{"id":"matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad/2","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona","number":"2","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2. (0-3)\nZe zbioru ośmiu liczb {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} losujemy bez zwracania osiem razy po jednej\nliczbie. Wylosowane liczby ustawiamy w ciąg zgodnie z kolejnością losowania.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝑨 polegającego na tym, że wylosowane liczby\nutworzą ciąg, w którym iloczyn każdych trzech kolejnych wyrazów będzie liczbą\npodzielną przez 𝟑. Wynik podaj w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.\nZapisz obliczenia.\n2.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-R0_100\nZe zbioru ośmiu liczb {1,2,3,4,5,6,7,8} losujemy bez zwracania osiem razy po jednej liczbie. Wylosowane liczby ustawiamy w ciąg zgodnie z kolejnością losowania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że wylosowane liczby utworzą ciąg, w którym iloczyn każdych trzech kolejnych wyrazów będzie liczbą podzielną przez $3$. Wynik podaj w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"2. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie\nupraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę\ni konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może\notrzymać co najwyżej (𝑛-1) punktów (gdzie 𝑛 jest maksymalną możliwą do uzyskania\nliczbą punktów za dane zadanie).\nZadanie 1. (0-2)\nWymagania określone w podstawie programowej1\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nXI.R2) stosuje współczynnik dwumianowy\n(symbol Newtona) i jego własności […].\nVI.R1) oblicza granice ciągów, korzystając\nz […] twierdzeń o granicach sumy, różnicy,\niloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych […].\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 1\n3 .\n1 pkt - zapisanie wyrażenia (𝑛+ 2\n𝑛-1) w postaci\n(𝑛 - 1)! 𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)\n[𝑛 + 2 - (𝑛 - 1)]! (𝑛 - 1)! lub w postaci\n𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)\n6","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\( P(A) = \\dfrac{1}{28} \\)\n\n## Sposób 1 - model klasyczny + analiza pozycji wielokrotności 3\n\n**Krok 1. Model probabilistyczny (przestrzeń zdarzeń elementarnych).**\nLosujemy bez zwracania kolejno wszystkie 8 liczb i zapisujemy je w ciąg. Zdarzeniem elementarnym jest więc ustawienie ośmiu różnych liczb w ciąg, czyli **permutacja** zbioru \\(\\{1,2,3,4,5,6,7,8\\}\\). Wszystkie permutacje są jednakowo prawdopodobne, zatem stosujemy klasyczną definicję prawdopodobieństwa:\n\\[\n|\\Omega| = 8! = 40320.\n\\]\n(Karta wzorów CKE EM2023, dział *Kombinatoryka* - liczba permutacji zbioru \\(n\\)-elementowego: \\(P_n = n!\\).)\n\n**Krok 2. Kiedy iloczyn jest podzielny przez 3.**\nIloczyn liczb jest podzielny przez \\(3\\) wtedy i tylko wtedy, gdy **co najmniej jeden** z jego czynników jest podzielny przez \\(3\\). W zbiorze \\(\\{1,\\dots,8\\}\\) wielokrotnościami \\(3\\) są dokładnie **dwie** liczby:\n\\[\n3 \\quad\\text{oraz}\\quad 6.\n\\]\nPozostałe sześć liczb \\((1,2,4,5,7,8)\\) nie jest podzielnych przez \\(3\\).\n\n**Krok 3. Przeformułowanie warunku na język pozycji.**\nCiąg ma 8 wyrazów na pozycjach \\(1,2,\\dots,8\\). „Każde trzy kolejne wyrazy” to sześć okien:\n\\[\n(1,2,3),\\ (2,3,4),\\ (3,4,5),\\ (4,5,6),\\ (5,6,7),\\ (6,7,8).\n\\]\nWarunek zdarzenia \\(A\\): **w każdym z tych sześciu okien musi znaleźć się przynajmniej jedna wielokrotność 3** (czyli liczba \\(3\\) lub \\(6\\)). Liczy się więc wyłącznie to, na których **dwóch pozycjach** stoją liczby \\(3\\) i \\(6\\).\n\n**Krok 4. Znalezienie dozwolonych pozycji dla dwóch wielokrotności 3.**\nMamy tylko dwie wielokrotności 3, a okien jest sześć. Sprawdźmy, gdzie muszą stanąć, aby pokryć wszystkie okna.\n\n- Okno \\((1,2,3)\\) musi zawierać wielokrotność 3 \\(\\Rightarrow\\) jedna z nich jest na pozycji \\(1\\), \\(2\\) lub \\(3\\).\n- Okno \\((6,7,8)\\) musi zawierać wielokrotność 3 \\(\\Rightarrow\\) jedna z nich jest na pozycji \\(6\\), \\(7\\) lub \\(8\\).\n\nSkoro dysponujemy tylko dwiema liczbami, jedna „obsługuje” lewy kraniec, druga prawy. Rozważmy okno środkowe \\((3,4,5)\\) oraz \\((4,5,6)\\): obie te liczby też muszą trafiać do tych okien.\n\nNajprościej: niech pierwsza wielokrotność stoi na pozycji \\(p\\), druga na pozycji \\(q\\), \\(pZadanie 2. (0-3)
Ze zbioru ośmiu liczb {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} losujemy bez zwracania osiem razy po jednej
liczbie. Wylosowane liczby ustawiamy w ciąg zgodnie z kolejnością losowania.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝑨 polegającego na tym, że wylosowane liczby
utworzą ciąg, w którym iloczyn każdych trzech kolejnych wyrazów będzie liczbą
podzielną przez 𝟑. Wynik podaj w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.
Zapisz obliczenia.
2.
0-1-
2-3

\n

MMAP-R0_100
Ze zbioru ośmiu liczb {1,2,3,4,5,6,7,8} losujemy bez zwracania osiem razy po jednej liczbie. Wylosowane liczby ustawiamy w ciąg zgodnie z kolejnością losowania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że wylosowane liczby utworzą ciąg, w którym iloczyn każdych trzech kolejnych wyrazów będzie liczbą podzielną przez $3$. Wynik podaj w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego. Zapisz obliczenia.

","answer_text_html":"
  1. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie
\n

upraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę
i konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może
otrzymać co najwyżej (𝑛-1) punktów (gdzie 𝑛 jest maksymalną możliwą do uzyskania
liczbą punktów za dane zadanie).
Zadanie 1. (0-2)
Wymagania określone w podstawie programowej1
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Stosowanie obiektów matematycznych
\n

i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
XI.R2) stosuje współczynnik dwumianowy
(symbol Newtona) i jego własności […].
VI.R1) oblicza granice ciągów, korzystając
z […] twierdzeń o granicach sumy, różnicy,
iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych […].
Zasady oceniania
2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 1
3 .
1 pkt - zapisanie wyrażenia (𝑛+ 2
𝑛-1) w postaci
(𝑛 - 1)! 𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
[𝑛 + 2 - (𝑛 - 1)]! (𝑛 - 1)! lub w postaci
𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
6

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/sol-2.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\( P(A) = \\dfrac{1}{28} \\)

\n

Sposób 1 - model klasyczny + analiza pozycji wielokrotności 3

\n

Krok 1. Model probabilistyczny (przestrzeń zdarzeń elementarnych).
Losujemy bez zwracania kolejno wszystkie 8 liczb i zapisujemy je w ciąg. Zdarzeniem elementarnym jest więc ustawienie ośmiu różnych liczb w ciąg, czyli permutacja zbioru \\(\\{1,2,3,4,5,6,7,8\\}\\). Wszystkie permutacje są jednakowo prawdopodobne, zatem stosujemy klasyczną definicję prawdopodobieństwa:
\\[
|\\Omega| = 8! = 40320.
\\]
(Karta wzorów CKE EM2023, dział Kombinatoryka - liczba permutacji zbioru \\(n\\)-elementowego: \\(P_n = n!\\).)

\n

Krok 2. Kiedy iloczyn jest podzielny przez 3.
Iloczyn liczb jest podzielny przez \\(3\\) wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest podzielny przez \\(3\\). W zbiorze \\(\\{1,\\dots,8\\}\\) wielokrotnościami \\(3\\) są dokładnie dwie liczby:
\\[
3 \\quad\\text{oraz}\\quad 6.
\\]
Pozostałe sześć liczb \\((1,2,4,5,7,8)\\) nie jest podzielnych przez \\(3\\).

\n

Krok 3. Przeformułowanie warunku na język pozycji.
Ciąg ma 8 wyrazów na pozycjach \\(1,2,\\dots,8\\). „Każde trzy kolejne wyrazy” to sześć okien:
\\[
(1,2,3),\\ (2,3,4),\\ (3,4,5),\\ (4,5,6),\\ (5,6,7),\\ (6,7,8).
\\]
Warunek zdarzenia \\(A\\): w każdym z tych sześciu okien musi znaleźć się przynajmniej jedna wielokrotność 3 (czyli liczba \\(3\\) lub \\(6\\)). Liczy się więc wyłącznie to, na których dwóch pozycjach stoją liczby \\(3\\) i \\(6\\).

\n

Krok 4. Znalezienie dozwolonych pozycji dla dwóch wielokrotności 3.
Mamy tylko dwie wielokrotności 3, a okien jest sześć. Sprawdźmy, gdzie muszą stanąć, aby pokryć wszystkie okna.

\n\n

Skoro dysponujemy tylko dwiema liczbami, jedna „obsługuje” lewy kraniec, druga prawy. Rozważmy okno środkowe \\((3,4,5)\\) oraz \\((4,5,6)\\): obie te liczby też muszą trafiać do tych okien.

\n

Najprościej: niech pierwsza wielokrotność stoi na pozycji \\(p\\), druga na pozycji \\(q\\), \\(p<q\\). Aby pokryć okno \\((1,2,3)\\): \\(p\\le 3\\). Aby pokryć okno \\((6,7,8)\\): \\(q\\ge 6\\). Wtedy między pozycjami \\(p\\) a \\(q\\) nie może powstać „luka” trzech kolejnych pustych pozycji. Sprawdzenie wszystkich par \\((p,q)\\) z \\(p\\le 3,\\ q\\ge 6\\):

\n\n

Stąd jedyna dopuszczalna para pozycji to
\\[
p=3,\\qquad q=6.
\\]
Wielokrotności 3 muszą stać dokładnie na pozycji 3. i 6. ciągu.

\n

Krok 5. Zliczenie zdarzeń sprzyjających.
Wybór, która z liczb \\(\\{3,6\\}\\) stoi na pozycji 3, a która na pozycji 6: \\(2! = 2\\) sposoby. Pozostałych \\(6\\) liczb (niepodzielnych przez 3) rozmieszczamy na pozostałych \\(6\\) pozycjach dowolnie: \\(6!\\) sposobów. Zatem
\\[
|A| = 2!\\cdot 6! = 2\\cdot 720 = 1440.
\\]

\n

Krok 6. Obliczenie prawdopodobieństwa.
\\[
P(A)=\\frac{|A|}{|\\Omega|}=\\frac{1440}{40320}=\\frac{1440}{40320}=\\frac{1}{28}.
\\]
Skracanie: \\(\\dfrac{1440}{40320}=\\dfrac{1440}{40320}\\), dzielimy licznik i mianownik przez \\(1440\\): \\(40320:1440=28\\), więc otrzymujemy \\(\\dfrac{1}{28}\\), ułamek nieskracalny.

\n

\\[
\\boxed{P(A)=\\dfrac{1}{28}}
\\]

\n

Sposób 2 - przez pozycje dwóch wyróżnionych liczb (szybsze)

\n

Skoro o spełnieniu warunku decydują wyłącznie pozycje dwóch wielokrotności 3, możemy wybrać te dwie pozycje spośród ośmiu na
\\[
\\binom{8}{2}=\\frac{8\\cdot 7}{2}=28
\\]
jednakowo prawdopodobnych sposobów (Karta wzorów CKE EM2023, dział Kombinatoryka, symbol Newtona \\(\\binom{n}{k}=\\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\\)). Sprzyjająca jest tylko jedna para pozycji \\(\\{3,6\\}\\) (Krok 4 powyżej), więc
\\[
P(A)=\\frac{1}{\\binom{8}{2}}=\\frac{1}{28}.
\\]
Wynik identyczny - potwierdza poprawność.

\n

Typowe pułapki

\n"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Wszystkimi zdarzeniami elementarnymi są permutacje zbioru \\ 1,2,3,4,5,6,7,8\\ , zatem

\n

|Ω|=8!.

\n

W zbiorze występują dokładnie dwie liczby podzielne przez 3 : liczby 3 i 6 . Aby iloczyn każdych trzech kolejnych wyrazów był podzielny przez 3 , liczby te muszą zajmować trzecią i szóstą pozycję.

\n

Liczby 3 i 6 ustawiamy na tych pozycjach na 2! sposoby, a pozostałe liczby na 6! sposobów:

\n

|A|=2!·6!=2·6!.

\n

P(A)=(|A|)/(|Ω|)=(2·6!)/(8!)=(1)/(28).

\n

Odpowiedź: (1)/(28) .

"}]}