{"id":"matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad/12.1","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona","number":"12.1","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12.1. (0-3)\nWyka偶, 偶e pole 饾懛 (wyra偶one w metrach kwadratowych) tr贸jk膮tnego kwietnika\no podstawie d艂ugo艣ci 饾挋 metr贸w jest okre艣lone wzorem\n饾懛(饾挋) =\n饾煇饾挋饾煈\n饾挋饾煇-饾煆饾煍\n12.1.\n0-1-\n2-3\n饾懃\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedz: \\( P(x)=\\dfrac{2x^3}{x^2-16} \\) (dla \\( 42 \\)):\n\\[ x^{2}\\left(\\tfrac{h}{2}-1\\right)^{2}=4\\left(h^{2}+\\tfrac{x^{2}}{4}\\right), \\]\n\\[ x^{2}\\left(\\tfrac{h^{2}}{4}-h+1\\right)=4h^{2}+x^{2}. \\]\nMno偶ymy obustronnie przez \\(4\\):\n\\[ x^{2}\\left(h^{2}-4h+4\\right)=16h^{2}+4x^{2}. \\]\nZwi艅|amy nawias jako kwadrat (**wz贸r skr贸conego mno偶enia**, Karta wzor贸w EM2023): \\( h^{2}-4h+4=(h-2)^{2} \\), ale wygodniej rozwin膮膰 i pogrupowa膰 wzgl臋dem \\( h \\):\n\\[ x^{2}h^{2}-4x^{2}h+4x^{2}=16h^{2}+4x^{2}. \\]\nOdejmujemy \\( 4x^{2} \\) od obu stron:\n\\[ x^{2}h^{2}-4x^{2}h=16h^{2}, \\]\n\\[ x^{2}h^{2}-16h^{2}=4x^{2}h, \\]\n\\[ h^{2}\\left(x^{2}-16\\right)=4x^{2}h. \\]\nPoniewa偶 \\( h>0 \\), dzielimy przez \\( h \\):\n\\[ h\\left(x^{2}-16\\right)=4x^{2}\\quad\\Longrightarrow\\quad h=\\frac{4x^{2}}{x^{2}-16}. \\tag{3} \\]\n\n**Krok 5. Wz贸r na pole.**\nWstawiamy (3) do (2):\n\\[ P=\\frac{1}{2}\\,x\\cdot h=\\frac{1}{2}\\,x\\cdot\\frac{4x^{2}}{x^{2}-16}=\\frac{2x^{3}}{x^{2}-16}. \\]\nTo ko艅czy dow贸d:\n\\[ \\boxed{\\,P(x)=\\dfrac{2x^{3}}{x^{2}-16}\\,}. \\]\n\n**Krok 6. Dziedzina (warunek istnienia).**\nAby okr膮g o promieniu \\(2\\) zmie艣ci艂 si臋 w tr贸jk膮cie i by艂 styczny do ramion, mianownik musi by膰 dodatni: \\( x^{2}-16>0 \\), czyli \\( x>4 \\) (bo \\( x>0 \\)). Z tre艣ci \\( x\\le 10 \\). St膮d sensowna dziedzina to \\( 40 \\), zgodnie z interpretacj膮 geometryczn膮.\n\n## Sposob 2 - przez styczna z punktu (kontrola wyniku)\n\n艢rodek okr臋gu wpisanego \\( S \\) le偶y na osi symetrii, w odleg艂o艣ci \\( r=2 \\) od podstawy, czyli na wysoko艣ci \\( 2 \\) nad podstaw膮. Wierzcho艂ek g贸rny \\( C \\) le偶y na wysoko艣ci \\( h \\), wi臋c \\( |SC|=h-2 \\).\n\nOdcinek ramienia od wierzcho艂ka \\( C \\) do punktu styczno艣ci z ramieniem ma d艂ugo艣膰 \\( t=\\sqrt{|SC|^{2}-r^{2}}=\\sqrt{(h-2)^{2}-4} \\) (styczna z punktu do okr臋gu, twierdzenie Pitagorasa). Punkt styczno艣ci na podstawie dzieli j膮 na po艂owy, wi臋c odcinek podstawy od naro偶nika dolnego do punktu styczno艣ci ma d艂ugo艣膰 \\( \\tfrac{x}{2} \\). Z twierdzenia o odcinkach stycznych rami臋 \\( b=t+\\tfrac{x}{2} \\).\n\n艁膮cz膮c z \\( b=\\sqrt{h^{2}+\\tfrac{x^{2}}{4}} \\) otrzymuje si臋 to samo r贸wnanie co w Sposobie 1 i t臋 sam膮 wysoko艣膰 \\( h=\\dfrac{4x^{2}}{x^{2}-16} \\), a w konsekwencji \\( P(x)=\\dfrac{2x^{3}}{x^{2}-16} \\). Wynik si臋 potwierdza.\n\n## Typowe pulapki\n\n- **艢rednica vs promie艅.** W tre艣ci podana jest *艣rednica* \\(4\\) m - do wzoru \\( P=r\\cdot p \\) trzeba wstawi膰 **promie艅** \\( r=2 \\), a nie \\(4\\). Wstawienie \\(4\\) zniszczy ca艂y rachunek.\n- **Pomini臋cie warunku \\( x>4 \\).** Mianownik \\( x^{2}-16 \\) musi by膰 dodatni - geometrycznie odpowiada to temu, 偶e okr膮g o promieniu \\(2\\) w og贸le 鈥瀖ie艣ci si臋\" w k膮cie przy podstawie. Bez tego warunku wz贸r nie ma sensu (dla \\( x\\le 4 \\) wysz艂oby \\( P\\le 0 \\)).\n- **Podnoszenie do kwadratu.** Po izolacji pierwiastka i podniesieniu do kwadratu warto pami臋ta膰, 偶e krok ten wymaga dodatnio艣ci lewej strony (\\( \\tfrac{h}{2}-1>0 \\), czyli \\( h>2 \\)) - co jest spe艂nione, bo okr膮g styczny do podstawy i ramion ma 艣rodek nad podstaw膮, wi臋c \\( h>2r=4>2 \\).","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad-12.1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":28,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka 路 Matura 路 maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 12.1. (0-3)
Wyka偶, 偶e pole 饾懛 (wyra偶one w metrach kwadratowych) tr贸jk膮tnego kwietnika
o podstawie d艂ugo艣ci 饾挋 metr贸w jest okre艣lone wzorem
饾懛(饾挋) =
饾煇饾挋饾煈
饾挋饾煇-饾煆饾煍
12.1.
0-1-
2-3
饾懃

\n

MMAP-R0_100

\n

MMAP-R0_100

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedz: \\( P(x)=\\dfrac{2x^3}{x^2-16} \\) (dla \\( 4<x\\le 10 \\))

\n

Mamy wykaza膰, 偶e pole tr贸jk膮ta r贸wnoramiennego o podstawie \\( x \\), w kt贸ry wpisano okr膮g o 艣rednicy \\(4\\) m (czyli o promieniu \\( r=2 \\) m) styczny do wszystkich trzech bok贸w, wyra偶a si臋 wzorem \\( P(x)=\\dfrac{2x^3}{x^2-16} \\).

\n

Sposob 1 - promien okregu wpisanego (P = r 路 p)

\n

Krok 1. Oznaczenia i rysunek.
Tr贸jk膮t jest r贸wnoramienny: podstawa ma d艂ugo艣膰 \\( x \\), a wysoko艣膰 opuszczona na podstaw臋 ma d艂ugo艣膰 \\( h \\). Wysoko艣膰 ta dzieli podstaw臋 na dwie r贸wne cz臋艣ci o d艂ugo艣ci \\( \\tfrac{x}{2} \\) (w tr贸jk膮cie r贸wnoramiennym wysoko艣膰 z wierzcho艂ka le偶y na osi symetrii).

\n

Ka偶de z ramion \\( b \\) jest przeciwprostok膮tn膮 tr贸jk膮ta prostok膮tnego o przyprostok膮tnych \\( h \\) oraz \\( \\tfrac{x}{2} \\), wi臋c z twierdzenia Pitagorasa (Karta wzor贸w EM2023, dzia艂 Tr贸jk膮t prostok膮tny / twierdzenie Pitagorasa):
\\[ b=\\sqrt{h^{2}+\\left(\\tfrac{x}{2}\\right)^{2}}=\\sqrt{h^{2}+\\tfrac{x^{2}}{4}}. \\]

\n

Krok 2. Promie艅 okr臋gu wpisanego.
Okr膮g wpisany w tr贸jk膮t (styczny do wszystkich trzech bok贸w) ma promie艅 zwi膮zany z polem \\( P \\) i po艂ow|owym obwodem \\( p \\) wzorem (Karta wzor贸w EM2023, dzia艂 Okr膮g wpisany w tr贸jk膮t):
\\[ P=r\\cdot p,\\qquad p=\\frac{a+b+c}{2}. \\]
Tutaj boki to \\( x,\\ b,\\ b \\), wi臋c po艂owa obwodu:
\\[ p=\\frac{x+2b}{2}. \\]
Poniewa偶 \\( r=2 \\), dostajemy:
\\[ P=2\\cdot\\frac{x+2b}{2}=x+2b. \\tag{1} \\]

\n

Krok 3. Drugi wz贸r na pole.
Pole tr贸jk膮ta liczone z podstawy \\( x \\) i wysoko艣ci \\( h \\) (Karta wzor贸w EM2023, dzia艂 Pole tr贸jk膮ta):
\\[ P=\\frac{1}{2}\\,x\\,h. \\tag{2} \\]

\n

Krok 4. Wyznaczenie wysoko艣ci \\( h \\).
Z por贸wnania (1) i (2):
\\[ \\frac{1}{2}\\,x\\,h = x+2b = x+2\\sqrt{h^{2}+\\tfrac{x^{2}}{4}}. \\]
Izolujemy pierwiastek:
\\[ \\frac{1}{2}\\,x\\,h - x = 2\\sqrt{h^{2}+\\tfrac{x^{2}}{4}}, \\]
\\[ x\\left(\\tfrac{h}{2}-1\\right) = 2\\sqrt{h^{2}+\\tfrac{x^{2}}{4}}. \\]
Podnosimy obie strony do kwadratu (lewa strona dodatnia, bo dla styczno艣ci okr臋gu o promieniu \\(2\\) musi by膰 \\( h>2 \\)):
\\[ x^{2}\\left(\\tfrac{h}{2}-1\\right)^{2}=4\\left(h^{2}+\\tfrac{x^{2}}{4}\\right), \\]
\\[ x^{2}\\left(\\tfrac{h^{2}}{4}-h+1\\right)=4h^{2}+x^{2}. \\]
Mno偶ymy obustronnie przez \\(4\\):
\\[ x^{2}\\left(h^{2}-4h+4\\right)=16h^{2}+4x^{2}. \\]
Zwi艅|amy nawias jako kwadrat (wz贸r skr贸conego mno偶enia, Karta wzor贸w EM2023): \\( h^{2}-4h+4=(h-2)^{2} \\), ale wygodniej rozwin膮膰 i pogrupowa膰 wzgl臋dem \\( h \\):
\\[ x^{2}h^{2}-4x^{2}h+4x^{2}=16h^{2}+4x^{2}. \\]
Odejmujemy \\( 4x^{2} \\) od obu stron:
\\[ x^{2}h^{2}-4x^{2}h=16h^{2}, \\]
\\[ x^{2}h^{2}-16h^{2}=4x^{2}h, \\]
\\[ h^{2}\\left(x^{2}-16\\right)=4x^{2}h. \\]
Poniewa偶 \\( h>0 \\), dzielimy przez \\( h \\):
\\[ h\\left(x^{2}-16\\right)=4x^{2}\\quad\\Longrightarrow\\quad h=\\frac{4x^{2}}{x^{2}-16}. \\tag{3} \\]

\n

Krok 5. Wz贸r na pole.
Wstawiamy (3) do (2):
\\[ P=\\frac{1}{2}\\,x\\cdot h=\\frac{1}{2}\\,x\\cdot\\frac{4x^{2}}{x^{2}-16}=\\frac{2x^{3}}{x^{2}-16}. \\]
To ko艅czy dow贸d:
\\[ \\boxed{\\,P(x)=\\dfrac{2x^{3}}{x^{2}-16}\\,}. \\]

\n

Krok 6. Dziedzina (warunek istnienia).
Aby okr膮g o promieniu \\(2\\) zmie艣ci艂 si臋 w tr贸jk膮cie i by艂 styczny do ramion, mianownik musi by膰 dodatni: \\( x^{2}-16>0 \\), czyli \\( x>4 \\) (bo \\( x>0 \\)). Z tre艣ci \\( x\\le 10 \\). St膮d sensowna dziedzina to \\( 4<x\\le 10 \\) - i wtedy \\( P(x)>0 \\), zgodnie z interpretacj膮 geometryczn膮.

\n

Sposob 2 - przez styczna z punktu (kontrola wyniku)

\n

艢rodek okr臋gu wpisanego \\( S \\) le偶y na osi symetrii, w odleg艂o艣ci \\( r=2 \\) od podstawy, czyli na wysoko艣ci \\( 2 \\) nad podstaw膮. Wierzcho艂ek g贸rny \\( C \\) le偶y na wysoko艣ci \\( h \\), wi臋c \\( |SC|=h-2 \\).

\n

Odcinek ramienia od wierzcho艂ka \\( C \\) do punktu styczno艣ci z ramieniem ma d艂ugo艣膰 \\( t=\\sqrt{|SC|^{2}-r^{2}}=\\sqrt{(h-2)^{2}-4} \\) (styczna z punktu do okr臋gu, twierdzenie Pitagorasa). Punkt styczno艣ci na podstawie dzieli j膮 na po艂owy, wi臋c odcinek podstawy od naro偶nika dolnego do punktu styczno艣ci ma d艂ugo艣膰 \\( \\tfrac{x}{2} \\). Z twierdzenia o odcinkach stycznych rami臋 \\( b=t+\\tfrac{x}{2} \\).

\n

艁膮cz膮c z \\( b=\\sqrt{h^{2}+\\tfrac{x^{2}}{4}} \\) otrzymuje si臋 to samo r贸wnanie co w Sposobie 1 i t臋 sam膮 wysoko艣膰 \\( h=\\dfrac{4x^{2}}{x^{2}-16} \\), a w konsekwencji \\( P(x)=\\dfrac{2x^{3}}{x^{2}-16} \\). Wynik si臋 potwierdza.

\n

Typowe pulapki

\n"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Oznaczmy przez h wysoko艣膰 tr贸jk膮tnego kwietnika, a przez b d艂ugo艣膰 jego ramienia. Promie艅 fontanny wynosi 2 m.

\n

Z podobie艅stwa zaznaczonych na rysunku tr贸jk膮t贸w prostok膮tnych otrzymujemy proporcj臋

\n

(2)/(frac x2)=(h-2)/(b).

\n

Po wymno偶eniu wyraz贸w proporcji:

\n

2b=(x)/(2)(h-2),

\n

b=(x)/(4)(h-2).

\n

Po艂owa tr贸jk膮ta r贸wnoramiennego jest tr贸jk膮tem prostok膮tnym o przyprostok膮tnych (x)/(2) i h oraz przeciwprostok膮tnej b . Z twierdzenia Pitagorasa:

\n

((x)/(2) )^2+h^2=b^2.

\n

Podstawiamy b=(x)/(4)(h-2) :

\n

(x^2)/(4)+h^2=(x^2)/(16)(h-2)^2.

\n

Mno偶ymy obie strony przez 16 i rozwijamy kwadrat:

\n

4x^2+16h^2=x^2(h^2-4h+4),

\n

4x^2+16h^2=x^2h^2-4x^2h+4x^2.

\n

Redukujemy 4x^2 po obu stronach:

\n

16h^2=x^2h^2-4x^2h.

\n

Poniewa偶 h>0 , dzielimy przez h :

\n

16h=x^2h-4x^2,

\n

h(x^2-16)=4x^2,

\n

h=(4x^2)/(x^2-16).

\n

Pole tr贸jk膮ta o podstawie x i wysoko艣ci h wynosi

\n

P(x)=(1)/(2)xh=(1)/(2)x路(4x^2)/(x^2-16)=(2x^3)/(x^2-16).

\n

Teza zosta艂a wykazana.

"}]}