{"id":"matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad/12.2","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona","number":"12.2","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12.2. (0-4)\nPole 𝑃 trójkątnego kwietnika o podstawie długości 𝑥 metrów jest określone wzorem\n𝑃(𝑥) =\n2𝑥3\n𝑥2 -16\ndla każdego 𝑥∈(4, 10].\nWyznacz długość 𝒙 podstawy trójkątnego kwietnika, dla której pole tego kwietnika\njest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.\n12.2.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMAP-R0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023\nPole P trójkątnego kwietnika o podstawie długości x metrów jest określone wzorem P(x) = 2x³ / x²-16 dla każdego x ∈ (4,10>. Wyznacz długość x podstawy trójkątnego kwietnika, dla której pole tego kwietnika jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\( x = 4\\sqrt{3}\\ \\text{m} \\approx 6{,}93\\ \\text{m} \\), najmniejsze pole \\( P_{\\min} = 12\\sqrt{3}\\ \\text{m}^2 \\approx 20{,}78\\ \\text{m}^2 \\)\n\n## Sposób 1 - pochodna funkcji (badanie monotoniczności)\n\n**Dane.** Pole opisane funkcją\n\\[ P(x) = \\dfrac{2x^3}{x^2 - 16}, \\qquad x \\in (4,\\,10]. \\]\nSzukamy wartości najmniejszej tej funkcji na danym przedziale.\n\n**Krok 1. Dziedzina i dlaczego trzeba użyć pochodnej.**\nNa przedziale \\( (4,\\,10] \\) mianownik \\( x^2-16 > 0 \\), więc funkcja jest dobrze określona i ciągła. Aby znaleźć najmniejszą wartość, badamy monotoniczność za pomocą pochodnej (karta wzorów CKE EM2023, dział **Rachunek różniczkowy** - pochodna ilorazu).\n\n**Krok 2. Liczymy pochodną (wzór na pochodną ilorazu).**\nZ karty wzorów:\n\\[ \\left(\\dfrac{u}{v}\\right)' = \\dfrac{u'v - uv'}{v^2}. \\]\nTutaj \\( u = 2x^3 \\Rightarrow u' = 6x^2 \\) oraz \\( v = x^2-16 \\Rightarrow v' = 2x \\). Zatem\n\\[ P'(x) = \\dfrac{6x^2\\,(x^2-16) - 2x^3\\cdot 2x}{(x^2-16)^2}. \\]\n\n**Krok 3. Upraszczamy licznik.**\n\\[ 6x^2(x^2-16) - 4x^4 = 6x^4 - 96x^2 - 4x^4 = 2x^4 - 96x^2 = 2x^2\\,(x^2 - 48). \\]\nStąd\n\\[ P'(x) = \\dfrac{2x^2\\,(x^2 - 48)}{(x^2-16)^2}. \\]\n\n**Krok 4. Szukamy miejsc zerowych pochodnej.**\nMianownik \\( (x^2-16)^2 > 0 \\) na całym przedziale, a \\( 2x^2 > 0 \\) (bo \\( x>4 \\)). O znaku pochodnej decyduje więc tylko czynnik \\( x^2 - 48 \\).\n\\[ P'(x) = 0 \\iff x^2 - 48 = 0 \\iff x = \\sqrt{48} = 4\\sqrt{3}. \\]\n(drugie rozwiązanie \\( x=-4\\sqrt{3} \\) odpada - poza dziedziną). Sprawdzamy: \\( 4\\sqrt{3} \\approx 6{,}93 \\in (4,\\,10] \\).\n\n**Krok 5. Badamy znak pochodnej (monotoniczność).**\nCzynnik \\( x^2 - 48 \\):\n- dla \\( x \\in (4,\\,4\\sqrt{3}) \\): \\( x^2 < 48 \\), więc \\( P'(x) < 0 \\) - funkcja **malejąca**,\n- dla \\( x \\in (4\\sqrt{3},\\,10] \\): \\( x^2 > 48 \\), więc \\( P'(x) > 0 \\) - funkcja **rosnąca**.\n\n(Kontrola: dla \\( x=5 \\): \\( 25-48 = -23 < 0 \\); dla \\( x=7 \\): \\( 49-48 = 1 > 0 \\).)\n\n**Krok 6. Wniosek o minimum.**\nPochodna zmienia znak z minus na plus w punkcie \\( x = 4\\sqrt{3} \\), więc funkcja osiąga tam **minimum lokalne**, które - wobec malenia przed nim i rośnięcia po nim - jest jednocześnie **minimum globalnym** na przedziale \\( (4,\\,10] \\).\n\n**Krok 7. Obliczamy najmniejsze pole.**\n\\[ P\\!\\left(4\\sqrt{3}\\right) = \\dfrac{2\\,(4\\sqrt{3})^3}{(4\\sqrt{3})^2 - 16}. \\]\nLiczymy potęgi:\n\\[ (4\\sqrt{3})^2 = 16\\cdot 3 = 48, \\qquad (4\\sqrt{3})^3 = (4\\sqrt{3})^2\\cdot 4\\sqrt{3} = 48\\cdot 4\\sqrt{3} = 192\\sqrt{3}. \\]\nZatem\n\\[ P\\!\\left(4\\sqrt{3}\\right) = \\dfrac{2\\cdot 192\\sqrt{3}}{48 - 16} = \\dfrac{384\\sqrt{3}}{32} = 12\\sqrt{3}. \\]\n\n**Odpowiedź.** Pole jest najmniejsze dla podstawy\n\\[ x = 4\\sqrt{3}\\ \\text{m} \\approx 6{,}93\\ \\text{m}, \\]\na najmniejsze pole wynosi\n\\[ P_{\\min} = 12\\sqrt{3}\\ \\text{m}^2 \\approx 20{,}78\\ \\text{m}^2. \\]\n\n(Dla porównania na krańcach: \\( P(10) = \\tfrac{2000}{84} = \\tfrac{500}{21} \\approx 23{,}8 \\), a przy \\( x\\to 4^+ \\) pole rośnie do nieskończoności - co potwierdza, że minimum jest właśnie w \\( 4\\sqrt{3} \\).)\n\n## Typowe pułapki\n\n- **Błąd w pochodnej ilorazu** - częsta pomyłka to zapis \\( u'v + uv' \\) zamiast \\( u'v - uv' \\) (mylenie ze wzorem na pochodną iloczynu). Znak „minus” w liczniku jest kluczowy.\n- **Pominięcie sprawdzenia, czy punkt krytyczny należy do przedziału i czy to globalne minimum** - należy uzasadnić zmianę znaku pochodnej (malejąca → rosnąca). Samo przyrównanie \\( P'(x)=0 \\) bez analizy znaku nie gwarantuje, że to minimum (a nie maksimum czy punkt na krańcu). Tutaj minimum lokalne jest globalne, bo funkcja maleje na całym lewym i rośnie na całym prawym kawałku przedziału.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad-12.2.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/sol-12.2.svg","topics":null,"page_from":30,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 12.2. (0-4)
Pole 𝑃 trójkątnego kwietnika o podstawie długości 𝑥 metrów jest określone wzorem
𝑃(𝑥) =
2𝑥3
𝑥2 -16
dla każdego 𝑥∈(4, 10].
Wyznacz długość 𝒙 podstawy trójkątnego kwietnika, dla której pole tego kwietnika
jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.
12.2.
0-1-
2-3-4

\n

MMAP-R0_100

\n

MMAP-R0_100
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

MMAP-R0_100

\n

MATEMATYKA
Poziom rozszerzony
Formuła 2023
MATEMATYKA
Poziom rozszerzony
Formuła 2023
MATEMATYKA
Poziom rozszerzony
Formuła 2023
Pole P trójkątnego kwietnika o podstawie długości x metrów jest określone wzorem P(x) = 2x³ / x²-16 dla każdego x ∈ (4,10>. Wyznacz długość x podstawy trójkątnego kwietnika, dla której pole tego kwietnika jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/sol-12.2.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\( x = 4\\sqrt{3}\\ \\text{m} \\approx 6{,}93\\ \\text{m} \\), najmniejsze pole \\( P_{\\min} = 12\\sqrt{3}\\ \\text{m}^2 \\approx 20{,}78\\ \\text{m}^2 \\)

\n

Sposób 1 - pochodna funkcji (badanie monotoniczności)

\n

Dane. Pole opisane funkcją
\\[ P(x) = \\dfrac{2x^3}{x^2 - 16}, \\qquad x \\in (4,\\,10]. \\]
Szukamy wartości najmniejszej tej funkcji na danym przedziale.

\n

Krok 1. Dziedzina i dlaczego trzeba użyć pochodnej.
Na przedziale \\( (4,\\,10] \\) mianownik \\( x^2-16 > 0 \\), więc funkcja jest dobrze określona i ciągła. Aby znaleźć najmniejszą wartość, badamy monotoniczność za pomocą pochodnej (karta wzorów CKE EM2023, dział Rachunek różniczkowy - pochodna ilorazu).

\n

Krok 2. Liczymy pochodną (wzór na pochodną ilorazu).
Z karty wzorów:
\\[ \\left(\\dfrac{u}{v}\\right)' = \\dfrac{u'v - uv'}{v^2}. \\]
Tutaj \\( u = 2x^3 \\Rightarrow u' = 6x^2 \\) oraz \\( v = x^2-16 \\Rightarrow v' = 2x \\). Zatem
\\[ P'(x) = \\dfrac{6x^2\\,(x^2-16) - 2x^3\\cdot 2x}{(x^2-16)^2}. \\]

\n

Krok 3. Upraszczamy licznik.
\\[ 6x^2(x^2-16) - 4x^4 = 6x^4 - 96x^2 - 4x^4 = 2x^4 - 96x^2 = 2x^2\\,(x^2 - 48). \\]
Stąd
\\[ P'(x) = \\dfrac{2x^2\\,(x^2 - 48)}{(x^2-16)^2}. \\]

\n

Krok 4. Szukamy miejsc zerowych pochodnej.
Mianownik \\( (x^2-16)^2 > 0 \\) na całym przedziale, a \\( 2x^2 > 0 \\) (bo \\( x>4 \\)). O znaku pochodnej decyduje więc tylko czynnik \\( x^2 - 48 \\).
\\[ P'(x) = 0 \\iff x^2 - 48 = 0 \\iff x = \\sqrt{48} = 4\\sqrt{3}. \\]
(drugie rozwiązanie \\( x=-4\\sqrt{3} \\) odpada - poza dziedziną). Sprawdzamy: \\( 4\\sqrt{3} \\approx 6{,}93 \\in (4,\\,10] \\).

\n

Krok 5. Badamy znak pochodnej (monotoniczność).
Czynnik \\( x^2 - 48 \\):

\n\n

(Kontrola: dla \\( x=5 \\): \\( 25-48 = -23 < 0 \\); dla \\( x=7 \\): \\( 49-48 = 1 > 0 \\).)

\n

Krok 6. Wniosek o minimum.
Pochodna zmienia znak z minus na plus w punkcie \\( x = 4\\sqrt{3} \\), więc funkcja osiąga tam minimum lokalne, które - wobec malenia przed nim i rośnięcia po nim - jest jednocześnie minimum globalnym na przedziale \\( (4,\\,10] \\).

\n

Krok 7. Obliczamy najmniejsze pole.
\\[ P\\!\\left(4\\sqrt{3}\\right) = \\dfrac{2\\,(4\\sqrt{3})^3}{(4\\sqrt{3})^2 - 16}. \\]
Liczymy potęgi:
\\[ (4\\sqrt{3})^2 = 16\\cdot 3 = 48, \\qquad (4\\sqrt{3})^3 = (4\\sqrt{3})^2\\cdot 4\\sqrt{3} = 48\\cdot 4\\sqrt{3} = 192\\sqrt{3}. \\]
Zatem
\\[ P\\!\\left(4\\sqrt{3}\\right) = \\dfrac{2\\cdot 192\\sqrt{3}}{48 - 16} = \\dfrac{384\\sqrt{3}}{32} = 12\\sqrt{3}. \\]

\n

Odpowiedź. Pole jest najmniejsze dla podstawy
\\[ x = 4\\sqrt{3}\\ \\text{m} \\approx 6{,}93\\ \\text{m}, \\]
a najmniejsze pole wynosi
\\[ P_{\\min} = 12\\sqrt{3}\\ \\text{m}^2 \\approx 20{,}78\\ \\text{m}^2. \\]

\n

(Dla porównania na krańcach: \\( P(10) = \\tfrac{2000}{84} = \\tfrac{500}{21} \\approx 23{,}8 \\), a przy \\( x\\to 4^+ \\) pole rośnie do nieskończoności - co potwierdza, że minimum jest właśnie w \\( 4\\sqrt{3} \\).)

\n

Typowe pułapki

\n"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Korzystamy ze wzoru wykazanego w zadaniu 12.1:

\n

P(x)=(2x^3)/(x^2-16), x∈(4,10].

\n

Obliczamy pochodną funkcji, stosując wzór na pochodną ilorazu:

\n

P'(x)=((2x^3)'(x^2-16)-2x^3(x^2-16)')/((x^2-16)^2).

\n

Obliczamy występujące pochodne:

\n

(2x^3)'=6x^2, (x^2-16)'=2x.

\n

Zatem

\n

P'(x)=(6x^2(x^2-16)-2x^3·2x)/((x^2-16)^2).

\n

Upraszczamy licznik:

\n

P'(x)=(6x^4-96x^2-4x^4)/((x^2-16)^2)=(2x^4-96x^2)/((x^2-16)^2),

\n

P'(x)=(2x^2(x^2-48))/((x^2-16)^2).

\n

Wyznaczamy miejsca zerowe licznika pochodnej:

\n

2x^2(x^2-48)=0,

\n

x=0 lub x^2=48,

\n

x=±4√(3).

\n

Do przedziału (4,10] należy tylko punkt x=4√(3) . Mianownik pochodnej jest w tym przedziale dodatni, a 2x^2>0 , więc znak pochodnej zależy od znaku wyrażenia x^2-48 :

\n

P'(x)<0 dla x∈(4,4√(3)),

\n

P'(x)>0 dla x∈(4√(3),10].

\n

Funkcja najpierw maleje, a następnie rośnie, dlatego dla x=4√(3) osiąga wartość najmniejszą.

\n

Obliczamy tę wartość:

\n

P(4√(3))=(2(4√(3))^3)/((4√(3))^2-16).

\n

(4√(3))^2=48, (4√(3))^3=192√(3),

\n

P(4√(3))=(2·192√(3))/(48-16)=(384√(3))/(32)=12√(3).

\n

Odpowiedź: długość podstawy wynosi 4√(3) m, a najmniejsze pole kwietnika jest równe 12√(3) m^2 .

"}]}