iloczyn parzysty.</p>\n<p>Typowy błąd: Najczęstszy błąd: &quot;$n$ i $n+3$ to liczby kolejne&quot; — <strong>NIE</strong>. Kolejne to $n, n+1$. Tutaj $n+3$ ma inną parzystość niż $n$ (różnica nieparzysta), więc działają jak liczby kolejne pod względem parzystości.</p>"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedz: teza udowodniona</h4>\n<p>Należy wykazać, że dla każdej liczby całkowitej \\( n \\) liczba \\( 7n^2 + 21n \\) jest podzielna przez \\( 14 \\). Kluczowa obserwacja: \\( 14 = 2 \\cdot 7 \\), więc wystarczy pokazać, że wyrażenie zawiera czynnik \\( 7 \\) oraz czynnik \\( 2 \\) (czyli jest parzyste).</p>\n<h4>Sposob 1 - wyłączenie czynnika i parzystość iloczynu kolejnych liczb</h4>\n<p><strong>Krok 1. Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.</strong></p>\n<p>W obu składnikach występuje czynnik \\( 7 \\) oraz \\( n \\):</p>\n<p>\\[<br>7n^2 + 21n = 7n \\cdot n + 7n \\cdot 3 = 7n(n+3).<br>\\]</p>\n<p>Sprawdzenie: \\( 7n \\cdot n = 7n^2 \\) oraz \\( 7n \\cdot 3 = 21n \\) - zgadza się.</p>\n<blockquote>Uwaga: można też zapisać \\( 7n^2 + 21n = 7(n^2 + 3n) = 7n(n+3) \\) - wynik ten sam.</blockquote>\n<p><strong>Krok 2. Mamy już czynnik 7 - teraz uzasadniamy parzystość.</strong></p>\n<p>Liczba \\( 7n(n+3) \\) jest na pewno podzielna przez \\( 7 \\). Aby była podzielna przez \\( 14 \\), pozostały iloczyn \\( n(n+3) \\) musi być parzysty (musi zawierać czynnik \\( 2 \\)).</p>\n<p>Rozważmy dwa przypadki ze względu na parzystość \\( n \\):</p>\n<ul><li><strong>Gdy \\( n \\) jest parzyste</strong>, czyli \\( n = 2k \\) dla pewnej liczby całkowitej \\( k \\): wtedy \\( n(n+3) = 2k(2k+3) \\) jest parzyste (zawiera czynnik \\( 2 \\)).</li><li><strong>Gdy \\( n \\) jest nieparzyste</strong>, czyli \\( n = 2k+1 \\): wtedy \\( n+3 = 2k+4 = 2(k+2) \\) jest parzyste, więc iloczyn \\( n(n+3) \\) także jest parzysty.</li></ul>\n<p>W obu przypadkach \\( n(n+3) \\) jest liczbą parzystą, zatem \\( n(n+3) = 2m \\) dla pewnej liczby całkowitej \\( m \\).</p>\n<p><strong>Krok 3. Łączymy oba czynniki.</strong></p>\n<p>\\[<br>7n^2 + 21n = 7 \\cdot n(n+3) = 7 \\cdot 2m = 14m,<br>\\]</p>\n<p>gdzie \\( m \\) jest liczbą całkowitą. Liczba postaci \\( 14m \\) jest podzielna przez \\( 14 \\).</p>\n<p><strong>To kończy dowód.</strong> \\( \\blacksquare \\)</p>\n<h4>Sposob 2 - przez iloczyn dwoch kolejnych liczb (eleganciej)</h4>\n<p><strong>Krok 1.</strong> Inaczej rozkładamy wyrażenie. Zauważmy, że \\( 21n = 7n + 14n \\), więc:</p>\n<p>\\[<br>7n^2 + 21n = 7n^2 + 7n + 14n = 7n(n+1) + 14n.<br>\\]</p>\n<p><strong>Krok 2.</strong> Składnik \\( 14n \\) jest oczywiście podzielny przez \\( 14 \\). Wystarczy więc pokazać, że \\( 7n(n+1) \\) jest podzielne przez \\( 14 \\).</p>\n<p><strong>Krok 3.</strong> Iloczyn \\( n(n+1) \\) to iloczyn <strong>dwóch kolejnych liczb całkowitych</strong>. Spośród dwóch kolejnych liczb zawsze dokładnie jedna jest parzysta, więc \\( n(n+1) \\) jest zawsze parzyste:</p>\n<p>\\[<br>n(n+1) = 2t, \\qquad t \\in \\mathbb{Z}.<br>\\]</p>\n<p>Stąd \\( 7n(n+1) = 7 \\cdot 2t = 14t \\) - podzielne przez \\( 14 \\).</p>\n<p><strong>Krok 4.</strong> Suma dwóch liczb podzielnych przez \\( 14 \\) jest podzielna przez \\( 14 \\):</p>\n<p>\\[<br>7n^2 + 21n = \\underbrace{14t}<em>{\\text{podz. przez }14} + \\underbrace{14n}</em>{\\text{podz. przez }14} = 14(t+n),<br>\\]</p>\n<p>co dla \\( t+n \\in \\mathbb{Z} \\) jest podzielne przez \\( 14 \\). \\( \\blacksquare \\)</p>\n<h4>Odwolanie do karty wzorow</h4>\n<p>Zadanie nie wymaga wzoru z karty wzorów CKE EM2023 - opiera się na podstawowych własnościach podzielności (rozkład na czynniki, parzystość iloczynu kolejnych liczb całkowitych). Wykorzystany został jedynie zapis liczby parzystej w postaci \\( 2k \\) i nieparzystej w postaci \\( 2k+1 \\) (definicje z arytmetyki liczb całkowitych).</p>\n<h4>Typowe pulapki</h4>\n<ol><li><strong>Sprawdzenie kilku liczb to NIE dowód.</strong> Podstawienie \\( n = 1, 2, 3 \\) i otrzymanie liczb podzielnych przez 14 nie wykazuje tezy „dla każdej liczby całkowitej&quot;. Trzeba przeprowadzić rozumowanie ogólne (rozkład + parzystość) - inaczej zadanie dostaje 0 pkt mimo poprawnych obliczeń.</li><li><strong>Sam czynnik 7 to za mało.</strong> Po zapisaniu \\( 7n(n+3) \\) łatwo uznać dowód za zakończony, bo „widać 7&quot;. Ale \\( 14 = 2 \\cdot 7 \\), więc trzeba jeszcze uzasadnić parzystość pozostałego czynnika. Pominięcie tego kroku to najczęstszy błąd kosztujący punkt. Pamiętaj też, że \\( n \\) może być ujemne lub równe \\( 0 \\) - rozumowanie przez parzystość i tak wtedy działa.</li></ol>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Przekształcamy wyrażenie:</p>\n<p>7n^2+21n=7n(n+3)</p>\n<p>Wystarczy wykazać, że liczba n(n+3) jest parzysta.</p>\n<p>Jeżeli n jest parzyste, to iloczyn n(n+3) jest parzysty.</p>\n<p>Jeżeli n jest nieparzyste, to n+3 jest parzyste, więc iloczyn n(n+3) też jest parzysty.</p>\n<p>Zatem n(n+3) jest parzyste, czyli można je zapisać jako 2k , gdzie k jest liczbą całkowitą.</p>\n<p>7n(n+3)=7·2k=14k</p>\n<p>Wykazano, że liczba 7n^2+21n jest podzielna przez 14 .</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>Wykazano wyłączając wspólny czynnik przed nawias.</p>"}]}