{"id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nDane jest równanie\n3(𝑥+ 3)(𝑥-𝑚)(2𝑥+ 4) = 0\ngdzie 𝑥 jest niewiadomą, natomiast 𝑚 jest pewną liczbą rzeczywistą.\nSuma wszystkich rozwiązań tego równania jest równa 0.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba 𝑚 jest równa\nA. (-7)\nB. 2\nC. 5\nD. 7\nDane jest równanie 3(x+3)(x-m)(2x+4) = 0 gdzie x jest niewiadomą, natomiast m jest pewną liczbą rzeczywistą. Suma wszystkich rozwiązań tego równania jest równa 0. Liczba m jest równa A. (-7) B. 2 C. 5 D. 7","answer":"C","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.5) rozwiązuje równania wielomianowe\npostaci 𝑊(𝑥) = 0 dla wielomianów\ndoprowadzonych do postaci iloczynowej.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A\nWersja B\nC\nB","solution":"Odpowiedź: C\n\nStrona arkusza CKE z trescia zadania\n\nCo zrobić?\n\nIloczyn = 0 ⟺ któryś czynnik = 0. Rozwiązania:\n- $x + 3 = 0 \\implies x = -3$\n- $x - m = 0 \\implies x = m$\n- $2x + 4 = 0 \\implies x = -2$\n\nSuma rozwiązań:\n\n$$-3 + m + (-2) = 0$$\n\n$$m = 5$$\n\nPo co to umieć\n\nW równaniu iloczynowym każdy nawias z $x$ daje jedno rozwiązanie. Stałe (jak $3$) nie dają nic. Suma rozwiązań pozwala wyznaczyć parametr.\n\nTypowy błąd: Najczęstszy błąd: $2x + 4 = 0$ daje $x = -4$ (zła operacja). Poprawnie: $x = -2$.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"równanie iloczynowe, parametr, Wielomiany, rownania_i_nierownosci","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 8. (0-1)<br>Dane jest równanie<br>3(𝑥+ 3)(𝑥-𝑚)(2𝑥+ 4) = 0<br>gdzie 𝑥 jest niewiadomą, natomiast 𝑚 jest pewną liczbą rzeczywistą.<br>Suma wszystkich rozwiązań tego równania jest równa 0.<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Liczba 𝑚 jest równa<br>A. (-7)<br>B. 2<br>C. 5<br>D. 7<br>Dane jest równanie 3(x+3)(x-m)(2x+4) = 0 gdzie x jest niewiadomą, natomiast m jest pewną liczbą rzeczywistą. Suma wszystkich rozwiązań tego równania jest równa 0. Liczba m jest równa A. (-7) B. 2 C. 5 D. 7</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 8. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>III.5) rozwiązuje równania wielomianowe<br>postaci 𝑊(𝑥) = 0 dla wielomianów<br>doprowadzonych do postaci iloczynowej.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>Wersja A<br>Wersja B<br>C<br>B</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg"},{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p>Odpowiedź: C</p>\n<p>Strona arkusza CKE z trescia zadania</p>\n<p>Co zrobić?</p>\n<p>Iloczyn = 0 ⟺ któryś czynnik = 0. Rozwiązania:</p>\n<ul><li>$x + 3 = 0 \\implies x = -3$</li><li>$x - m = 0 \\implies x = m$</li><li>$2x + 4 = 0 \\implies x = -2$</li></ul>\n<p>Suma rozwiązań:</p>\n<p>$$-3 + m + (-2) = 0$$</p>\n<p>$$m = 5$$</p>\n<p>Po co to umieć</p>\n<p>W równaniu iloczynowym każdy nawias z $x$ daje jedno rozwiązanie. Stałe (jak $3$) nie dają nic. Suma rozwiązań pozwala wyznaczyć parametr.</p>\n<p>Typowy błąd: Najczęstszy błąd: $2x + 4 = 0$ daje $x = -4$ (zła operacja). Poprawnie: $x = -2$.</p>"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedz: C</h4>\n<p>Liczba \\( m \\) jest rowna \\( 5 \\).</p>\n<h4>Sposob 1 - Twierdzenie o iloczynie rownym zero</h4>\n<p><strong>Krok 1. Zapisanie rownania w postaci iloczynowej.</strong></p>\n<p>Rownanie jest juz dane jako iloczyn czynnikow:<br>\\[ 3(x+3)(x-m)(2x+4) = 0 \\]</p>\n<p>Stala \\( 3 \\) jest rozna od zera, wiec nie wplywa na rozwiazania. Korzystamy z wlasnosci: <strong>iloczyn jest rowny zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynnikow jest rowny zero.</strong></p>\n<p><strong>Krok 2. Przyrownanie kazdego czynnika do zera.</strong></p>\n<p>\\[ x + 3 = 0 \\quad\\Rightarrow\\quad x_1 = -3 \\]<br>\\[ x - m = 0 \\quad\\Rightarrow\\quad x_2 = m \\]<br>\\[ 2x + 4 = 0 \\quad\\Rightarrow\\quad x_3 = -2 \\]</p>\n<p><strong>Krok 3. Zapisanie warunku na sume rozwiazan.</strong></p>\n<p>Suma wszystkich rozwiazan ma byc rowna \\( 0 \\):<br>\\[ x_1 + x_2 + x_3 = 0 \\]<br>\\[ (-3) + m + (-2) = 0 \\]</p>\n<p><strong>Krok 4. Rozwiazanie rownania z niewiadoma \\( m \\).</strong></p>\n<p>\\[ m - 5 = 0 \\]<br>\\[ m = 5 \\]</p>\n<p><strong>Krok 5. Sprawdzenie.</strong></p>\n<p>Dla \\( m = 5 \\) rozwiazaniami sa liczby \\( -3,\\ 5,\\ -2 \\). Sa to trzy rozne liczby (zadna sie nie pokrywa), a ich suma:<br>\\[ -3 + 5 + (-2) = 0. \\]<br>Warunek jest spelniony.</p>\n<h4>Dlaczego pozostale sa bledne</h4>\n<ul><li><strong>A. \\( m = -7 \\)</strong>: rozwiazania to \\( -3,\\ -7,\\ -2 \\), suma \\( = -12 \\neq 0 \\).</li><li><strong>B. \\( m = 2 \\)</strong>: rozwiazania to \\( -3,\\ 2,\\ -2 \\), suma \\( = -3 \\neq 0 \\).</li><li><strong>D. \\( m = 7 \\)</strong>: rozwiazania to \\( -3,\\ 7,\\ -2 \\), suma \\( = 2 \\neq 0 \\).</li></ul>\n<p>Tylko dla \\( m = 5 \\) suma wynosi dokladnie \\( 0 \\).</p>\n<h4>Typowe pulapki</h4>\n<ul><li><strong>Bledny odczyt pierwiastka z czynnika \\( 2x+4 \\)</strong>: z \\( 2x+4=0 \\) wynika \\( x = -2 \\), a nie \\( x = -4 \\). Pamietaj o podzieleniu przez wspolczynnik \\( 2 \\).</li><li><strong>Sugerowanie sie czynnikiem \\( 3 \\) lub \\( 2 \\)</strong>: stale przy nawiasach nie sa pierwiastkami i nie wchodza do sumy. Liczy sie wylacznie to, dla jakich \\( x \\) zeruja sie nawiasy.</li></ul>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Z równania:</p>\n<p>3(x+3)(x-m)(2x+4)=0</p>\n<p>odczytujemy rozwiązania:</p>\n<p>x=-3, x=m, x=-2</p>\n<p>Suma wszystkich rozwiązań jest równa 0 :</p>\n<p>-3+m-2=0</p>\n<p>m-5=0</p>\n<p>m=5</p>\n<p>Odpowiedź: C. 5</p>"}]}