{"id":"matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona","number":"5","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-4)\nRozwiąż nierówność\n|𝟐𝒙-𝟔| -|𝒙𝟐-𝟗| < 𝟎\nZapisz obliczenia.\n5.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nRozwiąż nierówność |2x-6| - |x²-9| < 0 Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"5 𝑎\nTo należało wykazać.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐾\n𝑀\n𝐿\n𝑃\n𝑄\n𝑎\n𝛼\n𝛼\n1\n2 𝑎\n1\n2 𝑎\n𝛼\n𝑥\n𝐸\nSposób V (analitycznie)\nUmieszczamy kwadrat 𝐴𝐵𝐶𝐷 w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) tak, żeby\n𝐴= (0, 0), 𝐵= (𝑎, 0), 𝐶= (𝑎, 𝑎), 𝐷= (0, 𝑎) (zobacz rysunek).\nWówczas 𝐾= (1\n2 𝑎, 0) oraz 𝐿= (𝑎, 1\n2 𝑎).\nWyznaczamy równanie prostej 𝐷𝐾:\n𝑦= 0 -𝑎\n1\n2 𝑎-0\n⋅(𝑥-0) + 𝑎\n𝑦= -2𝑥+ 𝑎\nWyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐿:\n𝑦=\n1\n2 𝑎-0\n𝑎-0 ⋅𝑥\n𝑦= 1\n2 𝑥\nWyznaczamy współrzędne punktu 𝑃:\n1\n2 𝑥= -2𝑥+ 𝑎\n𝑥= 2\n5 𝑎\n𝑦= 1\n2 ⋅2\n5 𝑎= 1\n5 𝑎\nZatem 𝑃= (2\n5 𝑎, 1\n5 𝑎).\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐾\n𝑀\n𝐿\n𝑃\n𝑄\n𝑎\n1\n2 𝑎\n1\n2 𝑎\n1\n2 𝑎\n𝑥\n𝑦\n𝑎\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nProsta 𝐾𝑀 jest prostopadła do prostej 𝐷𝐾, więc współczynnik kierunkowy w równaniu\nprostej 𝐾𝑀 jest równy 1\n2 . Zatem prosta 𝐾𝑀 ma równanie 𝑦= 1\n2 (𝑥-1\n2 𝑎). Stąd druga\nwspółrzędna punktu 𝑀 jest równa 1\n2 (𝑎-1\n2 𝑎) = 1\n4 𝑎, czyli 𝑀= (𝑎, 1\n4 𝑎).\nWyznaczamy równanie prostej 𝐷𝑀:\n𝑦=\n1\n4 𝑎-𝑎\n𝑎-0 ⋅(𝑥-0) + 𝑎\n𝑦= -3\n4 𝑥+ 𝑎\nObliczamy współrzędne punktu 𝑄, korzystając z równań prostych 𝐴𝐿 i 𝐷𝑀:\n1\n2 𝑥= -3\n4 𝑥+ 𝑎\n𝑥= 4\n5 𝑎\n𝑦= 1\n2 ⋅4\n5 𝑎= 2\n5 𝑎\nZatem 𝑄= (4\n5 𝑎, 2\n5 𝑎).\nObliczamy długość odcinka 𝑃𝑄:\n|𝑃𝑄| = √(4\n5 𝑎-2\n5 𝑎)\n2\n+ (2\n5 𝑎-1\n5 𝑎)\n2\n= √5\n25 𝑎= √5\n5 𝑎\nTo należało wykazać.\nZadanie 5. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.R4) rozwiązuje równania i nierówności\nz wartością bezwzględną.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik:\n𝑥∈(-∞, -5) ∪(-1, 3) ∪(3, +∞).\n3 pkt - zapisanie trzech przedziałów: (-∞, -3) i [-3, 3) i [3, +∞) (z dokładnością do\ndomknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej\nw każdym z tych przedziałów oraz rozwiązanie nierówności w dwóch spośród tych\nprzedziałów - tj. wyznaczenie części wspólnych zbiorów rozwiązań zapisanych\nnierówności z rozpatrywanymi przedziałami\nALBO\n- rozwiązanie nierówności 2 -|𝑥+ 3| < 0,\nALBO\n- zapisanie koniunkcji nierówności 2 -|𝑥+ 3| < 0 i 𝑥≠3,\nALBO\n- przekształcenie nierówności do postaci (𝑥-3)2(𝑥+ 1)(𝑥+ 5) > 0,\nALBO\n- wyznaczenie wszystkich pierwiastków wielomianu 𝑥4 -22𝑥2 + 24𝑥+ 45\ni określenie krotności tych pierwiastków,\nALBO\n- zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności:\n2𝑥-6 < |𝑥2 -9| i 2𝑥-6 > -|𝑥2 -9|, a następnie w postaci równoważnej\nkoniunkcji alternatyw nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej:\n(𝑥2 -9 > 2𝑥-6 lub 𝑥2 -9 < -2𝑥+ 6) i (𝑥2 -9 > -2𝑥+ 6 lub\n𝑥2 -9 < 2𝑥-6),\nALBO\n- zapisanie nierówności w postaci równoważnej alternatywy dwóch nierówności:\n𝑥2 -9 > |2𝑥-6| lub 𝑥2 -9 < -|2𝑥-6|, a następnie w postaci równoważnej\nalternatywy koniunkcji nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej:\n(2𝑥-6 < 𝑥2 -9 i 2𝑥-6 < -𝑥2 + 9) lub (2𝑥-6 < -𝑥2 + 9\ni 2𝑥-6 > 𝑥2 -9),\nALBO\n- zapisanie czterech przypadków: 2𝑥-6 < 0 i 𝑥2 -9 < 0,\n2𝑥-6 < 0 i 𝑥2 -9 ≥0, 2𝑥-6 ≥0 i 𝑥2 -9 < 0, 2𝑥-6 ≥0 i 𝑥2 -9 ≥0\n(z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu\nwartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków oraz rozwiązanie nierówności\nw dwóch spośród trzech następujących przypadków: 2𝑥-6 < 0 i 𝑥2 -9 < 0,\n2𝑥-6 < 0 i 𝑥2 -9 ≥0, 2𝑥-6 ≥0 i 𝑥2 -9 ≥0 - tj. wyznaczenie części\nwspólnych zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności,\nALBO\n- zapisanie, że przypadek 2𝑥-6 ≥0 i 𝑥2 -9 < 0 jest sprzeczny oraz zapisanie\ntrzech przypadków: 2𝑥-6 < 0 i 𝑥2 -9 < 0, 2𝑥-6 < 0 i 𝑥2 -9 ≥0,\n2𝑥-6 ≥0 i 𝑥2 -9 ≥0 (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie\nnierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków\noraz rozwiązanie nierówności w dwóch spośród tych trzech przypadków - tj.\nwyznaczenie części wspólnych zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności,\nALBO\n- odczytanie z wykresów funkcji 𝑓(𝑥) = |2𝑥-6| oraz 𝑔(𝑥) = |𝑥2 -9| pierwszych\nwspółrzędnych punktów ich przecięcia: 𝑥= -5 oraz 𝑥= -1 oraz 𝑥= 3\ni sprawdzenie rachunkiem poprawności odczytanych współrzędnych.\n2 pkt - zapisanie trzech przedziałów: (-∞, -3) i [-3, 3) i [3, +∞) (z dokładnością do\ndomknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej\nw każdym z tych przedziałów\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nALBO\n- zapisanie nierówności |𝑥-3| ⋅(2 -|𝑥+ 3|) < 0,\nALBO\n- zapisanie jednej z nierówności:\n1 < |𝑥 + 3|\n2\n(bez zapisania założenia 𝑥≠3),\n1 < |𝑥2 - 9|\n2⋅|𝑥 - 3| z zapisaniem założenia 𝑥≠3,\n1 < |𝑥 - 3|⋅|𝑥 + 3|\n|2𝑥 - 6|\nz zapisaniem założenia 𝑥≠3,\n1 < |(𝑥 - 3)(𝑥 + 3)\n2𝑥 - 6\n| z zapisaniem założenia 𝑥≠3,\n(𝑥-3)2 ⋅[4 -(𝑥+ 3)2] < 0,\nALBO\n- przekształcenie nierówności do postaci 𝑥4 -22𝑥2 + 24𝑥+ 45 > 0 i wyznaczenie\ndwóch pierwiastków wielomianu 𝑥4 -22𝑥2 + 24𝑥+ 45 (lub zapisanie, że 3 jest\ndwukrotnym pierwiastkiem tego wielomianu),\nALBO\n- zapisanie nierówności w postaci równoważnej koniunkcji dwóch nierówności:\n2𝑥-6 < |𝑥2 -9| i 2𝑥-6 > -|𝑥2 -9|,\nALBO\n- zapisanie nierówności w postaci równoważnej alternatywy dwóch nierówności:\n𝑥2 -9 > |2𝑥-6| lub 𝑥2 -9 < -|2𝑥-6|,\nALBO\n- zapisanie czterech przypadków: 2𝑥-6 < 0 i 𝑥2 -9 < 0,\n2𝑥-6 < 0 i 𝑥2 -9 ≥0, 2𝑥-6 ≥0 i 𝑥2 -9 < 0, 2𝑥-6 ≥0 i 𝑥2 -9 ≥0\n(z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu\nwartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków,\nALBO\n- zapisanie trzech przypadków: 2𝑥-6 < 0 i 𝑥2 -9 < 0, 2𝑥-6 < 0 i 𝑥2 -9 ≥0,\n2𝑥-6 ≥0 i 𝑥2 -9 ≥0 (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie\nnierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków\noraz zapisanie, że przypadek 2𝑥-6 ≥0 i 𝑥2 -9 < 0 jest sprzeczny,\nALBO\n- narysowanie wykresów funkcji 𝑓(𝑥) = |2𝑥-6| oraz 𝑔(𝑥) = |𝑥2 -9|.\n1 pkt - zapisanie trzech przedziałów: (-∞, -3) i [-3, 3) i [3, +∞) (z dokładnością do\ndomknięcia) oraz zapisanie danej nierówności w jednym z tych przedziałów bez\nużycia symbolu wartości bezwzględnej\nALBO\n- zapisanie jednego z przedziałów: (-∞, -3), [-3, 3), [3, +∞) (z dokładnością do\ndomknięcia) oraz rozwiązanie danej nierówności w tym przedziale - tj. wyznaczenie\nczęści wspólnej zbioru rozwiązań zapisanej nierówności z rozpatrywanym\nprzedziałem,\nALBO\n- zastosowanie własności wartości bezwzględnej i zapisanie nierówności:\n2 ⋅|𝑥-3| -|(𝑥-3)(𝑥+ 3)| < 0,\nALBO\n- zastosowanie własności wartości bezwzględnej i zapisanie nierówności w jednej\nz następujących postaci:\n1 < |𝑥2 - 9|\n2⋅|𝑥 - 3| (bez zapisania założenia 𝑥≠3),\n1 < |𝑥 - 3|⋅|𝑥 + 3|\n|2𝑥 - 6|\n(bez zapisania założenia 𝑥≠3),\n1 < |(𝑥 - 3)(𝑥 + 3)\n2𝑥 - 6\n| (bez zapisania założenia 𝑥≠3),\n(2𝑥-6)2 < (𝑥2 -9)2,\nALBO\n- zapisanie czterech przypadków: 2𝑥-6 < 0 i 𝑥2 -9 < 0,\n2𝑥-6 < 0 i 𝑥2 -9 ≥0, 2𝑥-6 ≥0 i 𝑥2 -9 < 0, 2𝑥-6 ≥0 i 𝑥2 -9 ≥0\n(z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie danej nierówności w jednym z tych\nprzypadków bez użycia wartości bezwzględnej,\nALBO\n- zapisanie jednego z trzech przypadków: 2𝑥-6 < 0 i 𝑥2 -9 < 0,\n2𝑥-6 < 0 i 𝑥2 -9 ≥0, 2𝑥-6 ≥0 i 𝑥2 -9 ≥0 (z dokładnością do\ndomknięcia) oraz rozwiązanie danej nierówności w tym przypadku - tj. wyznaczenie\nczęści wspólnej zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, zapisując nierówność bez użycia wartości bezwzględnej, popełni błąd,\nktóry nie jest rachunkowy, tylko w jednym z rozpatrywanych przypadków/przedziałów\ni rozwiąże zadanie do końca, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie,\no ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania.\n2. Jeżeli zdający nie rozpatruje przedziałów, które wyczerpują zbiór wszystkich liczb\nrzeczywistych i w których nierówność ma różne postacie (lub rozpatruje przypadki\nwyznaczone jedynie przez nierówności ostre, które nie wyczerpują zbioru ℝ), to może\notrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający przy rozwiązaniu graficznym poda zbiór rozwiązań\n(-∞, -5) ∪(-1, 3) ∪(3, +∞), ale nie sprawdzi rachunkiem pierwszych współrzędnych\npunktów przecięcia wykresów funkcji 𝑓(𝑥) = |2𝑥-6| i 𝑔(𝑥) = |𝑥2 -9|, to może\notrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający, podając zbiór rozwiązań nierówności, nie uwzględni warunku 𝑥≠3, to\nmoże uzyskać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nWyznaczamy przedziały, które wyczerpują zbiór wszystkich liczb rzeczywistych i w których\nnierówność ma różne postacie: (-∞, -3) i [-3, 3) i [3, +∞).\nRozważamy trzy przypadki.\nPrzypadek 1. (gdy 𝑥∈(-∞, -3))\nW tym przypadku nierówność ma postać -2𝑥+ 6 -𝑥2 + 9 < 0. Stąd otrzymujemy:\n-𝑥2 -2𝑥+ 15 < 0\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n-(𝑥+ 5)(𝑥-3) < 0\nZatem 𝑥∈(-∞, -5) ∪(3, +∞) i 𝑥∈(-∞, -3), więc 𝑥∈(-∞, -5).\nPrzypadek 2. (gdy 𝑥∈[-3, 3))\nW tym przypadku nierówność ma postać -2𝑥+ 6 + 𝑥2 -9 < 0. Stąd otrzymujemy:\n𝑥2 -2𝑥-3 < 0\n(𝑥+ 1)(𝑥-3) < 0\nZatem 𝑥∈(-1, 3) i 𝑥∈[-3, 3), więc 𝑥∈(-1, 3).\nPrzypadek 3. (gdy 𝑥∈[3, +∞))\nW tym przypadku nierówność ma postać 2𝑥-6 -𝑥2 + 9 < 0. Stąd otrzymujemy:\n-𝑥2 + 2𝑥+ 3 < 0\n-(𝑥+ 1)(𝑥-3) < 0\nZatem 𝑥∈(-∞, -1) ∪(3, +∞) i 𝑥∈[3, +∞), więc 𝑥∈(3, +∞).\nOstatecznie rozwiązaniami nierówności |2𝑥-6| -|𝑥2 -9| < 0 są wszystkie liczby ze\nzbioru (-∞, -5) ∪(-1, 3) ∪(3, +∞).\nSposób II\nPrzekształcamy nierówność, korzystając z własności wartości bezwzględnej oraz wzoru na\nróżnicę kwadratów:\n|2𝑥-6| -|𝑥2 -9| < 0\n2 ⋅|𝑥-3| -|𝑥-3| ⋅|𝑥+ 3| < 0\n|𝑥-3| ⋅(2 -|𝑥+ 3|) < 0\nStąd |𝑥-3| ≠0 i 2 -|𝑥+ 3| < 0. Zatem\n𝑥≠3 ∧ |𝑥+ 3| > 2\n𝑥≠3 ∧ (𝑥+ 3 < -2 ∨ 𝑥+ 3 > 2)\n𝑥≠3 ∧ (𝑥< -5 ∨ 𝑥> -1)\n𝑥∈(-∞, -5) ∪(-1, 3) ∪(3, +∞)\nSposób IIa\nDla 𝑥= 3 wartość wyrażenia |2𝑥-6| -|𝑥2 -9| jest równa 0, więc nierówność nie jest\nspełniona.\nPrzekształcamy nierówność, korzystając z własności wartości bezwzględnej oraz ze wzoru\nna różnicę kwadratów:\n|2𝑥-6| -|𝑥2 -9| < 0\n1 <\n|𝑥2 -9|\n|2𝑥-6| ∧ 𝑥≠3\n1 < |𝑥-3| ⋅|𝑥+ 3|\n2 ⋅|𝑥-3|\n∧ 𝑥≠3\n1 < |𝑥+ 3|\n2\n∧ 𝑥≠3\n𝑥≠3 ∧ |𝑥+ 3| > 2\n𝑥≠3 ∧ (𝑥+ 3 < -2 ∨ 𝑥+ 3 > 2)\n𝑥≠3 ∧ (𝑥< -5 ∨ 𝑥> -1)\n𝑥∈(-∞, -5) ∪(-1, 3) ∪(3, +∞)\nSposób IIb (poprzez nierówność wielomianową)\nPrzekształcamy nierówność, korzystając z własności wartości bezwzględnej oraz ze wzoru\nna różnicę kwadratów i kwadrat sumy:\n|2𝑥-6| < |𝑥2 -9|\n|2𝑥-6|2 < |𝑥2 -9|2\n(2𝑥-6)2 < (𝑥2 -9)2\n4(𝑥-3)2 < (𝑥-3)2(𝑥+ 3)2\n(𝑥-3)2[4 -(𝑥+ 3)2] < 0\n(𝑥-3)2(-1 -𝑥)(𝑥+ 5) < 0\n(𝑥-3)2(𝑥+ 1)(𝑥+ 5) > 0\nStąd\n𝑥∈(-∞, -5) ∪(-1, 3) ∪(3, +∞)\nSposób III (poprzez koniunkcję nierówności)\nDla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 prawdziwe są\nrównoważności:\n(1) |𝑥| < 𝑎 wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑥< 𝑎 i 𝑥> -𝑎\noraz\n(2) |𝑥| > 𝑎 wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑥> 𝑎 lub 𝑥< -𝑎.\nPrzekształcamy nierówność |2𝑥-6| -|𝑥2 -9| < 0, korzystając z równoważności (1):\n2𝑥-6 < |𝑥2 -9| i 2𝑥-6 > -|𝑥2 -9|\n|𝑥2 -9| > 2𝑥-6 i |𝑥2 -9| > -2𝑥+ 6\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nRozwiązujemy każdą z otrzymanych nierówności, korzystając z równoważności (2):\n(𝑥2 -9 > 2𝑥-6 ∨ 𝑥2 -9 < -2𝑥+ 6) ∧ (𝑥2 -9 > -2𝑥+ 6 ∨ 𝑥2 -9 < 2𝑥-6)\n(𝑥2 -2𝑥-3 > 0 ∨ 𝑥2 + 2𝑥-15 < 0) ∧ (𝑥2 + 2𝑥-15 > 0 ∨ 𝑥2 -2𝑥-3 < 0)\n[(𝑥+ 1)(𝑥-3) > 0 ∨ (𝑥+ 5)(𝑥-3) < 0] ∧ (𝑥2 + 2𝑥-15 > 0 ∨ 𝑥2 -2𝑥-3 < 0)\n[𝑥∈(-∞, -1) ∪(3, +∞) ∨ 𝑥∈(-5, 3)] ∧ [(𝑥+ 5)(𝑥-3) > 0 ∨ (𝑥+ 1)(𝑥-3) < 0]\n[𝑥∈(-∞, -1) ∪(3, +∞) ∨ 𝑥∈(-5, 3)] ∧ [𝑥∈(-∞, -5) ∪(3, +∞) ∨ 𝑥∈(-1, 3)]\n𝑥∈(-∞, 3) ∪(3, +∞) ∧ 𝑥∈(-∞-5) ∪(-1, 3) ∪(3, +∞)\n𝑥∈(-∞-5) ∪(-1, 3) ∪(3, +∞)\nOstatecznie rozwiązaniami nierówności |2𝑥-6| -|𝑥2 -9| < 0 są wszystkie liczby ze\nzbioru (-∞, -5) ∪(-1, 3) ∪(3, +∞).\nZadanie 6. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nVI.7) wykorzystuje własności ciągów, w tym\narytmetycznych i geometrycznych, do\nrozwiązywania zadań, również osadzonych\nw kontekście praktycznym.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (-1 026 168).\n3 pkt - obliczenie liczby 𝑛 wyrazów ciągu arytmetycznego: 𝑛= 1014.\n2 pkt - rozwiązanie równania z jedną niewiadomą 𝑟: 𝑟= 0 oraz 𝑟= -2\nALBO\n- obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛) spełniającej warunki zadania:\n𝑟= -2,\nALBO\n- rozwiązanie równania z jedną niewiadomą 𝑞: 𝑞= 1 oraz 𝑞= 3,\nALBO\n- obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego (𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎6) spełniającego warunki\nzadania: 𝑞= 3,\nALBO\n- obliczenie/zapisanie, że ciąg (𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎6) nie jest stały i rozwiązanie równania\nz jedną niewiadomą 𝑎2: 𝑎2 = -1,\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑛, np.\n(1 + 2 ⋅-2026\n𝑛 - 1)\n2\n= (1 + -2026\n𝑛 - 1) (1 + 5 ⋅-2026\n𝑛 - 1)\n1 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑟, np. (1 + 2𝑟)2 = (1 + 𝑟)(1 + 5𝑟)\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑞, np. 3𝑞-3 = 𝑞2 -𝑞,\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎2 , np. 𝑎2 = 1 + 2𝑎2 (dla sposobu III),\nALBO\n- wyznaczenie różnicy ciągu (𝑎𝑛) w zależności od liczby 𝑛 wyrazów ciągu\narytmetycznego (𝑎𝑛): 𝑟= -2026\n𝑛 - 1 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z ciągiem geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów\nza całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający stosuje błędny wzór na 𝑛-ty wyraz ciągu arytmetycznego, to może otrzymać\nco najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe i otrzyma wartość 𝑛, która nie jest liczbą\nnaturalną, to może otrzymać 2 punkty za całe rozwiązanie (traktujemy to jak obliczenie\nliczby wyrazów ciągu arytmetycznego z błędem rachunkowym). Zdający nie otrzymuje\npunktu za obliczenie sumy wyrazów ciągu arytmetycznego.\n4. a) Jeżeli zdający przyjmie, że 𝑟= -2 i sprawdzi rachunkiem, że ta wartość spełnia\nwarunki zadania, ale nie uzasadni, że jest to jedyna wartość 𝑟 spełniająca warunki\nzadania, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za obliczenie 𝑛\noraz za obliczenie sumy).\nb) Jeżeli zdający przyjmie bez uzasadnienia, że 𝑟= -2 i na tym opiera swoje\nrozwiązanie, to otrzymuje 0 punktów.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nNiech 𝑟 oznacza różnicę ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛). Ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu\narytmetycznego i własności ciągu geometrycznego otrzymujemy: 𝑎2 = 1 + 𝑟,\n𝑎3 = 1 + 2𝑟, 𝑎6 = 1 + 5𝑟 oraz (𝑎3)2 = 𝑎2 ⋅𝑎6 . Stąd i z warunków zadania dostajemy:\n(𝑎3)2 = 𝑎2 ⋅𝑎6\n(1 + 2𝑟)2 = (1 + 𝑟)(1 + 5𝑟)\n0 = 2𝑟+ 𝑟2\n0 = 𝑟(2 + 𝑟)\n𝑟= 0 ∨ 𝑟= -2\nDla 𝑟= 0 warunki zadania nie są spełnione, ponieważ pierwszy i ostatni wyraz ciągu\narytmetycznego (𝑎𝑛) nie są równe.\nDla 𝑟= -2 otrzymujemy 𝑎2 = -1, 𝑎3 = -3, 𝑎6 = -9. Ciąg (-1, -3, -9) jest\ngeometryczny, więc warunki zadania są spełnione.\nObliczamy liczbę 𝑛 wyrazów ciągu (𝑎𝑛):\n-2025 = 1 + (𝑛-1) ⋅(-2)\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑛= 1014\nObliczamy sumę 𝑆1014 wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛):\n𝑆1014 = 1 + (-2025)\n2\n⋅1014 = -1 026 168\nSposób II\nNiech 𝑟 oznacza różnicę ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛). Niech 𝑞 oznacza iloraz ciągu\ngeometrycznego (𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎6). Ciąg arytmetyczny (𝑎𝑛) jest malejący, więc ciąg\n(𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎6) nie jest stały. Zatem 𝑞≠1 oraz 𝑎2 ≠0. Ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu\ngeometrycznego i własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy: 𝑎3 = 𝑎2 ⋅𝑞, 𝑎6 = 𝑎2 ⋅𝑞2\noraz 3(𝑎3 -𝑎2) = 𝑎6 -𝑎3 . Stąd i z warunków zadania dostajemy:\n3(𝑎3 -𝑎2) = 𝑎6 -𝑎3\n3𝑎2 ⋅𝑞-3𝑎2 = 𝑎2 ⋅𝑞2 -𝑎2 ⋅𝑞\n0 = 𝑎2 ⋅(𝑞2 -4𝑞+ 3)\n𝑎2 = 0 ∨ 𝑞2 -4𝑞+ 3 = 0\n𝑎2 = 0 ∨ 𝑞= 1 ∨ 𝑞= 3\nDla 𝑎2 = 0 oraz dla 𝑞= 1 warunki zadania nie są spełnione, czyli 𝑞= 3. Zatem\n𝑎3 = 3𝑎2 , 𝑎6 = 9𝑎2 .\nKorzystamy z własności ciągu arytmetycznego i obliczamy 𝑎2:\n𝑎1 + 𝑎3\n2\n= 𝑎2\n1 + 3𝑎2\n2\n= 𝑎2\n𝑎2 = -1\nPonieważ 𝑎1 = 1 i 𝑎2 = -1, więc różnica ciągu arytmetycznego jest równa (-2).\nObliczamy liczbę 𝑛 wyrazów ciągu (𝑎𝑛):\n-2025 = 1 + (𝑛-1) ⋅(-2)\n𝑛= 1014\nObliczamy sumę 𝑆1014 wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛):\n𝑆1014 = 1 + (-2025)\n2\n⋅1014 = -1 026 168\nSposób III\nNiech 𝑟 oznacza różnicę ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛). Ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu\narytmetycznego i własności ciągu geometrycznego otrzymujemy: 𝑎3 = 𝑎2 + 𝑟,\n𝑎6 = 𝑎2 + 4𝑟 oraz (𝑎3)2 = 𝑎2 ⋅𝑎6 . Stąd i z warunków zadania dostajemy:\n(𝑎3)2 = 𝑎2 ⋅𝑎6\n(𝑎2 + 𝑟)2 = 𝑎2 ⋅(𝑎2 + 4𝑟)\n𝑎2\n2 + 2𝑎2𝑟+ 𝑟2 = 𝑎2\n2 + 4𝑎2𝑟\n0 = 𝑟(2𝑎2 -𝑟)\n𝑟= 0 ∨ 𝑟= 2𝑎2\nDla 𝑟= 0 warunki zadania nie są spełnione, ponieważ pierwszy i ostatni wyraz ciągu\narytmetycznego (𝑎𝑛) nie są równe.\nDla 𝑟= 2𝑎2 otrzymujemy 𝑎2 = 1 + 2𝑎2 . Stąd 𝑎2 = -1, więc 𝑟= -2. Zatem 𝑎3 = -3\noraz 𝑎6 = -9. Ciąg (-1, -3, -9) jest geometryczny, więc warunki zadania są spełnione.\nObliczamy liczbę 𝑛 wyrazów ciągu (𝑎𝑛):\n-2025 = 1 + (𝑛-1) ⋅(-2)\n𝑛= 1014\nObliczamy sumę 𝑆1014 wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛):\n𝑆1014 = 1 + (-2025)\n2\n⋅1014 = -1 026 168\nZadanie 7. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVII.R6) rozwiązuje równania\ntrygonometryczne.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik, np.: 𝜋𝑘\n2 oraz -𝜋\n12 + 𝜋𝑘\n2 oraz\n𝜋\n12 + 𝜋𝑘\n2 , gdzie 𝑘∈ℤ.\n3 pkt - przekształcenie równania do postaci alternatywy równań trygonometrycznych\ni rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy, np.:\n(sin(2𝑥) = 0 lub cos2(2𝑥) = 3\n4 ) oraz\n𝑥= 𝜋𝑘\n2 (rozwiązania równania sin(2𝑥) = 0)\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n(sin(2𝑥) = 0 lub cos(2𝑥) = -\n√3\n2 lub cos(2𝑥) =\n√3\n2 ) oraz\n𝑥= -5𝜋\n12 + 𝜋𝑘 oraz 𝑥= 5𝜋\n12 + 𝜋𝑘 (rozwiązania równania cos(2𝑥) = -\n√3\n2 )\n(sin(2𝑥) = 0 lub cos(4𝑥) = 1\n2 ) oraz\n𝑥= -𝜋\n12 + 𝜋𝑘\n2 oraz 𝑥= 𝜋\n12 + 𝜋𝑘\n2 (rozwiązania równania cos(4𝑥) = 1\n2)\n(sin(2𝑥) = 0 lub sin(2𝑥) = -1\n2 lub sin(2𝑥) = 1\n2 ) oraz\n𝑥= -𝜋\n12 + 𝜋𝑘 oraz 𝑥= -5𝜋\n12 + 𝜋𝑘 (rozwiązania równania sin(2𝑥) = -1\n2),\ngdzie 𝑘∈ℤ.\n2 pkt - przekształcenie równania do postaci alternatywy równań trygonometrycznych, np.:\nsin(2𝑥) = 0 lub cos2(2𝑥) = 3\n4 ,\nsin(2𝑥) = 0 lub cos(2𝑥) = -\n√3\n2 lub cos(2𝑥) =\n√3\n2 ,\nsin(2𝑥) = 0 lub 2 cos(4𝑥) -1 = 0,\nsin(2𝑥) = 0 lub 4 sin2(2𝑥) -1 = 0.\n1 pkt - zastosowanie wzoru na sinus sumy i przekształcenie równania do postaci\nsin(4𝑥) cos(2𝑥) + cos(4𝑥) sin(2𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 (dla sposobu I)\nALBO\n- zastosowanie wzoru na różnicę sinusów i przekształcenie równania do postaci\n2 cos(4𝑥) sin(2𝑥) -sin(2𝑥) = 0 (dla sposobu II),\nALBO\n- zastosowanie wzoru na sinus potrojonego kąta i przekształcenie równania do postaci\n-4 sin3(2𝑥) + 3 sin(2𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 (dla sposobu III).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. a) Jeżeli zdający popełni błędy, które nie są rachunkowe, nie zrealizuje wymagań\nz kryterium za 1 punkt, przekształci równanie do postaci sin(2𝑥) ⋅𝑓(𝑥) = 0, to może\notrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie (za rozwiązanie równania\nsin(2𝑥) = 0).\nb) Jeżeli zdający zrealizuje wymagania z kryterium za 1 punkt, a następnie popełni błędy,\nktóre nie są rachunkowe, przekształci równanie do postaci sin(2𝑥) ⋅𝑓(𝑥) = 0\ni rozwiąże równanie sin(2𝑥) = 0, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający popełni tylko błędy rachunkowe i przekształci równanie do postaci\nsin(2𝑥) ⋅𝑓(𝑥) = 0, gdzie funkcja trygonometryczna 𝑓 nie ma miejsc zerowych lub\nrównanie trygonometryczne 𝑓(𝑥) = 0 ma jedną serię rozwiązań w zbiorze liczb\nrzeczywistych, oraz rozwiąże równanie sin(2𝑥) = 0, otrzymując 𝑥= 𝜋𝑘\n2 , to może\notrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie nabył praw do innej\npunktacji.\n3. Jeżeli zdający przyjmie 𝑢= 2𝑥 i rozwiąże równanie sin(3𝑢) -2 sin 𝑢= 0 (lub\nrównanie -4 sin3 𝑢+ 3 sin 𝑢-2 sin 𝑢= 0) i na tym zakończy lub dalej popełni błędy, to\notrzymuje 3 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I (poprzez sinus sumy)\nPrzekształcamy równanie sin(6𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 równoważnie, stosując wzór na sinus\nsumy kątów i cosinus podwojonego kąta:\nsin(4𝑥+ 2𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0\nsin(4𝑥) cos(2𝑥) + cos(4𝑥) sin(2𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0\n2 sin(2𝑥) cos2(2𝑥) + [2 cos2(2𝑥) -1] sin(2𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0\nsin(2𝑥) [4 cos2(2𝑥) -3] = 0\nsin(2𝑥) = 0 ∨ cos2(2𝑥) = 3\n4\nsin(2𝑥) = 0 ∨ cos(2𝑥) = -√3\n2 ∨ cos(2𝑥) = √3\n2\nRozwiązujemy równanie sin(2𝑥) = 0:\n2𝑥= 𝜋𝑘\n𝑥= 𝜋𝑘\n2\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nRozwiązujemy równanie cos(2𝑥) = -\n√3\n2 :\n2𝑥= 5𝜋\n6 + 2𝜋𝑘 ∨ 2𝑥= -5𝜋\n6 + 2𝜋𝑘\n𝑥= 5𝜋\n12 + 𝜋𝑘 ∨ 𝑥= -5𝜋\n12 + 𝜋𝑘\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nRozwiązujemy równanie cos(2𝑥) =\n√3\n2 :\n2𝑥= 𝜋\n6 + 2𝜋𝑘 ∨ 2𝑥= -𝜋\n6 + 2𝜋𝑘\n𝑥= 𝜋\n12 + 𝜋𝑘 ∨ 𝑥= -𝜋\n12 + 𝜋𝑘\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nRozwiązaniami równania sin(6𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 są wszystkie liczby postaci:\n𝜋𝑘\n2 , -5𝜋\n12 + 𝜋𝑘, 5𝜋\n12 + 𝜋𝑘, -𝜋\n12 + 𝜋𝑘 oraz 𝜋\n12 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób II (poprzez różnicę sinusów)\nPrzekształcamy równanie sin(6𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 równoważnie, stosując wzór na różnicę\nsinusów:\nsin(6𝑥) -sin(2𝑥) -sin(2𝑥) = 0\n2 cos (6𝑥+ 2𝑥\n2\n) sin (6𝑥-2𝑥\n2\n) -sin(2𝑥) = 0\n2 cos(4𝑥) sin(2𝑥) -sin(2𝑥) = 0\nsin(2𝑥) [2 cos(4𝑥) -1] = 0\nsin(2𝑥) = 0 ∨ cos(4𝑥) = 1\n2\n2𝑥= 𝜋𝑘 ∨ 4𝑥= 𝜋\n3 + 2𝜋𝑘 ∨ 4𝑥= -𝜋\n3 + 2𝜋𝑘\n𝑥= 𝜋𝑘\n2 ∨ 𝑥= 𝜋\n12 + 𝜋𝑘\n2 ∨ 𝑥= -𝜋\n12 + 𝜋𝑘\n2\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nRozwiązaniami równania sin(6𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 są wszystkie liczby postaci:\n𝜋𝑘\n2 , -𝜋\n12 + 𝜋𝑘\n2 oraz 𝜋\n12 + 𝜋𝑘\n2 , gdzie 𝑘∈ℤ.\nSposób III (poprzez sinus potrojonego kąta)\nPrzekształcamy równanie sin(6𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 równoważnie, stosując wzór na sinus\npotrojonego kąta:\nsin(3 ⋅2𝑥) -2sin(2𝑥) = 0\n-4 sin3(2𝑥) + 3 sin(2𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0\nsin(2𝑥) [-4 sin2(2𝑥) + 1] = 0\nsin(2𝑥) = 0 ∨ sin2(2𝑥) = 1\n4\nsin(2𝑥) = 0 ∨ sin(2𝑥) = -1\n2 ∨ sin(2𝑥) = 1\n2\n2𝑥= 𝜋𝑘 ∨ 2𝑥= 7𝜋\n6 + 2𝜋𝑘 ∨ 2𝑥= 11𝜋\n6\n+ 2𝜋𝑘 ∨ 2𝑥= 𝜋\n6 + 2𝜋𝑘 ∨ 2𝑥= 5𝜋\n6 + 2𝜋𝑘\n𝑥= 𝜋𝑘\n2 ∨ 𝑥= 7𝜋\n12 + 𝜋𝑘 ∨ 𝑥= 11𝜋\n12 + 𝜋𝑘 ∨ 𝑥= 𝜋\n12 + 𝜋𝑘 ∨ 𝑥= 5𝜋\n12 + 𝜋𝑘\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nRozwiązaniami równania sin(6𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 są wszystkie liczby postaci:\n𝜋𝑘\n2 , 𝜋\n12 + 𝜋𝑘, 5𝜋\n12 + 𝜋𝑘, 7𝜋\n12 + 𝜋𝑘 oraz 11𝜋\n12 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ.\nZadanie 8. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nX.R2) wyznacza przekroje […] ostrosłupów\nprawidłowych oraz oblicza ich pola, także\nz wykorzystaniem trygonometrii.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑎= 3√6 oraz cos 𝛽= 5\n14 .\n3 pkt - obliczenie wysokości 𝑥 ściany bocznej opuszczonej na krawędź boczną ostrosłupa:\n𝑥= √42\nALBO\n- obliczenie sin (𝛽\n2): sin (𝛽\n2) =\n3\n2√7 ,\nALBO\n- obliczenie długości krawędzi podstawy: 𝑎= 3√6 oraz zapisanie zależności między\nfunkcjami trygonometrycznymi kątów 𝛼 i 𝛽, np.\n1 = 2 cos2 (𝛼\n2) ⋅(1 -cos 𝛽), 1 = sin2 𝛼⋅1 - cos𝛽\n1 - cos𝛼 ,\nALBO\n- obliczenie cosinusa kąta 𝛽: cos 𝛽= 5\n14 .\n2 pkt - obliczenie długości krawędzi podstawy ostrosłupa oraz cos (𝛼\n2): 𝑎= 3√6 oraz\ncos (𝛼\n2) =\n√7\n3\nALBO\n- zapisanie związków 𝑥\n𝑎=\n√7\n3 oraz sin (𝛽\n2) = |𝐸𝐵|\n𝑥 ,\nALBO\n- obliczenie długości (lub kwadratu długości) 𝑏 krawędzi bocznej ostrosłupa: 𝑏= 9√3\n2\n(lub 𝑏2 = 243\n4 ),\nALBO\n- zapisanie zależności między długością krawędzi bocznej ostrosłupa i wysokością\nściany bocznej opuszczoną na krawędź boczną ostrosłupa, np.: 𝑥\n𝑏= 2√14\n9\n,\n1\n2 ⋅𝑏2 ⋅2√14\n9\n= 1\n2 𝑏⋅𝑥, (5\n9 𝑏)\n2\n+ 𝑥2 = 𝑏2,\nALBO\n- zapisanie zależności między funkcjami trygonometrycznymi kątów 𝛼 i 𝛽, np.\n1 = 2 cos2 (𝛼\n2) ⋅(1 -cos 𝛽), 1 = sin2 𝛼⋅1 - cos𝛽\n1 - cos𝛼 .\n1 pkt - obliczenie długości 𝑎 krawędzi podstawy ostrosłupa: 𝑎= 3√6\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- obliczenie cos (𝛼\n2) : cos (𝛼\n2) =\n√7\n3 ,\nALBO\n- obliczenie sin 𝛼: sin 𝛼= 2√14\n9\n,\nALBO\n- zastosowanie twierdzenia cosinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐷 i zapisanie równania\n𝑎2 = 𝑥2 + 𝑥2 -2𝑥2 cos 𝛽\nALBO\n- zastosowanie twierdzenia cosinusów do trójkąta 𝐵𝐶𝑆 i zapisanie równania\n𝑎2 = 𝑏2 + 𝑏2 -2𝑏2 cos 𝛼\nALBO\n- zapisanie zależności między 𝑎, 𝑥 oraz 𝛼, np. sin (90° -𝛼\n2) = 𝑥\n𝑎 , cos 𝛼\n2 = 𝑥\n𝑎 ,\nALBO\n- zapisanie zależności między 𝑏, 𝑥 oraz 𝛼, np. sin 𝛼= 𝑥\n𝑏 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający poprawnie zinterpretuje kąt między krawędziami bocznymi ostrosłupa\ni zastosuje twierdzenie cosinusów do ściany bocznej - pomimo błędnie obliczonej\ndługości krawędzi podstawy lub długości krawędzi bocznej - to traktujemy to jak\nspełnienie kryterium z myślnika piątego z kategorii za 1 punkt.\n2. Jeżeli zdający poprawnie zinterpretuje kąt między ścianami bocznymi ostrosłupa\ni zastosuje twierdzenie cosinusów do trójkąta z tym kątem - pomimo błędnie obliczonej\ndługości krawędzi podstawy lub wysokości ściany bocznej poprowadzonej z wierzchołka\npodstawy ostrosłupa - to traktujemy to jak spełnienie kryterium z myślnika czwartego\nz kategorii za 1 punkt.\n3. Jeżeli zdający błędnie interpretuje kąt między krawędziami bocznymi ostrosłupa, to może\notrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający rozpatruje inną bryłę niż ostrosłup prawidłowy trójkątny, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝐴, 𝐵, 𝐶 - wierzchołki podstawy ostrosłupa,\n𝑆 - wierzchołek ostrosłupa,\n𝐷 - punkt wspólny wysokości ściany bocznej 𝐵𝐶𝑆 poprowadzonej z wierzchołka 𝐵\ni wysokości ściany bocznej 𝐴𝐶𝑆 poprowadzonej z wierzchołka 𝐴,\n𝐸, 𝐹 - środki krawędzi - odpowiednio - 𝐴𝐵 i 𝐵𝐶,\n𝛼 - miara kąta 𝐵𝑆𝐶,\n𝛽 - miara kąta dwuściennego zawartego między ścianami bocznymi 𝐵𝐶𝑆 i 𝐴𝐶𝑆 ostrosłupa\n𝐴𝐵𝐶𝑆,\n𝑎 - długość krawędzi podstawy 𝐴𝐵𝐶,\n𝑏 - długość krawędzi bocznej,\n𝑥 - wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka podstawy 𝐴𝐵𝐶 (zobacz\nrysunek).\nSposób I (z pominięciem krawędzi bocznej)\nObliczamy promień 𝑅 okręgu opisanego na podstawie 𝐴𝐵𝐶:\n2𝜋𝑅= 6√2𝜋\n𝑅= 3√2\nObliczamy długość krawędzi podstawy:\n𝑎√3\n3\n= 3√2\n𝑎= 3√6\nStosujemy wzór na cosinus podwojonego kąta i obliczamy cos (𝛼\n2):\ncos 𝛼= 2 cos2 (𝛼\n2) -1\n5\n9 = 2 cos2 (𝛼\n2) -1\ncos (𝛼\n2) = √7\n3 ∨ cos (𝛼\n2) = -√7\n3\nPonieważ 𝛼< 180°, więc cos (𝛼\n2) =\n√7\n3 .\nPonieważ |∡𝐹𝐶𝑆| = 90° -𝛼\n2 , więc |∡𝐶𝐵𝐷| = 𝛼\n2 . Zatem:\n𝑥\n𝑎= cos (𝛼\n2)\n𝑆\n𝛽\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n𝑥\n𝑏\n𝑎\n𝛼\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑥= 3√6 ⋅√7\n3\n𝑥= √42\nStosujemy twierdzenie cosinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐷 i obliczamy cos 𝛽:\n𝑎2 = 𝑥2 + 𝑥2 -2 ⋅𝑥⋅𝑥⋅cos 𝛽\n(3√6)\n2 = 2 ⋅42 -2 ⋅42 cos 𝛽\ncos 𝛽= 5\n14\nSposób II (poprzez krawędź boczną)\nObliczamy promień 𝑅 okręgu opisanego na podstawie 𝐴𝐵𝐶:\n2𝜋𝑅= 6√2𝜋\n𝑅= 3√2\nObliczamy długość krawędzi podstawy:\n𝑎√3\n3\n= 3√2\n𝑎= 3√6\nStosujemy twierdzenie cosinusów do trójkąta 𝐵𝐶𝑆 i obliczamy długość krawędzi bocznej:\n(3√6)\n2 = 𝑏2 + 𝑏2 -2𝑏⋅𝑏⋅cos 𝛼","solution":"## Poprawna odpowiedz: \\( x \\in (-\\infty, -5) \\cup (-1, 3) \\cup (3, +\\infty) \\)\n\nRownowaznie mozna zapisac to jako \\( x < -5 \\) lub \\( x > -1 \\) z wykluczeniem punktu \\( x = 3 \\).\n\n## Sposob 1 - wyciagniecie wspolnego czynnika (metoda elegancka)\n\n**Krok 1. Rozloz oba wyrazenia na czynniki.**\n\nZauwaz, ze oba moduly maja wspolny czynnik \\( (x-3) \\):\n\n\\[ 2x - 6 = 2(x-3) \\]\n\\[ x^2 - 9 = (x-3)(x+3) \\qquad \\text{(wzor skroconego mnozenia: } a^2-b^2=(a-b)(a+b)\\text{, Karta wzorow CKE EM2023, dzial „Wzory skroconego mnozenia”)} \\]\n\n**Krok 2. Zastosuj wlasnosc modulu iloczynu** \\( |ab| = |a|\\cdot|b| \\):\n\n\\[ |2x-6| = |2|\\cdot|x-3| = 2|x-3| \\]\n\\[ |x^2-9| = |x-3|\\cdot|x+3| \\]\n\n**Krok 3. Wstaw do nierownosci i wylacz \\( |x-3| \\) przed nawias:**\n\n\\[ 2|x-3| - |x-3|\\cdot|x+3| < 0 \\]\n\\[ |x-3|\\cdot\\big(2 - |x+3|\\big) < 0 \\]\n\n**Krok 4. Przeanalizuj znaki czynnikow.**\n\nCzynnik \\( |x-3| \\) jest zawsze nieujemny: \\( |x-3| \\ge 0 \\).\n\n- Gdy \\( x = 3 \\), mamy \\( |x-3| = 0 \\), wiec caly lewy iloczyn rowna sie \\( 0 \\) - nierownosc ostra \\( < 0 \\) **nie jest** spelniona.\n- Gdy \\( x \\ne 3 \\), mamy \\( |x-3| > 0 \\). Iloczyn jest ujemny wtedy i tylko wtedy, gdy drugi czynnik jest ujemny:\n\n\\[ 2 - |x+3| < 0 \\quad\\Longleftrightarrow\\quad |x+3| > 2 \\]\n\n**Krok 5. Rozwiaz nierownosc z modulem** \\( |x+3| > 2 \\).\n\nKorzystamy z faktu, ze \\( |A| > c \\) (dla \\( c>0 \\)) oznacza \\( A < -c \\) lub \\( A > c \\):\n\n\\[ x+3 < -2 \\quad\\text{lub}\\quad x+3 > 2 \\]\n\\[ x < -5 \\quad\\text{lub}\\quad x > -1 \\]\n\nZatem z warunku \\( |x+3|>2 \\) dostajemy \\( x \\in (-\\infty,-5) \\cup (-1,+\\infty) \\).\n\n**Krok 6. Polacz oba warunki** (\\( |x+3|>2 \\) oraz \\( x \\ne 3 \\)).\n\nZ przedzialu \\( (-1,+\\infty) \\) wykluczamy punkt \\( x=3 \\):\n\n\\[ \\boxed{x \\in (-\\infty,\\,-5) \\;\\cup\\; (-1,\\,3) \\;\\cup\\; (3,\\,+\\infty)} \\]\n\n## Sposob 2 - przedzialy (analiza przypadkow)\n\nPunkty zerujace moduly to \\( x=3 \\) (dla \\(2x-6\\)) oraz \\( x=-3 \\) i \\( x=3 \\) (dla \\(x^2-9\\)). Dziela one os liczbowa na przedzialy. W kazdym z nich opuszczamy moduly zgodnie ze znakiem:\n\n**Przypadek A: \\( x < -3 \\).** Tu \\( 2x-6<0 \\) oraz \\( x^2-9>0 \\), wiec\n\\[ -(2x-6) - (x^2-9) < 0 \\;\\Rightarrow\\; -x^2-2x+15<0 \\;\\Rightarrow\\; x^2+2x-15>0 \\;\\Rightarrow\\; (x+5)(x-3)>0. \\]\nW przedziale \\( x<-3 \\) daje to \\( x<-5 \\). Czesc rozwiazania: \\( (-\\infty,-5) \\).\n\n**Przypadek B: \\( -3 \\le x < 3 \\).** Tu \\( 2x-6<0 \\) oraz \\( x^2-9\\le 0 \\), wiec \\( |x^2-9|=-(x^2-9) \\):\n\\[ -(2x-6) - \\big(-(x^2-9)\\big) < 0 \\;\\Rightarrow\\; -2x+6+x^2-9<0 \\;\\Rightarrow\\; x^2-2x-3<0 \\;\\Rightarrow\\; (x-3)(x+1)<0, \\]\nczyli \\( -10 \\;\\Rightarrow\\; (x-3)(x+1)>0, \\]\nczyli \\( x<-1 \\) lub \\( x>3 \\). Po przecieciu z \\( [3,+\\infty) \\): \\( (3,+\\infty) \\) (punkt \\(x=3\\) daje \\(0<0\\) - falsz).\n\n**Suma wszystkich przypadkow:**\n\\[ (-\\infty,-5)\\cup(-1,3)\\cup(3,+\\infty), \\]\nco potwierdza wynik ze Sposobu 1.\n\n## Typowe pulapki\n\n- **Punkt \\( x=3 \\).** Latwo go „przeoczyc” i zapisac przedzial \\( (-1,+\\infty) \\). Tymczasem w \\( x=3 \\) obie strony rownaja sie zeru, wiec \\( |2x-6|-|x^2-9|=0 \\), a nierownosc jest **ostra** (\\(<0\\)) - punkt \\( x=3 \\) trzeba **wykluczyc**. Stad rozbicie na \\( (-1,3)\\cup(3,+\\infty) \\).\n- **Bledne opuszczanie modulu.** Czesty blad to pisanie \\( |x^2-9| = x^2-9 \\) na calej osi. Dla \\( -3Zadanie 5. (0-4)
Rozwiąż nierówność
|𝟐𝒙-𝟔| -|𝒙𝟐-𝟗| < 𝟎
Zapisz obliczenia.
5.
0-1-
2-3-4

\n

MMAP-R0_100

\n

MMAP-R0_100
Rozwiąż nierówność |2x-6| - |x²-9| < 0 Zapisz obliczenia.

","answer_text_html":"

5 𝑎
To należało wykazać.
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐾
𝑀
𝐿
𝑃
𝑄
𝑎
𝛼
𝛼
1
2 𝑎
1
2 𝑎
𝛼
𝑥
𝐸
Sposób V (analitycznie)
Umieszczamy kwadrat 𝐴𝐵𝐶𝐷 w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) tak, żeby
𝐴= (0, 0), 𝐵= (𝑎, 0), 𝐶= (𝑎, 𝑎), 𝐷= (0, 𝑎) (zobacz rysunek).
Wówczas 𝐾= (1
2 𝑎, 0) oraz 𝐿= (𝑎, 1
2 𝑎).
Wyznaczamy równanie prostej 𝐷𝐾:
𝑦= 0 -𝑎
1
2 𝑎-0
⋅(𝑥-0) + 𝑎
𝑦= -2𝑥+ 𝑎
Wyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐿:
𝑦=
1
2 𝑎-0
𝑎-0 ⋅𝑥
𝑦= 1
2 𝑥
Wyznaczamy współrzędne punktu 𝑃:
1
2 𝑥= -2𝑥+ 𝑎
𝑥= 2
5 𝑎
𝑦= 1
2 ⋅2
5 𝑎= 1
5 𝑎
Zatem 𝑃= (2
5 𝑎, 1
5 𝑎).
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐾
𝑀
𝐿
𝑃
𝑄
𝑎
1
2 𝑎
1
2 𝑎
1
2 𝑎
𝑥
𝑦
𝑎
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Prosta 𝐾𝑀 jest prostopadła do prostej 𝐷𝐾, więc współczynnik kierunkowy w równaniu
prostej 𝐾𝑀 jest równy 1
2 . Zatem prosta 𝐾𝑀 ma równanie 𝑦= 1
2 (𝑥-1
2 𝑎). Stąd druga
współrzędna punktu 𝑀 jest równa 1
2 (𝑎-1
2 𝑎) = 1
4 𝑎, czyli 𝑀= (𝑎, 1
4 𝑎).
Wyznaczamy równanie prostej 𝐷𝑀:
𝑦=
1
4 𝑎-𝑎
𝑎-0 ⋅(𝑥-0) + 𝑎
𝑦= -3
4 𝑥+ 𝑎
Obliczamy współrzędne punktu 𝑄, korzystając z równań prostych 𝐴𝐿 i 𝐷𝑀:
1
2 𝑥= -3
4 𝑥+ 𝑎
𝑥= 4
5 𝑎
𝑦= 1
2 ⋅4
5 𝑎= 2
5 𝑎
Zatem 𝑄= (4
5 𝑎, 2
5 𝑎).
Obliczamy długość odcinka 𝑃𝑄:
|𝑃𝑄| = √(4
5 𝑎-2
5 𝑎)
2

\n\n

5 𝑎-1
5 𝑎)
2
= √5
25 𝑎= √5
5 𝑎
To należało wykazać.
Zadanie 5. (0-4)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Stosowanie obiektów matematycznych
\n

i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
III.R4) rozwiązuje równania i nierówności
z wartością bezwzględną.
Zasady oceniania
4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik:
𝑥∈(-∞, -5) ∪(-1, 3) ∪(3, +∞).
3 pkt - zapisanie trzech przedziałów: (-∞, -3) i [-3, 3) i [3, +∞) (z dokładnością do
domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej
w każdym z tych przedziałów oraz rozwiązanie nierówności w dwóch spośród tych
przedziałów - tj. wyznaczenie części wspólnych zbiorów rozwiązań zapisanych
nierówności z rozpatrywanymi przedziałami
ALBO

\n\n

ALBO

\n\n

ALBO

\n\n

ALBO

\n\n

i określenie krotności tych pierwiastków,
ALBO

\n\n

2𝑥-6 < |𝑥2 -9| i 2𝑥-6 > -|𝑥2 -9|, a następnie w postaci równoważnej
koniunkcji alternatyw nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej:
(𝑥2 -9 > 2𝑥-6 lub 𝑥2 -9 < -2𝑥+ 6) i (𝑥2 -9 > -2𝑥+ 6 lub
𝑥2 -9 < 2𝑥-6),
ALBO

\n\n

𝑥2 -9 > |2𝑥-6| lub 𝑥2 -9 < -|2𝑥-6|, a następnie w postaci równoważnej
alternatywy koniunkcji nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej:
(2𝑥-6 < 𝑥2 -9 i 2𝑥-6 < -𝑥2 + 9) lub (2𝑥-6 < -𝑥2 + 9
i 2𝑥-6 > 𝑥2 -9),
ALBO

\n\n

2𝑥-6 < 0 i 𝑥2 -9 ≥0, 2𝑥-6 ≥0 i 𝑥2 -9 < 0, 2𝑥-6 ≥0 i 𝑥2 -9 ≥0
(z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu
wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków oraz rozwiązanie nierówności
w dwóch spośród trzech następujących przypadków: 2𝑥-6 < 0 i 𝑥2 -9 < 0,
2𝑥-6 < 0 i 𝑥2 -9 ≥0, 2𝑥-6 ≥0 i 𝑥2 -9 ≥0 - tj. wyznaczenie części
wspólnych zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności,
ALBO

\n\n

trzech przypadków: 2𝑥-6 < 0 i 𝑥2 -9 < 0, 2𝑥-6 < 0 i 𝑥2 -9 ≥0,
2𝑥-6 ≥0 i 𝑥2 -9 ≥0 (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie
nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków
oraz rozwiązanie nierówności w dwóch spośród tych trzech przypadków - tj.
wyznaczenie części wspólnych zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności,
ALBO

\n\n

współrzędnych punktów ich przecięcia: 𝑥= -5 oraz 𝑥= -1 oraz 𝑥= 3
i sprawdzenie rachunkiem poprawności odczytanych współrzędnych.
2 pkt - zapisanie trzech przedziałów: (-∞, -3) i [-3, 3) i [3, +∞) (z dokładnością do
domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej
w każdym z tych przedziałów
Zasady oceniania rozwiązań zadań
ALBO

\n\n

ALBO

\n\n

1 < |𝑥 + 3|
2
(bez zapisania założenia 𝑥≠3),
1 < |𝑥2 - 9|
2⋅|𝑥 - 3| z zapisaniem założenia 𝑥≠3,
1 < |𝑥 - 3|⋅|𝑥 + 3|
|2𝑥 - 6|
z zapisaniem założenia 𝑥≠3,
1 < |(𝑥 - 3)(𝑥 + 3)
2𝑥 - 6
| z zapisaniem założenia 𝑥≠3,
(𝑥-3)2 ⋅[4 -(𝑥+ 3)2] < 0,
ALBO

\n\n

dwóch pierwiastków wielomianu 𝑥4 -22𝑥2 + 24𝑥+ 45 (lub zapisanie, że 3 jest
dwukrotnym pierwiastkiem tego wielomianu),
ALBO

\n\n

2𝑥-6 < |𝑥2 -9| i 2𝑥-6 > -|𝑥2 -9|,
ALBO

\n\n

𝑥2 -9 > |2𝑥-6| lub 𝑥2 -9 < -|2𝑥-6|,
ALBO

\n\n

2𝑥-6 < 0 i 𝑥2 -9 ≥0, 2𝑥-6 ≥0 i 𝑥2 -9 < 0, 2𝑥-6 ≥0 i 𝑥2 -9 ≥0
(z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie nierówności bez użycia symbolu
wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków,
ALBO

\n\n

2𝑥-6 ≥0 i 𝑥2 -9 ≥0 (z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie
nierówności bez użycia symbolu wartości bezwzględnej w każdym z tych przypadków
oraz zapisanie, że przypadek 2𝑥-6 ≥0 i 𝑥2 -9 < 0 jest sprzeczny,
ALBO

\n\n

1 pkt - zapisanie trzech przedziałów: (-∞, -3) i [-3, 3) i [3, +∞) (z dokładnością do
domknięcia) oraz zapisanie danej nierówności w jednym z tych przedziałów bez
użycia symbolu wartości bezwzględnej
ALBO

\n\n

domknięcia) oraz rozwiązanie danej nierówności w tym przedziale - tj. wyznaczenie
części wspólnej zbioru rozwiązań zapisanej nierówności z rozpatrywanym
przedziałem,
ALBO

\n\n

2 ⋅|𝑥-3| -|(𝑥-3)(𝑥+ 3)| < 0,
ALBO

\n\n

z następujących postaci:
1 < |𝑥2 - 9|
2⋅|𝑥 - 3| (bez zapisania założenia 𝑥≠3),
1 < |𝑥 - 3|⋅|𝑥 + 3|
|2𝑥 - 6|
(bez zapisania założenia 𝑥≠3),
1 < |(𝑥 - 3)(𝑥 + 3)
2𝑥 - 6
| (bez zapisania założenia 𝑥≠3),
(2𝑥-6)2 < (𝑥2 -9)2,
ALBO

\n\n

2𝑥-6 < 0 i 𝑥2 -9 ≥0, 2𝑥-6 ≥0 i 𝑥2 -9 < 0, 2𝑥-6 ≥0 i 𝑥2 -9 ≥0
(z dokładnością do domknięcia) oraz zapisanie danej nierówności w jednym z tych
przypadków bez użycia wartości bezwzględnej,
ALBO

\n\n

2𝑥-6 < 0 i 𝑥2 -9 ≥0, 2𝑥-6 ≥0 i 𝑥2 -9 ≥0 (z dokładnością do
domknięcia) oraz rozwiązanie danej nierówności w tym przypadku - tj. wyznaczenie
części wspólnej zbiorów rozwiązań zapisanych nierówności.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający, zapisując nierówność bez użycia wartości bezwzględnej, popełni błąd,
\n

który nie jest rachunkowy, tylko w jednym z rozpatrywanych przypadków/przedziałów
i rozwiąże zadanie do końca, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie,
o ile nie nabył prawa do innej punktacji zgodnej z zasadami oceniania.

\n
  1. Jeżeli zdający nie rozpatruje przedziałów, które wyczerpują zbiór wszystkich liczb
\n

rzeczywistych i w których nierówność ma różne postacie (lub rozpatruje przypadki
wyznaczone jedynie przez nierówności ostre, które nie wyczerpują zbioru ℝ), to może
otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający przy rozwiązaniu graficznym poda zbiór rozwiązań
\n

(-∞, -5) ∪(-1, 3) ∪(3, +∞), ale nie sprawdzi rachunkiem pierwszych współrzędnych
punktów przecięcia wykresów funkcji 𝑓(𝑥) = |2𝑥-6| i 𝑔(𝑥) = |𝑥2 -9|, to może
otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający, podając zbiór rozwiązań nierówności, nie uwzględni warunku 𝑥≠3, to
\n

może uzyskać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Wyznaczamy przedziały, które wyczerpują zbiór wszystkich liczb rzeczywistych i w których
nierówność ma różne postacie: (-∞, -3) i [-3, 3) i [3, +∞).
Rozważamy trzy przypadki.
Przypadek 1. (gdy 𝑥∈(-∞, -3))
W tym przypadku nierówność ma postać -2𝑥+ 6 -𝑥2 + 9 < 0. Stąd otrzymujemy:
-𝑥2 -2𝑥+ 15 < 0
Zasady oceniania rozwiązań zadań
-(𝑥+ 5)(𝑥-3) < 0
Zatem 𝑥∈(-∞, -5) ∪(3, +∞) i 𝑥∈(-∞, -3), więc 𝑥∈(-∞, -5).
Przypadek 2. (gdy 𝑥∈[-3, 3))
W tym przypadku nierówność ma postać -2𝑥+ 6 + 𝑥2 -9 < 0. Stąd otrzymujemy:
𝑥2 -2𝑥-3 < 0
(𝑥+ 1)(𝑥-3) < 0
Zatem 𝑥∈(-1, 3) i 𝑥∈[-3, 3), więc 𝑥∈(-1, 3).
Przypadek 3. (gdy 𝑥∈[3, +∞))
W tym przypadku nierówność ma postać 2𝑥-6 -𝑥2 + 9 < 0. Stąd otrzymujemy:
-𝑥2 + 2𝑥+ 3 < 0
-(𝑥+ 1)(𝑥-3) < 0
Zatem 𝑥∈(-∞, -1) ∪(3, +∞) i 𝑥∈[3, +∞), więc 𝑥∈(3, +∞).
Ostatecznie rozwiązaniami nierówności |2𝑥-6| -|𝑥2 -9| < 0 są wszystkie liczby ze
zbioru (-∞, -5) ∪(-1, 3) ∪(3, +∞).
Sposób II
Przekształcamy nierówność, korzystając z własności wartości bezwzględnej oraz wzoru na
różnicę kwadratów:
|2𝑥-6| -|𝑥2 -9| < 0
2 ⋅|𝑥-3| -|𝑥-3| ⋅|𝑥+ 3| < 0
|𝑥-3| ⋅(2 -|𝑥+ 3|) < 0
Stąd |𝑥-3| ≠0 i 2 -|𝑥+ 3| < 0. Zatem
𝑥≠3 ∧ |𝑥+ 3| > 2
𝑥≠3 ∧ (𝑥+ 3 < -2 ∨ 𝑥+ 3 > 2)
𝑥≠3 ∧ (𝑥< -5 ∨ 𝑥> -1)
𝑥∈(-∞, -5) ∪(-1, 3) ∪(3, +∞)
Sposób IIa
Dla 𝑥= 3 wartość wyrażenia |2𝑥-6| -|𝑥2 -9| jest równa 0, więc nierówność nie jest
spełniona.
Przekształcamy nierówność, korzystając z własności wartości bezwzględnej oraz ze wzoru
na różnicę kwadratów:
|2𝑥-6| -|𝑥2 -9| < 0
1 <
|𝑥2 -9|
|2𝑥-6| ∧ 𝑥≠3
1 < |𝑥-3| ⋅|𝑥+ 3|
2 ⋅|𝑥-3|
∧ 𝑥≠3
1 < |𝑥+ 3|
2
∧ 𝑥≠3
𝑥≠3 ∧ |𝑥+ 3| > 2
𝑥≠3 ∧ (𝑥+ 3 < -2 ∨ 𝑥+ 3 > 2)
𝑥≠3 ∧ (𝑥< -5 ∨ 𝑥> -1)
𝑥∈(-∞, -5) ∪(-1, 3) ∪(3, +∞)
Sposób IIb (poprzez nierówność wielomianową)
Przekształcamy nierówność, korzystając z własności wartości bezwzględnej oraz ze wzoru
na różnicę kwadratów i kwadrat sumy:
|2𝑥-6| < |𝑥2 -9|
|2𝑥-6|2 < |𝑥2 -9|2
(2𝑥-6)2 < (𝑥2 -9)2
4(𝑥-3)2 < (𝑥-3)2(𝑥+ 3)2
(𝑥-3)2[4 -(𝑥+ 3)2] < 0
(𝑥-3)2(-1 -𝑥)(𝑥+ 5) < 0
(𝑥-3)2(𝑥+ 1)(𝑥+ 5) > 0
Stąd
𝑥∈(-∞, -5) ∪(-1, 3) ∪(3, +∞)
Sposób III (poprzez koniunkcję nierówności)
Dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 prawdziwe są
równoważności:
(1) |𝑥| < 𝑎 wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑥< 𝑎 i 𝑥> -𝑎
oraz
(2) |𝑥| > 𝑎 wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑥> 𝑎 lub 𝑥< -𝑎.
Przekształcamy nierówność |2𝑥-6| -|𝑥2 -9| < 0, korzystając z równoważności (1):
2𝑥-6 < |𝑥2 -9| i 2𝑥-6 > -|𝑥2 -9|
|𝑥2 -9| > 2𝑥-6 i |𝑥2 -9| > -2𝑥+ 6
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Rozwiązujemy każdą z otrzymanych nierówności, korzystając z równoważności (2):
(𝑥2 -9 > 2𝑥-6 ∨ 𝑥2 -9 < -2𝑥+ 6) ∧ (𝑥2 -9 > -2𝑥+ 6 ∨ 𝑥2 -9 < 2𝑥-6)
(𝑥2 -2𝑥-3 > 0 ∨ 𝑥2 + 2𝑥-15 < 0) ∧ (𝑥2 + 2𝑥-15 > 0 ∨ 𝑥2 -2𝑥-3 < 0)
[(𝑥+ 1)(𝑥-3) > 0 ∨ (𝑥+ 5)(𝑥-3) < 0] ∧ (𝑥2 + 2𝑥-15 > 0 ∨ 𝑥2 -2𝑥-3 < 0)
[𝑥∈(-∞, -1) ∪(3, +∞) ∨ 𝑥∈(-5, 3)] ∧ [(𝑥+ 5)(𝑥-3) > 0 ∨ (𝑥+ 1)(𝑥-3) < 0]
[𝑥∈(-∞, -1) ∪(3, +∞) ∨ 𝑥∈(-5, 3)] ∧ [𝑥∈(-∞, -5) ∪(3, +∞) ∨ 𝑥∈(-1, 3)]
𝑥∈(-∞, 3) ∪(3, +∞) ∧ 𝑥∈(-∞-5) ∪(-1, 3) ∪(3, +∞)
𝑥∈(-∞-5) ∪(-1, 3) ∪(3, +∞)
Ostatecznie rozwiązaniami nierówności |2𝑥-6| -|𝑥2 -9| < 0 są wszystkie liczby ze
zbioru (-∞, -5) ∪(-1, 3) ∪(3, +∞).
Zadanie 6. (0-4)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Dobieranie i tworzenie modeli
\n

matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.
Zdający:
VI.7) wykorzystuje własności ciągów, w tym
arytmetycznych i geometrycznych, do
rozwiązywania zadań, również osadzonych
w kontekście praktycznym.
Zasady oceniania
4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (-1 026 168).
3 pkt - obliczenie liczby 𝑛 wyrazów ciągu arytmetycznego: 𝑛= 1014.
2 pkt - rozwiązanie równania z jedną niewiadomą 𝑟: 𝑟= 0 oraz 𝑟= -2
ALBO

\n\n

𝑟= -2,
ALBO

\n\n

ALBO

\n\n

zadania: 𝑞= 3,
ALBO

\n\n

z jedną niewiadomą 𝑎2: 𝑎2 = -1,
ALBO

\n\n

(1 + 2 ⋅-2026
𝑛 - 1)
2
= (1 + -2026
𝑛 - 1) (1 + 5 ⋅-2026
𝑛 - 1)
1 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑟, np. (1 + 2𝑟)2 = (1 + 𝑟)(1 + 5𝑟)
ALBO

\n\n

ALBO

\n\n

ALBO

\n\n

arytmetycznego (𝑎𝑛): 𝑟= -2026
𝑛 - 1 .
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z ciągiem geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów
\n

za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający stosuje błędny wzór na 𝑛-ty wyraz ciągu arytmetycznego, to może otrzymać
\n

co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe i otrzyma wartość 𝑛, która nie jest liczbą
\n

naturalną, to może otrzymać 2 punkty za całe rozwiązanie (traktujemy to jak obliczenie
liczby wyrazów ciągu arytmetycznego z błędem rachunkowym). Zdający nie otrzymuje
punktu za obliczenie sumy wyrazów ciągu arytmetycznego.

\n
  1. a) Jeżeli zdający przyjmie, że 𝑟= -2 i sprawdzi rachunkiem, że ta wartość spełnia
\n

warunki zadania, ale nie uzasadni, że jest to jedyna wartość 𝑟 spełniająca warunki
zadania, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za obliczenie 𝑛
oraz za obliczenie sumy).
b) Jeżeli zdający przyjmie bez uzasadnienia, że 𝑟= -2 i na tym opiera swoje
rozwiązanie, to otrzymuje 0 punktów.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Niech 𝑟 oznacza różnicę ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛). Ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu
arytmetycznego i własności ciągu geometrycznego otrzymujemy: 𝑎2 = 1 + 𝑟,
𝑎3 = 1 + 2𝑟, 𝑎6 = 1 + 5𝑟 oraz (𝑎3)2 = 𝑎2 ⋅𝑎6 . Stąd i z warunków zadania dostajemy:
(𝑎3)2 = 𝑎2 ⋅𝑎6
(1 + 2𝑟)2 = (1 + 𝑟)(1 + 5𝑟)
0 = 2𝑟+ 𝑟2
0 = 𝑟(2 + 𝑟)
𝑟= 0 ∨ 𝑟= -2
Dla 𝑟= 0 warunki zadania nie są spełnione, ponieważ pierwszy i ostatni wyraz ciągu
arytmetycznego (𝑎𝑛) nie są równe.
Dla 𝑟= -2 otrzymujemy 𝑎2 = -1, 𝑎3 = -3, 𝑎6 = -9. Ciąg (-1, -3, -9) jest
geometryczny, więc warunki zadania są spełnione.
Obliczamy liczbę 𝑛 wyrazów ciągu (𝑎𝑛):
-2025 = 1 + (𝑛-1) ⋅(-2)
Zasady oceniania rozwiązań zadań
𝑛= 1014
Obliczamy sumę 𝑆1014 wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛):
𝑆1014 = 1 + (-2025)
2
⋅1014 = -1 026 168
Sposób II
Niech 𝑟 oznacza różnicę ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛). Niech 𝑞 oznacza iloraz ciągu
geometrycznego (𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎6). Ciąg arytmetyczny (𝑎𝑛) jest malejący, więc ciąg
(𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎6) nie jest stały. Zatem 𝑞≠1 oraz 𝑎2 ≠0. Ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu
geometrycznego i własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy: 𝑎3 = 𝑎2 ⋅𝑞, 𝑎6 = 𝑎2 ⋅𝑞2
oraz 3(𝑎3 -𝑎2) = 𝑎6 -𝑎3 . Stąd i z warunków zadania dostajemy:
3(𝑎3 -𝑎2) = 𝑎6 -𝑎3
3𝑎2 ⋅𝑞-3𝑎2 = 𝑎2 ⋅𝑞2 -𝑎2 ⋅𝑞
0 = 𝑎2 ⋅(𝑞2 -4𝑞+ 3)
𝑎2 = 0 ∨ 𝑞2 -4𝑞+ 3 = 0
𝑎2 = 0 ∨ 𝑞= 1 ∨ 𝑞= 3
Dla 𝑎2 = 0 oraz dla 𝑞= 1 warunki zadania nie są spełnione, czyli 𝑞= 3. Zatem
𝑎3 = 3𝑎2 , 𝑎6 = 9𝑎2 .
Korzystamy z własności ciągu arytmetycznego i obliczamy 𝑎2:
𝑎1 + 𝑎3
2
= 𝑎2
1 + 3𝑎2
2
= 𝑎2
𝑎2 = -1
Ponieważ 𝑎1 = 1 i 𝑎2 = -1, więc różnica ciągu arytmetycznego jest równa (-2).
Obliczamy liczbę 𝑛 wyrazów ciągu (𝑎𝑛):
-2025 = 1 + (𝑛-1) ⋅(-2)
𝑛= 1014
Obliczamy sumę 𝑆1014 wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛):
𝑆1014 = 1 + (-2025)
2
⋅1014 = -1 026 168
Sposób III
Niech 𝑟 oznacza różnicę ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛). Ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu
arytmetycznego i własności ciągu geometrycznego otrzymujemy: 𝑎3 = 𝑎2 + 𝑟,
𝑎6 = 𝑎2 + 4𝑟 oraz (𝑎3)2 = 𝑎2 ⋅𝑎6 . Stąd i z warunków zadania dostajemy:
(𝑎3)2 = 𝑎2 ⋅𝑎6
(𝑎2 + 𝑟)2 = 𝑎2 ⋅(𝑎2 + 4𝑟)
𝑎2
2 + 2𝑎2𝑟+ 𝑟2 = 𝑎2
2 + 4𝑎2𝑟
0 = 𝑟(2𝑎2 -𝑟)
𝑟= 0 ∨ 𝑟= 2𝑎2
Dla 𝑟= 0 warunki zadania nie są spełnione, ponieważ pierwszy i ostatni wyraz ciągu
arytmetycznego (𝑎𝑛) nie są równe.
Dla 𝑟= 2𝑎2 otrzymujemy 𝑎2 = 1 + 2𝑎2 . Stąd 𝑎2 = -1, więc 𝑟= -2. Zatem 𝑎3 = -3
oraz 𝑎6 = -9. Ciąg (-1, -3, -9) jest geometryczny, więc warunki zadania są spełnione.
Obliczamy liczbę 𝑛 wyrazów ciągu (𝑎𝑛):
-2025 = 1 + (𝑛-1) ⋅(-2)
𝑛= 1014
Obliczamy sumę 𝑆1014 wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛):
𝑆1014 = 1 + (-2025)
2
⋅1014 = -1 026 168
Zadanie 7. (0-4)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Stosowanie i tworzenie strategii przy
\n

rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach
nietypowych.
Zdający:
VII.R6) rozwiązuje równania
trygonometryczne.
Zasady oceniania
4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik, np.: 𝜋𝑘
2 oraz -𝜋
12 + 𝜋𝑘
2 oraz
𝜋
12 + 𝜋𝑘
2 , gdzie 𝑘∈ℤ.
3 pkt - przekształcenie równania do postaci alternatywy równań trygonometrycznych
i rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy, np.:
(sin(2𝑥) = 0 lub cos2(2𝑥) = 3
4 ) oraz
𝑥= 𝜋𝑘
2 (rozwiązania równania sin(2𝑥) = 0)
Zasady oceniania rozwiązań zadań
(sin(2𝑥) = 0 lub cos(2𝑥) = -
√3
2 lub cos(2𝑥) =
√3
2 ) oraz
𝑥= -5𝜋
12 + 𝜋𝑘 oraz 𝑥= 5𝜋
12 + 𝜋𝑘 (rozwiązania równania cos(2𝑥) = -
√3
2 )
(sin(2𝑥) = 0 lub cos(4𝑥) = 1
2 ) oraz
𝑥= -𝜋
12 + 𝜋𝑘
2 oraz 𝑥= 𝜋
12 + 𝜋𝑘
2 (rozwiązania równania cos(4𝑥) = 1
2)
(sin(2𝑥) = 0 lub sin(2𝑥) = -1
2 lub sin(2𝑥) = 1
2 ) oraz
𝑥= -𝜋
12 + 𝜋𝑘 oraz 𝑥= -5𝜋
12 + 𝜋𝑘 (rozwiązania równania sin(2𝑥) = -1
2),
gdzie 𝑘∈ℤ.
2 pkt - przekształcenie równania do postaci alternatywy równań trygonometrycznych, np.:
sin(2𝑥) = 0 lub cos2(2𝑥) = 3
4 ,
sin(2𝑥) = 0 lub cos(2𝑥) = -
√3
2 lub cos(2𝑥) =
√3
2 ,
sin(2𝑥) = 0 lub 2 cos(4𝑥) -1 = 0,
sin(2𝑥) = 0 lub 4 sin2(2𝑥) -1 = 0.
1 pkt - zastosowanie wzoru na sinus sumy i przekształcenie równania do postaci
sin(4𝑥) cos(2𝑥) + cos(4𝑥) sin(2𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 (dla sposobu I)
ALBO

\n\n

2 cos(4𝑥) sin(2𝑥) -sin(2𝑥) = 0 (dla sposobu II),
ALBO

\n\n

-4 sin3(2𝑥) + 3 sin(2𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 (dla sposobu III).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. a) Jeżeli zdający popełni błędy, które nie są rachunkowe, nie zrealizuje wymagań
\n

z kryterium za 1 punkt, przekształci równanie do postaci sin(2𝑥) ⋅𝑓(𝑥) = 0, to może
otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie (za rozwiązanie równania
sin(2𝑥) = 0).
b) Jeżeli zdający zrealizuje wymagania z kryterium za 1 punkt, a następnie popełni błędy,
które nie są rachunkowe, przekształci równanie do postaci sin(2𝑥) ⋅𝑓(𝑥) = 0
i rozwiąże równanie sin(2𝑥) = 0, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający popełni tylko błędy rachunkowe i przekształci równanie do postaci
\n

sin(2𝑥) ⋅𝑓(𝑥) = 0, gdzie funkcja trygonometryczna 𝑓 nie ma miejsc zerowych lub
równanie trygonometryczne 𝑓(𝑥) = 0 ma jedną serię rozwiązań w zbiorze liczb
rzeczywistych, oraz rozwiąże równanie sin(2𝑥) = 0, otrzymując 𝑥= 𝜋𝑘
2 , to może
otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie nabył praw do innej
punktacji.

\n
  1. Jeżeli zdający przyjmie 𝑢= 2𝑥 i rozwiąże równanie sin(3𝑢) -2 sin 𝑢= 0 (lub
\n

równanie -4 sin3 𝑢+ 3 sin 𝑢-2 sin 𝑢= 0) i na tym zakończy lub dalej popełni błędy, to
otrzymuje 3 punkty.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I (poprzez sinus sumy)
Przekształcamy równanie sin(6𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 równoważnie, stosując wzór na sinus
sumy kątów i cosinus podwojonego kąta:
sin(4𝑥+ 2𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0
sin(4𝑥) cos(2𝑥) + cos(4𝑥) sin(2𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0
2 sin(2𝑥) cos2(2𝑥) + [2 cos2(2𝑥) -1] sin(2𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0
sin(2𝑥) [4 cos2(2𝑥) -3] = 0
sin(2𝑥) = 0 ∨ cos2(2𝑥) = 3
4
sin(2𝑥) = 0 ∨ cos(2𝑥) = -√3
2 ∨ cos(2𝑥) = √3
2
Rozwiązujemy równanie sin(2𝑥) = 0:
2𝑥= 𝜋𝑘
𝑥= 𝜋𝑘
2
gdzie 𝑘∈ℤ.
Rozwiązujemy równanie cos(2𝑥) = -
√3
2 :
2𝑥= 5𝜋
6 + 2𝜋𝑘 ∨ 2𝑥= -5𝜋
6 + 2𝜋𝑘
𝑥= 5𝜋
12 + 𝜋𝑘 ∨ 𝑥= -5𝜋
12 + 𝜋𝑘
gdzie 𝑘∈ℤ.
Rozwiązujemy równanie cos(2𝑥) =
√3
2 :
2𝑥= 𝜋
6 + 2𝜋𝑘 ∨ 2𝑥= -𝜋
6 + 2𝜋𝑘
𝑥= 𝜋
12 + 𝜋𝑘 ∨ 𝑥= -𝜋
12 + 𝜋𝑘
gdzie 𝑘∈ℤ.
Rozwiązaniami równania sin(6𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 są wszystkie liczby postaci:
𝜋𝑘
2 , -5𝜋
12 + 𝜋𝑘, 5𝜋
12 + 𝜋𝑘, -𝜋
12 + 𝜋𝑘 oraz 𝜋
12 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Sposób II (poprzez różnicę sinusów)
Przekształcamy równanie sin(6𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 równoważnie, stosując wzór na różnicę
sinusów:
sin(6𝑥) -sin(2𝑥) -sin(2𝑥) = 0
2 cos (6𝑥+ 2𝑥
2
) sin (6𝑥-2𝑥
2
) -sin(2𝑥) = 0
2 cos(4𝑥) sin(2𝑥) -sin(2𝑥) = 0
sin(2𝑥) [2 cos(4𝑥) -1] = 0
sin(2𝑥) = 0 ∨ cos(4𝑥) = 1
2
2𝑥= 𝜋𝑘 ∨ 4𝑥= 𝜋
3 + 2𝜋𝑘 ∨ 4𝑥= -𝜋
3 + 2𝜋𝑘
𝑥= 𝜋𝑘
2 ∨ 𝑥= 𝜋
12 + 𝜋𝑘
2 ∨ 𝑥= -𝜋
12 + 𝜋𝑘
2
gdzie 𝑘∈ℤ.
Rozwiązaniami równania sin(6𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 są wszystkie liczby postaci:
𝜋𝑘
2 , -𝜋
12 + 𝜋𝑘
2 oraz 𝜋
12 + 𝜋𝑘
2 , gdzie 𝑘∈ℤ.
Sposób III (poprzez sinus potrojonego kąta)
Przekształcamy równanie sin(6𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 równoważnie, stosując wzór na sinus
potrojonego kąta:
sin(3 ⋅2𝑥) -2sin(2𝑥) = 0
-4 sin3(2𝑥) + 3 sin(2𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0
sin(2𝑥) [-4 sin2(2𝑥) + 1] = 0
sin(2𝑥) = 0 ∨ sin2(2𝑥) = 1
4
sin(2𝑥) = 0 ∨ sin(2𝑥) = -1
2 ∨ sin(2𝑥) = 1
2
2𝑥= 𝜋𝑘 ∨ 2𝑥= 7𝜋
6 + 2𝜋𝑘 ∨ 2𝑥= 11𝜋
6

\n\n

6 + 2𝜋𝑘 ∨ 2𝑥= 5𝜋
6 + 2𝜋𝑘
𝑥= 𝜋𝑘
2 ∨ 𝑥= 7𝜋
12 + 𝜋𝑘 ∨ 𝑥= 11𝜋
12 + 𝜋𝑘 ∨ 𝑥= 𝜋
12 + 𝜋𝑘 ∨ 𝑥= 5𝜋
12 + 𝜋𝑘
gdzie 𝑘∈ℤ.
Rozwiązaniami równania sin(6𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 są wszystkie liczby postaci:
𝜋𝑘
2 , 𝜋
12 + 𝜋𝑘, 5𝜋
12 + 𝜋𝑘, 7𝜋
12 + 𝜋𝑘 oraz 11𝜋
12 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ.
Zadanie 8. (0-4)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Stosowanie i tworzenie strategii przy
\n

rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach
nietypowych.
Zdający:
X.R2) wyznacza przekroje […] ostrosłupów
prawidłowych oraz oblicza ich pola, także
z wykorzystaniem trygonometrii.
Zasady oceniania
4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑎= 3√6 oraz cos 𝛽= 5
14 .
3 pkt - obliczenie wysokości 𝑥 ściany bocznej opuszczonej na krawędź boczną ostrosłupa:
𝑥= √42
ALBO

\n\n

2): sin (𝛽

\n
  1. =
\n

3
2√7 ,
ALBO

\n\n

funkcjami trygonometrycznymi kątów 𝛼 i 𝛽, np.
1 = 2 cos2 (𝛼

\n
  1. ⋅(1 -cos 𝛽), 1 = sin2 𝛼⋅1 - cos𝛽
\n

1 - cos𝛼 ,
ALBO

\n\n

14 .
2 pkt - obliczenie długości krawędzi podstawy ostrosłupa oraz cos (𝛼
2): 𝑎= 3√6 oraz
cos (𝛼

\n
  1. =
\n

√7
3
ALBO

\n\n

𝑎=
√7
3 oraz sin (𝛽

\n
  1. = |𝐸𝐵|
\n

𝑥 ,
ALBO

\n\n

2
(lub 𝑏2 = 243
4 ),
ALBO

\n\n

ściany bocznej opuszczoną na krawędź boczną ostrosłupa, np.: 𝑥
𝑏= 2√14
9
,
1
2 ⋅𝑏2 ⋅2√14
9
= 1
2 𝑏⋅𝑥, (5
9 𝑏)
2

\n\n

ALBO

\n\n

1 = 2 cos2 (𝛼

\n
  1. ⋅(1 -cos 𝛽), 1 = sin2 𝛼⋅1 - cos𝛽
\n

1 - cos𝛼 .
1 pkt - obliczenie długości 𝑎 krawędzi podstawy ostrosłupa: 𝑎= 3√6
ALBO
Zasady oceniania rozwiązań zadań

\n\n
  1. : cos (𝛼
  2. =
\n

√7
3 ,
ALBO

\n\n

9
,
ALBO

\n\n

𝑎2 = 𝑥2 + 𝑥2 -2𝑥2 cos 𝛽
ALBO

\n\n

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑏2 -2𝑏2 cos 𝛼
ALBO

\n\n
  1. = 𝑥
\n

𝑎 , cos 𝛼
2 = 𝑥
𝑎 ,
ALBO

\n\n

𝑏 .
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający poprawnie zinterpretuje kąt między krawędziami bocznymi ostrosłupa
\n

i zastosuje twierdzenie cosinusów do ściany bocznej - pomimo błędnie obliczonej
długości krawędzi podstawy lub długości krawędzi bocznej - to traktujemy to jak
spełnienie kryterium z myślnika piątego z kategorii za 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający poprawnie zinterpretuje kąt między ścianami bocznymi ostrosłupa
\n

i zastosuje twierdzenie cosinusów do trójkąta z tym kątem - pomimo błędnie obliczonej
długości krawędzi podstawy lub wysokości ściany bocznej poprowadzonej z wierzchołka
podstawy ostrosłupa - to traktujemy to jak spełnienie kryterium z myślnika czwartego
z kategorii za 1 punkt.

\n
  1. Jeżeli zdający błędnie interpretuje kąt między krawędziami bocznymi ostrosłupa, to może
\n

otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający rozpatruje inną bryłę niż ostrosłup prawidłowy trójkątny, to otrzymuje
\n

0 punktów za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Przyjmijmy następujące oznaczenia:
𝐴, 𝐵, 𝐶 - wierzchołki podstawy ostrosłupa,
𝑆 - wierzchołek ostrosłupa,
𝐷 - punkt wspólny wysokości ściany bocznej 𝐵𝐶𝑆 poprowadzonej z wierzchołka 𝐵
i wysokości ściany bocznej 𝐴𝐶𝑆 poprowadzonej z wierzchołka 𝐴,
𝐸, 𝐹 - środki krawędzi - odpowiednio - 𝐴𝐵 i 𝐵𝐶,
𝛼 - miara kąta 𝐵𝑆𝐶,
𝛽 - miara kąta dwuściennego zawartego między ścianami bocznymi 𝐵𝐶𝑆 i 𝐴𝐶𝑆 ostrosłupa
𝐴𝐵𝐶𝑆,
𝑎 - długość krawędzi podstawy 𝐴𝐵𝐶,
𝑏 - długość krawędzi bocznej,
𝑥 - wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka podstawy 𝐴𝐵𝐶 (zobacz
rysunek).
Sposób I (z pominięciem krawędzi bocznej)
Obliczamy promień 𝑅 okręgu opisanego na podstawie 𝐴𝐵𝐶:
2𝜋𝑅= 6√2𝜋
𝑅= 3√2
Obliczamy długość krawędzi podstawy:
𝑎√3
3
= 3√2
𝑎= 3√6
Stosujemy wzór na cosinus podwojonego kąta i obliczamy cos (𝛼
2):
cos 𝛼= 2 cos2 (𝛼

\n
  1. -1
\n

5
9 = 2 cos2 (𝛼

\n
  1. -1
\n

cos (𝛼

\n
  1. = √7
\n

3 ∨ cos (𝛼

\n
  1. = -√7
\n

3
Ponieważ 𝛼< 180°, więc cos (𝛼

\n
  1. =
\n

√7
3 .
Ponieważ |∡𝐹𝐶𝑆| = 90° -𝛼
2 , więc |∡𝐶𝐵𝐷| = 𝛼
2 . Zatem:
𝑥
𝑎= cos (𝛼
2)
𝑆
𝛽
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐸
𝐹
𝑥
𝑏
𝑎
𝛼
Zasady oceniania rozwiązań zadań
𝑥= 3√6 ⋅√7
3
𝑥= √42
Stosujemy twierdzenie cosinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐷 i obliczamy cos 𝛽:
𝑎2 = 𝑥2 + 𝑥2 -2 ⋅𝑥⋅𝑥⋅cos 𝛽
(3√6)
2 = 2 ⋅42 -2 ⋅42 cos 𝛽
cos 𝛽= 5
14
Sposób II (poprzez krawędź boczną)
Obliczamy promień 𝑅 okręgu opisanego na podstawie 𝐴𝐵𝐶:
2𝜋𝑅= 6√2𝜋
𝑅= 3√2
Obliczamy długość krawędzi podstawy:
𝑎√3
3
= 3√2
𝑎= 3√6
Stosujemy twierdzenie cosinusów do trójkąta 𝐵𝐶𝑆 i obliczamy długość krawędzi bocznej:
(3√6)
2 = 𝑏2 + 𝑏2 -2𝑏⋅𝑏⋅cos 𝛼

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/sol-5.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedz: \\( x \\in (-\\infty, -5) \\cup (-1, 3) \\cup (3, +\\infty) \\)

\n

Rownowaznie mozna zapisac to jako \\( x < -5 \\) lub \\( x > -1 \\) z wykluczeniem punktu \\( x = 3 \\).

\n

Sposob 1 - wyciagniecie wspolnego czynnika (metoda elegancka)

\n

Krok 1. Rozloz oba wyrazenia na czynniki.

\n

Zauwaz, ze oba moduly maja wspolny czynnik \\( (x-3) \\):

\n

\\[ 2x - 6 = 2(x-3) \\]
\\[ x^2 - 9 = (x-3)(x+3) \\qquad \\text{(wzor skroconego mnozenia: } a^2-b^2=(a-b)(a+b)\\text{, Karta wzorow CKE EM2023, dzial „Wzory skroconego mnozenia”)} \\]

\n

Krok 2. Zastosuj wlasnosc modulu iloczynu \\( |ab| = |a|\\cdot|b| \\):

\n

\\[ |2x-6| = |2|\\cdot|x-3| = 2|x-3| \\]
\\[ |x^2-9| = |x-3|\\cdot|x+3| \\]

\n

Krok 3. Wstaw do nierownosci i wylacz \\( |x-3| \\) przed nawias:

\n

\\[ 2|x-3| - |x-3|\\cdot|x+3| < 0 \\]
\\[ |x-3|\\cdot\\big(2 - |x+3|\\big) < 0 \\]

\n

Krok 4. Przeanalizuj znaki czynnikow.

\n

Czynnik \\( |x-3| \\) jest zawsze nieujemny: \\( |x-3| \\ge 0 \\).

\n\n

\\[ 2 - |x+3| < 0 \\quad\\Longleftrightarrow\\quad |x+3| > 2 \\]

\n

Krok 5. Rozwiaz nierownosc z modulem \\( |x+3| > 2 \\).

\n

Korzystamy z faktu, ze \\( |A| > c \\) (dla \\( c>0 \\)) oznacza \\( A < -c \\) lub \\( A > c \\):

\n

\\[ x+3 < -2 \\quad\\text{lub}\\quad x+3 > 2 \\]
\\[ x < -5 \\quad\\text{lub}\\quad x > -1 \\]

\n

Zatem z warunku \\( |x+3|>2 \\) dostajemy \\( x \\in (-\\infty,-5) \\cup (-1,+\\infty) \\).

\n

Krok 6. Polacz oba warunki (\\( |x+3|>2 \\) oraz \\( x \\ne 3 \\)).

\n

Z przedzialu \\( (-1,+\\infty) \\) wykluczamy punkt \\( x=3 \\):

\n

\\[ \\boxed{x \\in (-\\infty,\\,-5) \\;\\cup\\; (-1,\\,3) \\;\\cup\\; (3,\\,+\\infty)} \\]

\n

Sposob 2 - przedzialy (analiza przypadkow)

\n

Punkty zerujace moduly to \\( x=3 \\) (dla \\(2x-6\\)) oraz \\( x=-3 \\) i \\( x=3 \\) (dla \\(x^2-9\\)). Dziela one os liczbowa na przedzialy. W kazdym z nich opuszczamy moduly zgodnie ze znakiem:

\n

Przypadek A: \\( x < -3 \\). Tu \\( 2x-6<0 \\) oraz \\( x^2-9>0 \\), wiec
\\[ -(2x-6) - (x^2-9) < 0 \\;\\Rightarrow\\; -x^2-2x+15<0 \\;\\Rightarrow\\; x^2+2x-15>0 \\;\\Rightarrow\\; (x+5)(x-3)>0. \\]
W przedziale \\( x<-3 \\) daje to \\( x<-5 \\). Czesc rozwiazania: \\( (-\\infty,-5) \\).

\n

Przypadek B: \\( -3 \\le x < 3 \\). Tu \\( 2x-6<0 \\) oraz \\( x^2-9\\le 0 \\), wiec \\( |x^2-9|=-(x^2-9) \\):
\\[ -(2x-6) - \\big(-(x^2-9)\\big) < 0 \\;\\Rightarrow\\; -2x+6+x^2-9<0 \\;\\Rightarrow\\; x^2-2x-3<0 \\;\\Rightarrow\\; (x-3)(x+1)<0, \\]
czyli \\( -1<x<3 \\). Po przecieciu z \\( [-3,3) \\): \\( (-1,3) \\).

\n

Przypadek C: \\( x \\ge 3 \\). Tu \\( 2x-6\\ge 0 \\) oraz \\( x^2-9\\ge 0 \\):
\\[ (2x-6) - (x^2-9) < 0 \\;\\Rightarrow\\; -x^2+2x+3<0 \\;\\Rightarrow\\; x^2-2x-3>0 \\;\\Rightarrow\\; (x-3)(x+1)>0, \\]
czyli \\( x<-1 \\) lub \\( x>3 \\). Po przecieciu z \\( [3,+\\infty) \\): \\( (3,+\\infty) \\) (punkt \\(x=3\\) daje \\(0<0\\) - falsz).

\n

Suma wszystkich przypadkow:
\\[ (-\\infty,-5)\\cup(-1,3)\\cup(3,+\\infty), \\]
co potwierdza wynik ze Sposobu 1.

\n

Typowe pulapki

\n"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Rozkładamy wyrażenia znajdujące się pod wartościami bezwzględnymi:

\n

|2x-6|-|x^2-9|=2|x-3|-|(x-3)(x+3)|

\n

=|x-3| l(2-|x+3| r).

\n

Iloczyn ma być ujemny. Pierwszy czynnik jest nieujemny, zatem musi być dodatni, a drugi ujemny:

\n

x≠3 oraz 2-|x+3|<0.

\n

|x+3|>2⇔ x<-5 lub x>-1.

\n

Z drugiego przedziału wykluczamy x=3 .

\n

Odpowiedź: x∈(-∞,-5)∪(-1,3)∪(3,∞) .

"}]}