{"id":"matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona","number":"11","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-6)\nW czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 są dane: |𝐴𝐵| = 9, |𝐴𝐷| = 10 oraz |∡𝐵𝐴𝐷| = 60°.\nW ten czworokąt wpisano okrąg oraz na tym czworokącie opisano okrąg (zobacz rysunek).\nOblicz długości boków 𝑩𝑪 i 𝑪𝑫 oraz pole czworokąta 𝑨𝑩𝑪𝑫. Zapisz obliczenia.\n11.\n0-1-\n2-3-\n4-5-6\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n9\n10\n60°\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nW czworokącie ABCD są dane: |AB|=9, |AD|=10 oraz |∠ BAD|=60°. W ten czworokąt wpisano okrąg oraz na tym czworokącie opisano okrąg (zobacz rysunek). [rysunek] Oblicz długości boków BC i CD oraz pole czworokąta ABCD. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"11 maja 2026 r.\nData publikacji\ndokumentu:","solution":"## Poprawna odpowiedz: \\( |BC| = 5 \\), \\( |CD| = 6 \\), \\( P_{ABCD} = 30\\sqrt{3} \\)\n\nCzworokąt \\( ABCD \\) jest **dwucentryczny** - jednocześnie wpisany w okrąg (cykliczny) i opisany na okręgu (styczny). Z tych dwóch faktów wynikają dwa kluczowe warunki, które rozwiążemy razem.\n\n## Sposob 1 - twierdzenie cosinusów + warunki czworokąta dwucentrycznego\n\n**Dane:** \\( |AB| = 9 \\), \\( |AD| = 10 \\), \\( |\\angle BAD| = 60^\\circ \\). Szukamy \\( |BC| \\), \\( |CD| \\) oraz pola.\n\n### Krok 1. Warunek czworokąta wpisanego w okrąg (kąty przeciwległe)\n\nW czworokącie wpisanym w okrąg sumy kątów przeciwległych wynoszą \\( 180^\\circ \\). Zatem:\n\\[\n|\\angle BCD| = 180^\\circ - |\\angle BAD| = 180^\\circ - 60^\\circ = 120^\\circ.\n\\]\n\n### Krok 2. Warunek czworokąta opisanego na okręgu (twierdzenie Pitota)\n\nDla czworokąta opisanego na okręgu sumy długości przeciwległych boków są równe:\n\\[\n|AB| + |CD| = |BC| + |AD|.\n\\]\nOznaczmy \\( |BC| = a \\), \\( |CD| = b \\). Podstawiając dane:\n\\[\n9 + b = a + 10 \\quad\\Longrightarrow\\quad b = a + 1. \\tag{1}\n\\]\n\n### Krok 3. Przekątna \\( BD \\) z trójkąta \\( ABD \\)\n\nPrzekątna \\( BD \\) dzieli czworokąt na dwa trójkąty. W trójkącie \\( ABD \\) znamy dwa boki i kąt między nimi, więc stosujemy **twierdzenie cosinusów** (karta wzorów CKE EM2023, dział *Trygonometria - twierdzenie cosinusów*: \\( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\alpha \\)):\n\\[\n|BD|^2 = |AB|^2 + |AD|^2 - 2\\cdot|AB|\\cdot|AD|\\cdot\\cos 60^\\circ.\n\\]\nPonieważ \\( \\cos 60^\\circ = \\tfrac{1}{2} \\):\n\\[\n|BD|^2 = 9^2 + 10^2 - 2\\cdot 9\\cdot 10\\cdot \\tfrac{1}{2} = 81 + 100 - 90 = 91. \\tag{2}\n\\]\n\n### Krok 4. Przekątna \\( BD \\) z trójkąta \\( BCD \\)\n\nW trójkącie \\( BCD \\) mamy boki \\( a, b \\) oraz kąt \\( |\\angle BCD| = 120^\\circ \\) między nimi. Ponownie twierdzenie cosinusów, przy czym \\( \\cos 120^\\circ = -\\tfrac{1}{2} \\):\n\\[\n|BD|^2 = a^2 + b^2 - 2ab\\cos 120^\\circ = a^2 + b^2 + ab. \\tag{3}\n\\]\n\n### Krok 5. Połączenie równań - rozwiązanie\n\nPorównujemy prawe strony (2) i (3) oraz korzystamy z (1), czyli \\( b = a+1 \\):\n\\[\na^2 + (a+1)^2 + a(a+1) = 91.\n\\]\nRozwijamy:\n\\[\na^2 + (a^2 + 2a + 1) + (a^2 + a) = 91,\n\\]\n\\[\n3a^2 + 3a + 1 = 91 \\quad\\Longrightarrow\\quad 3a^2 + 3a - 90 = 0 \\quad\\Longrightarrow\\quad a^2 + a - 30 = 0.\n\\]\nWyróżnik (karta wzorów CKE EM2023, dział *Równanie kwadratowe*: \\( \\Delta = b^2 - 4ac \\)):\n\\[\n\\Delta = 1^2 - 4\\cdot 1\\cdot(-30) = 1 + 120 = 121, \\qquad \\sqrt{\\Delta} = 11.\n\\]\n\\[\na = \\frac{-1 + 11}{2} = 5 \\qquad \\text{lub} \\qquad a = \\frac{-1 - 11}{2} = -6.\n\\]\nDługość boku jest dodatnia, więc \\( a = 5 \\) (wartość \\( -6 \\) odrzucamy). Z (1):\n\\[\n\\boxed{|BC| = a = 5, \\qquad |CD| = b = a + 1 = 6.}\n\\]\n\n### Krok 6. Pole czworokąta\n\nPole czworokąta to suma pól dwóch trójkątów. Stosujemy wzór na pole z dwóch boków i kąta między nimi (karta wzorów CKE EM2023, dział *Pole trójkąta*: \\( P = \\tfrac{1}{2}ab\\sin\\gamma \\)).\n\nTrójkąt \\( ABD \\) (\\( \\sin 60^\\circ = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} \\)):\n\\[\nP_{ABD} = \\tfrac{1}{2}\\cdot 9\\cdot 10\\cdot \\sin 60^\\circ = \\tfrac{1}{2}\\cdot 90\\cdot \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{45\\sqrt{3}}{2}.\n\\]\nTrójkąt \\( BCD \\) (\\( \\sin 120^\\circ = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} \\)):\n\\[\nP_{BCD} = \\tfrac{1}{2}\\cdot 5\\cdot 6\\cdot \\sin 120^\\circ = \\tfrac{1}{2}\\cdot 30\\cdot \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{15\\sqrt{3}}{2}.\n\\]\nSumarycznie:\n\\[\nP_{ABCD} = \\frac{45\\sqrt{3}}{2} + \\frac{15\\sqrt{3}}{2} = \\frac{60\\sqrt{3}}{2} = \\boxed{30\\sqrt{3}}.\n\\]\n\n## Typowe pulapki\n\n1. **Mylenie warunków obu okręgów.** Z okręgu **opisanego na czworokącie** (czworokąt wpisany) wynika \\( \\alpha + \\gamma = 180^\\circ \\) oraz \\( \\beta + \\delta = 180^\\circ \\). Z okręgu **wpisanego w czworokąt** (czworokąt opisany) wynika równość sum przeciwległych boków \\( |AB|+|CD| = |BC|+|AD| \\) (tw. Pitota). Trzeba użyć **obu** - pojedynczy warunek nie wystarcza, bo mamy dwie niewiadome \\( a \\) i \\( b \\).\n\n2. **Znak cosinusa kąta rozwartego.** W trójkącie \\( BCD \\) kąt wynosi \\( 120^\\circ \\), więc \\( \\cos 120^\\circ = -\\tfrac{1}{2} \\) i w twierdzeniu cosinusów składnik \\( -2ab\\cos 120^\\circ \\) staje się **dodatni** (\\( +ab \\)). Pominięcie znaku minus daje błędne równanie. Natomiast \\( \\sin 120^\\circ = \\sin 60^\\circ = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} \\) - pole obu trójkątów liczymy z tym samym sinusem.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/sol-11.svg","topics":null,"page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 11. (0-6)
W czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 są dane: |𝐴𝐵| = 9, |𝐴𝐷| = 10 oraz |∡𝐵𝐴𝐷| = 60°.
W ten czworokąt wpisano okrąg oraz na tym czworokącie opisano okrąg (zobacz rysunek).
Oblicz długości boków 𝑩𝑪 i 𝑪𝑫 oraz pole czworokąta 𝑨𝑩𝑪𝑫. Zapisz obliczenia.
11.
0-1-
2-3-
4-5-6
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
9
10
60°

\n

MMAP-R0_100

\n

MMAP-R0_100

\n

MMAP-R0_100

\n

MMAP-R0_100
W czworokącie ABCD są dane: |AB|=9, |AD|=10 oraz |∠ BAD|=60°. W ten czworokąt wpisano okrąg oraz na tym czworokącie opisano okrąg (zobacz rysunek). [rysunek] Oblicz długości boków BC i CD oraz pole czworokąta ABCD. Zapisz obliczenia.

","answer_text_html":"

11 maja 2026 r.
Data publikacji
dokumentu:

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/sol-11.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedz: \\( |BC| = 5 \\), \\( |CD| = 6 \\), \\( P_{ABCD} = 30\\sqrt{3} \\)

\n

Czworokąt \\( ABCD \\) jest dwucentryczny - jednocześnie wpisany w okrąg (cykliczny) i opisany na okręgu (styczny). Z tych dwóch faktów wynikają dwa kluczowe warunki, które rozwiążemy razem.

\n

Sposob 1 - twierdzenie cosinusów + warunki czworokąta dwucentrycznego

\n

Dane: \\( |AB| = 9 \\), \\( |AD| = 10 \\), \\( |\\angle BAD| = 60^\\circ \\). Szukamy \\( |BC| \\), \\( |CD| \\) oraz pola.

\n
Krok 1. Warunek czworokąta wpisanego w okrąg (kąty przeciwległe)
\n

W czworokącie wpisanym w okrąg sumy kątów przeciwległych wynoszą \\( 180^\\circ \\). Zatem:
\\[
|\\angle BCD| = 180^\\circ - |\\angle BAD| = 180^\\circ - 60^\\circ = 120^\\circ.
\\]

\n
Krok 2. Warunek czworokąta opisanego na okręgu (twierdzenie Pitota)
\n

Dla czworokąta opisanego na okręgu sumy długości przeciwległych boków są równe:
\\[
|AB| + |CD| = |BC| + |AD|.
\\]
Oznaczmy \\( |BC| = a \\), \\( |CD| = b \\). Podstawiając dane:
\\[
9 + b = a + 10 \\quad\\Longrightarrow\\quad b = a + 1. \\tag{1}
\\]

\n
Krok 3. Przekątna \\( BD \\) z trójkąta \\( ABD \\)
\n

Przekątna \\( BD \\) dzieli czworokąt na dwa trójkąty. W trójkącie \\( ABD \\) znamy dwa boki i kąt między nimi, więc stosujemy twierdzenie cosinusów (karta wzorów CKE EM2023, dział Trygonometria - twierdzenie cosinusów: \\( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\alpha \\)):
\\[
|BD|^2 = |AB|^2 + |AD|^2 - 2\\cdot|AB|\\cdot|AD|\\cdot\\cos 60^\\circ.
\\]
Ponieważ \\( \\cos 60^\\circ = \\tfrac{1}{2} \\):
\\[
|BD|^2 = 9^2 + 10^2 - 2\\cdot 9\\cdot 10\\cdot \\tfrac{1}{2} = 81 + 100 - 90 = 91. \\tag{2}
\\]

\n
Krok 4. Przekątna \\( BD \\) z trójkąta \\( BCD \\)
\n

W trójkącie \\( BCD \\) mamy boki \\( a, b \\) oraz kąt \\( |\\angle BCD| = 120^\\circ \\) między nimi. Ponownie twierdzenie cosinusów, przy czym \\( \\cos 120^\\circ = -\\tfrac{1}{2} \\):
\\[
|BD|^2 = a^2 + b^2 - 2ab\\cos 120^\\circ = a^2 + b^2 + ab. \\tag{3}
\\]

\n
Krok 5. Połączenie równań - rozwiązanie
\n

Porównujemy prawe strony (2) i (3) oraz korzystamy z (1), czyli \\( b = a+1 \\):
\\[
a^2 + (a+1)^2 + a(a+1) = 91.
\\]
Rozwijamy:
\\[
a^2 + (a^2 + 2a + 1) + (a^2 + a) = 91,
\\]
\\[
3a^2 + 3a + 1 = 91 \\quad\\Longrightarrow\\quad 3a^2 + 3a - 90 = 0 \\quad\\Longrightarrow\\quad a^2 + a - 30 = 0.
\\]
Wyróżnik (karta wzorów CKE EM2023, dział Równanie kwadratowe: \\( \\Delta = b^2 - 4ac \\)):
\\[
\\Delta = 1^2 - 4\\cdot 1\\cdot(-30) = 1 + 120 = 121, \\qquad \\sqrt{\\Delta} = 11.
\\]
\\[
a = \\frac{-1 + 11}{2} = 5 \\qquad \\text{lub} \\qquad a = \\frac{-1 - 11}{2} = -6.
\\]
Długość boku jest dodatnia, więc \\( a = 5 \\) (wartość \\( -6 \\) odrzucamy). Z (1):
\\[
\\boxed{|BC| = a = 5, \\qquad |CD| = b = a + 1 = 6.}
\\]

\n
Krok 6. Pole czworokąta
\n

Pole czworokąta to suma pól dwóch trójkątów. Stosujemy wzór na pole z dwóch boków i kąta między nimi (karta wzorów CKE EM2023, dział Pole trójkąta: \\( P = \\tfrac{1}{2}ab\\sin\\gamma \\)).

\n

Trójkąt \\( ABD \\) (\\( \\sin 60^\\circ = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} \\)):
\\[
P_{ABD} = \\tfrac{1}{2}\\cdot 9\\cdot 10\\cdot \\sin 60^\\circ = \\tfrac{1}{2}\\cdot 90\\cdot \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{45\\sqrt{3}}{2}.
\\]
Trójkąt \\( BCD \\) (\\( \\sin 120^\\circ = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} \\)):
\\[
P_{BCD} = \\tfrac{1}{2}\\cdot 5\\cdot 6\\cdot \\sin 120^\\circ = \\tfrac{1}{2}\\cdot 30\\cdot \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{15\\sqrt{3}}{2}.
\\]
Sumarycznie:
\\[
P_{ABCD} = \\frac{45\\sqrt{3}}{2} + \\frac{15\\sqrt{3}}{2} = \\frac{60\\sqrt{3}}{2} = \\boxed{30\\sqrt{3}}.
\\]

\n

Typowe pulapki

\n
  1. Mylenie warunków obu okręgów. Z okręgu opisanego na czworokącie (czworokąt wpisany) wynika \\( \\alpha + \\gamma = 180^\\circ \\) oraz \\( \\beta + \\delta = 180^\\circ \\). Z okręgu wpisanego w czworokąt (czworokąt opisany) wynika równość sum przeciwległych boków \\( |AB|+|CD| = |BC|+|AD| \\) (tw. Pitota). Trzeba użyć obu - pojedynczy warunek nie wystarcza, bo mamy dwie niewiadome \\( a \\) i \\( b \\).
\n
  1. Znak cosinusa kąta rozwartego. W trójkącie \\( BCD \\) kąt wynosi \\( 120^\\circ \\), więc \\( \\cos 120^\\circ = -\\tfrac{1}{2} \\) i w twierdzeniu cosinusów składnik \\( -2ab\\cos 120^\\circ \\) staje się dodatni (\\( +ab \\)). Pominięcie znaku minus daje błędne równanie. Natomiast \\( \\sin 120^\\circ = \\sin 60^\\circ = \\tfrac{\\sqrt{3}}{2} \\) - pole obu trójkątów liczymy z tym samym sinusem.
"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Najpierw obliczamy przekątną BD z twierdzenia cosinusów w trójkącie ABD :

\n

BD^2=9^2+10^2-2·9·10cos60^°=91.

\n

Oznaczmy |BC|=a . Czworokąt jest opisany na okręgu, więc sumy długości przeciwległych boków są równe:

\n

9+|CD|=10+a ⟹ |CD|=a+1.

\n

Czworokąt jest również wpisany w okrąg, zatem ∠ BCD=120^° . W trójkącie BCD :

\n

91=a^2+(a+1)^2-2a(a+1)cos120^°.

\n

3a^2+3a-90=0 ⟹ a=5.

\n

Zatem |BC|=5 i |CD|=6 . Pole jest sumą pól trójkątów ABD i BCD :

\n

P=(1)/(2)·9·10sin60^°+(1)/(2)·5·6sin120^°=30√(3).

\n

Odpowiedź: |BC|=5 , |CD|=6 , P=30√(3) .

"}]}