{"id":"matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona","number":"1","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-2)\nOblicz granicę\n𝐥𝐢𝐦\n𝒏→+∞\n(𝒏 + 𝟐\n𝒏 - 𝟏)\n𝟏\n𝟐𝒏𝟑-𝟒𝒏+ 𝟕\nZapisz obliczenia.\n1.\n0-1-2\n\nMMAP-R0_100\nOblicz granicę lim_{n→∞} (n+2 n-1) / 1/2n³ - 4n + 7. Zapisz obliczenia.","answer":"(1)/(3)","answer_text":"1. Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.","solution":"## Poprawna odpowiedź: $\\dfrac{1}{3}$\n\n$$\\lim_{n \\to +\\infty} \\dfrac{\\binom{n+2}{n-1}}{\\frac{1}{2}n^3 - 4n + 7} = \\frac{1}{3}$$\n\n## Sposób 1 - rozwinięcie symbolu Newtona i podzielenie przez najwyższą potęgę\n\n**Krok 1. Uprość symbol Newtona.**\n\nKorzystamy z własności symbolu dwumianowego (karta wzorów CKE EM2023, dział „Kombinatoryka - symbol Newtona\"):\n$$\\binom{m}{k} = \\binom{m}{m-k}.$$\n\nTutaj $m = n+2$, $k = n-1$, więc $m - k = (n+2) - (n-1) = 3$. Zatem\n$$\\binom{n+2}{n-1} = \\binom{n+2}{3}.$$\n\n**Krok 2. Rozpisz $\\binom{n+2}{3}$ jako wielomian.**\n\nZe wzoru $\\binom{m}{k} = \\dfrac{m!}{k!\\,(m-k)!}$ (definicja symbolu Newtona, karta wzorów):\n$$\\binom{n+2}{3} = \\frac{(n+2)(n+1)\\,n}{3!} = \\frac{(n+2)(n+1)\\,n}{6}.$$\n\nRozwijamy iloczyn w liczniku:\n$$(n+2)(n+1)\\,n = (n^2 + 3n + 2)\\,n = n^3 + 3n^2 + 2n.$$\n\nStąd\n$$\\binom{n+2}{n-1} = \\frac{n^3 + 3n^2 + 2n}{6} = \\frac{1}{6}n^3 + \\frac{1}{2}n^2 + \\frac{1}{3}n.$$\n\n**Krok 3. Zapisz granicę jako iloraz dwóch wielomianów stopnia 3.**\n\n$$\\lim_{n \\to +\\infty} \\frac{\\frac{1}{6}n^3 + \\frac{1}{2}n^2 + \\frac{1}{3}n}{\\frac{1}{2}n^3 - 4n + 7}.$$\n\nLicznik i mianownik to wielomiany **tego samego stopnia 3**.\n\n**Krok 4. Podziel licznik i mianownik przez $n^3$** (najwyższą potęgę występującą w wyrażeniu):\n\n$$= \\lim_{n \\to +\\infty} \\frac{\\frac{1}{6} + \\frac{1}{2n} + \\frac{1}{3n^2}}{\\frac{1}{2} - \\frac{4}{n^2} + \\frac{7}{n^3}}.$$\n\n**Krok 5. Przejdź do granicy.**\n\nKażdy składnik postaci $\\dfrac{c}{n}$, $\\dfrac{c}{n^2}$, $\\dfrac{c}{n^3}$ dąży do $0$, gdy $n \\to +\\infty$ (granica ciągu $\\frac{1}{n^k} \\to 0$ dla $k>0$). Pozostają jedynie współczynniki przy najwyższej potędze:\n\n$$= \\frac{\\frac{1}{6} + 0 + 0}{\\frac{1}{2} - 0 + 0} = \\frac{\\frac{1}{6}}{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{6} \\cdot \\frac{2}{1} = \\frac{2}{6} = \\frac{1}{3}.$$\n\n**Wniosek.**\n$$\\boxed{\\lim_{n \\to +\\infty} \\frac{\\binom{n+2}{n-1}}{\\frac{1}{2}n^3 - 4n + 7} = \\frac{1}{3}.}$$\n\n**Sprawdzenie liczbowe** (potwierdza wynik): dla $n=1000$ iloraz wynosi $\\approx 0{,}3343$, dla $n=10^6$ wynosi $\\approx 0{,}333334$ - wartości zbiegają do $\\frac{1}{3}$.\n\n## Typowe pułapki\n\n- **Błędne odczytanie dolnego wskaźnika.** Symbol $\\binom{n+2}{n-1}$ to **nie** zwykła potęga - trzeba użyć własności $\\binom{m}{k}=\\binom{m}{m-k}$, by sprowadzić go do $\\binom{n+2}{3}$. Bez tego łatwo pomylić stopień licznika (jest to wielomian stopnia 3, a nie wyższego).\n- **Zgubienie czynnika $\\tfrac{1}{6}$.** Licznik po rozwinięciu ma współczynnik wiodący $\\tfrac{1}{6}$, a mianownik $\\tfrac{1}{2}$. Granicą ilorazu wielomianów tego samego stopnia jest stosunek współczynników wiodących: $\\dfrac{1/6}{1/2}=\\dfrac13$ - a nie $1$ ani $3$. Pomylenie kolejności dzielenia daje błędne $3$.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/sol-1.svg","topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 1. (0-2)<br>Oblicz granicę<br>𝐥𝐢𝐦<br>𝒏→+∞<br>(𝒏 + 𝟐<br>𝒏 - 𝟏)<br>𝟏<br>𝟐𝒏𝟑-𝟒𝒏+ 𝟕<br>Zapisz obliczenia.<br>1.<br>0-1-2</p>\n<p>MMAP-R0_100<br>Oblicz granicę lim_{n→∞} (n+2 n-1) / 1/2n³ - 4n + 7. Zapisz obliczenia.</p>","answer_text_html":"<ol><li>Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki</li></ol>\n<p>zadania.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/sol-1.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: $\\dfrac{1}{3}$</h4>\n<p>$$\\lim_{n \\to +\\infty} \\dfrac{\\binom{n+2}{n-1}}{\\frac{1}{2}n^3 - 4n + 7} = \\frac{1}{3}$$</p>\n<h4>Sposób 1 - rozwinięcie symbolu Newtona i podzielenie przez najwyższą potęgę</h4>\n<p><strong>Krok 1. Uprość symbol Newtona.</strong></p>\n<p>Korzystamy z własności symbolu dwumianowego (karta wzorów CKE EM2023, dział „Kombinatoryka - symbol Newtona&quot;):<br>$$\\binom{m}{k} = \\binom{m}{m-k}.$$</p>\n<p>Tutaj $m = n+2$, $k = n-1$, więc $m - k = (n+2) - (n-1) = 3$. Zatem<br>$$\\binom{n+2}{n-1} = \\binom{n+2}{3}.$$</p>\n<p><strong>Krok 2. Rozpisz $\\binom{n+2}{3}$ jako wielomian.</strong></p>\n<p>Ze wzoru $\\binom{m}{k} = \\dfrac{m!}{k!\\,(m-k)!}$ (definicja symbolu Newtona, karta wzorów):<br>$$\\binom{n+2}{3} = \\frac{(n+2)(n+1)\\,n}{3!} = \\frac{(n+2)(n+1)\\,n}{6}.$$</p>\n<p>Rozwijamy iloczyn w liczniku:<br>$$(n+2)(n+1)\\,n = (n^2 + 3n + 2)\\,n = n^3 + 3n^2 + 2n.$$</p>\n<p>Stąd<br>$$\\binom{n+2}{n-1} = \\frac{n^3 + 3n^2 + 2n}{6} = \\frac{1}{6}n^3 + \\frac{1}{2}n^2 + \\frac{1}{3}n.$$</p>\n<p><strong>Krok 3. Zapisz granicę jako iloraz dwóch wielomianów stopnia 3.</strong></p>\n<p>$$\\lim_{n \\to +\\infty} \\frac{\\frac{1}{6}n^3 + \\frac{1}{2}n^2 + \\frac{1}{3}n}{\\frac{1}{2}n^3 - 4n + 7}.$$</p>\n<p>Licznik i mianownik to wielomiany <strong>tego samego stopnia 3</strong>.</p>\n<p><strong>Krok 4. Podziel licznik i mianownik przez $n^3$</strong> (najwyższą potęgę występującą w wyrażeniu):</p>\n<p>$$= \\lim_{n \\to +\\infty} \\frac{\\frac{1}{6} + \\frac{1}{2n} + \\frac{1}{3n^2}}{\\frac{1}{2} - \\frac{4}{n^2} + \\frac{7}{n^3}}.$$</p>\n<p><strong>Krok 5. Przejdź do granicy.</strong></p>\n<p>Każdy składnik postaci $\\dfrac{c}{n}$, $\\dfrac{c}{n^2}$, $\\dfrac{c}{n^3}$ dąży do $0$, gdy $n \\to +\\infty$ (granica ciągu $\\frac{1}{n^k} \\to 0$ dla $k&gt;0$). Pozostają jedynie współczynniki przy najwyższej potędze:</p>\n<p>$$= \\frac{\\frac{1}{6} + 0 + 0}{\\frac{1}{2} - 0 + 0} = \\frac{\\frac{1}{6}}{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{6} \\cdot \\frac{2}{1} = \\frac{2}{6} = \\frac{1}{3}.$$</p>\n<p><strong>Wniosek.</strong><br>$$\\boxed{\\lim_{n \\to +\\infty} \\frac{\\binom{n+2}{n-1}}{\\frac{1}{2}n^3 - 4n + 7} = \\frac{1}{3}.}$$</p>\n<p><strong>Sprawdzenie liczbowe</strong> (potwierdza wynik): dla $n=1000$ iloraz wynosi $\\approx 0{,}3343$, dla $n=10^6$ wynosi $\\approx 0{,}333334$ - wartości zbiegają do $\\frac{1}{3}$.</p>\n<h4>Typowe pułapki</h4>\n<ul><li><strong>Błędne odczytanie dolnego wskaźnika.</strong> Symbol $\\binom{n+2}{n-1}$ to <strong>nie</strong> zwykła potęga - trzeba użyć własności $\\binom{m}{k}=\\binom{m}{m-k}$, by sprowadzić go do $\\binom{n+2}{3}$. Bez tego łatwo pomylić stopień licznika (jest to wielomian stopnia 3, a nie wyższego).</li><li><strong>Zgubienie czynnika $\\tfrac{1}{6}$.</strong> Licznik po rozwinięciu ma współczynnik wiodący $\\tfrac{1}{6}$, a mianownik $\\tfrac{1}{2}$. Granicą ilorazu wielomianów tego samego stopnia jest stosunek współczynników wiodących: $\\dfrac{1/6}{1/2}=\\dfrac13$ - a nie $1$ ani $3$. Pomylenie kolejności dzielenia daje błędne $3$.</li></ul>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Najpierw dokładnie rozpisujemy symbol Newtona:</p>\n<p>binom n+2 n-1 =((n+2)!)/((n-1)! ((n+2)-(n-1))!)=((n+2)!)/((n-1)! 3!).</p>\n<p>Rozpisujemy silnię (n+2)! do czynnika (n-1)! :</p>\n<p>(n+2)!=(n-1)!· n·(n+1)·(n+2).</p>\n<p>Zatem</p>\n<p>binom n+2 n-1 =((n-1)! n(n+1)(n+2))/((n-1)!·6)=(n(n+1)(n+2))/(6).</p>\n<p>Podstawiamy otrzymane wyrażenie do granicy:</p>\n<p>lim_n→∞frac (n(n+1)(n+2))/(6) (1)/(2)n^3-4n+7 =lim_n→∞(n(n+1)(n+2))/(3n^3-24n+42).</p>\n<p>Wymnażamy licznik i dzielimy licznik oraz mianownik przez n^3 :</p>\n<p>lim_n→∞(n^3+3n^2+2n)/(3n^3-24n+42)=lim_n→∞frac 1+(3)/(n)+(2)/(n^2) 3-(24)/(n^2)+(42)/(n^3) =(1)/(3).</p>\n<p>Odpowiedź: (1)/(3) .</p>"}]}