{"id":"matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona","number":"7","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-4)\nRozwiąż równanie\n𝐬𝐢𝐧(𝟔𝒙) -𝟐𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙) = 𝟎\nZapisz obliczenia.\n7.\n0-1-\n2-3-4\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nRozwiąż równanie sin(6x) - 2sin(2x) = 0 Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: $x = \\dfrac{k\\pi}{2}$ lub $x = -\\dfrac{\\pi}{12} + \\dfrac{k\\pi}{2}$ lub $x = \\dfrac{\\pi}{12} + \\dfrac{k\\pi}{2}$, gdzie $k \\in \\mathbb{Z}$\n\n## Sposób 1 - wzór na sinus potrojonego kąta\n\n**Krok 1. Podstawienie.** Zauważ, że $6x = 3\\cdot(2x)$. Podstaw $u = 2x$:\n\\[ \\sin(3u) - 2\\sin u = 0. \\]\n\n**Krok 2. Rozwiń $\\sin(3u)$** wzorem $\\sin 3u = 3\\sin u - 4\\sin^3 u$:\n\\[ 3\\sin u - 4\\sin^3 u - 2\\sin u = 0 \\;\\Longrightarrow\\; \\sin u - 4\\sin^3 u = 0. \\]\n\n**Krok 3. Wyłącz wspólny czynnik:**\n\\[ \\sin u\\,(1 - 4\\sin^2 u) = 0. \\]\nZatem $\\sin u = 0$ **lub** $\\sin^2 u = \\dfrac14$, czyli $\\sin u = \\pm\\dfrac12$.\n\n**Krok 4. Rozwiąż każde równanie** (pamiętając $u = 2x$):\n\n- $\\sin u = 0 \\Rightarrow u = k\\pi \\Rightarrow 2x = k\\pi \\Rightarrow \\boxed{x = \\dfrac{k\\pi}{2}}$\n- $\\sin u = \\pm\\dfrac12 \\Rightarrow u = \\pm\\dfrac{\\pi}{6} + k\\pi \\Rightarrow 2x = \\pm\\dfrac{\\pi}{6} + k\\pi \\Rightarrow \\boxed{x = \\pm\\dfrac{\\pi}{12} + \\dfrac{k\\pi}{2}}$\n\n**Odpowiedź:** $x = \\dfrac{k\\pi}{2}\\;$ lub $\\;x = -\\dfrac{\\pi}{12} + \\dfrac{k\\pi}{2}\\;$ lub $\\;x = \\dfrac{\\pi}{12} + \\dfrac{k\\pi}{2}$, gdzie $k \\in \\mathbb{Z}$.\n\n## Sposób 2 - różnica sinusów (sprawdzenie)\n\nZapisz $\\sin 6x - 2\\sin 2x$ i skorzystaj z $\\sin 6x = \\sin(4x+2x)$ oraz $\\sin 6x = \\sin(4x-2x)$ dodając stronami: $\\sin 6x = 2\\sin 4x\\cos 2x - \\sin 2x$ - po uproszczeniu prowadzi do tego samego rozkładu $\\sin 2x\\,(1-4\\sin^2 2x)=0$, więc do identycznego zbioru rozwiązań.\n\n⚠️ **Uwaga:** wcześniejsza wersja rozwiązania (AI) podawała błędny zbiór $x=\\tfrac{k\\pi}{3}$; poprawny wynik zgodny z oficjalnym kluczem CKE 2026 to powyższy.","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/sol-7.svg","topics":null,"page_from":14,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 7. (0-4)<br>Rozwiąż równanie<br>𝐬𝐢𝐧(𝟔𝒙) -𝟐𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙) = 𝟎<br>Zapisz obliczenia.<br>7.<br>0-1-<br>2-3-4</p>\n<p>MMAP-R0_100</p>\n<p>MMAP-R0_100<br>Rozwiąż równanie sin(6x) - 2sin(2x) = 0 Zapisz obliczenia.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/sol-7.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: $x = \\dfrac{k\\pi}{2}$ lub $x = -\\dfrac{\\pi}{12} + \\dfrac{k\\pi}{2}$ lub $x = \\dfrac{\\pi}{12} + \\dfrac{k\\pi}{2}$, gdzie $k \\in \\mathbb{Z}$</h4>\n<h4>Sposób 1 - wzór na sinus potrojonego kąta</h4>\n<p><strong>Krok 1. Podstawienie.</strong> Zauważ, że $6x = 3\\cdot(2x)$. Podstaw $u = 2x$:<br>\\[ \\sin(3u) - 2\\sin u = 0. \\]</p>\n<p><strong>Krok 2. Rozwiń $\\sin(3u)$</strong> wzorem $\\sin 3u = 3\\sin u - 4\\sin^3 u$:<br>\\[ 3\\sin u - 4\\sin^3 u - 2\\sin u = 0 \\;\\Longrightarrow\\; \\sin u - 4\\sin^3 u = 0. \\]</p>\n<p><strong>Krok 3. Wyłącz wspólny czynnik:</strong><br>\\[ \\sin u\\,(1 - 4\\sin^2 u) = 0. \\]<br>Zatem $\\sin u = 0$ <strong>lub</strong> $\\sin^2 u = \\dfrac14$, czyli $\\sin u = \\pm\\dfrac12$.</p>\n<p><strong>Krok 4. Rozwiąż każde równanie</strong> (pamiętając $u = 2x$):</p>\n<ul><li>$\\sin u = 0 \\Rightarrow u = k\\pi \\Rightarrow 2x = k\\pi \\Rightarrow \\boxed{x = \\dfrac{k\\pi}{2}}$</li><li>$\\sin u = \\pm\\dfrac12 \\Rightarrow u = \\pm\\dfrac{\\pi}{6} + k\\pi \\Rightarrow 2x = \\pm\\dfrac{\\pi}{6} + k\\pi \\Rightarrow \\boxed{x = \\pm\\dfrac{\\pi}{12} + \\dfrac{k\\pi}{2}}$</li></ul>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> $x = \\dfrac{k\\pi}{2}\\;$ lub $\\;x = -\\dfrac{\\pi}{12} + \\dfrac{k\\pi}{2}\\;$ lub $\\;x = \\dfrac{\\pi}{12} + \\dfrac{k\\pi}{2}$, gdzie $k \\in \\mathbb{Z}$.</p>\n<h4>Sposób 2 - różnica sinusów (sprawdzenie)</h4>\n<p>Zapisz $\\sin 6x - 2\\sin 2x$ i skorzystaj z $\\sin 6x = \\sin(4x+2x)$ oraz $\\sin 6x = \\sin(4x-2x)$ dodając stronami: $\\sin 6x = 2\\sin 4x\\cos 2x - \\sin 2x$ - po uproszczeniu prowadzi do tego samego rozkładu $\\sin 2x\\,(1-4\\sin^2 2x)=0$, więc do identycznego zbioru rozwiązań.</p>\n<p>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> wcześniejsza wersja rozwiązania (AI) podawała błędny zbiór $x=\\tfrac{k\\pi}{3}$; poprawny wynik zgodny z oficjalnym kluczem CKE 2026 to powyższy.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>W równaniu rozdzielamy składnik 2sin2x na dwa jednakowe składniki:</p>\n<p>sin6x-2sin2x=sin6x-sin2x-sin2x=0.</p>\n<p>Do różnicy sin6x-sin2x stosujemy wzór</p>\n<p>sinα-sinβ=2cos(α+β)/(2)sin(α-β)/(2).</p>\n<p>Dla α=6x i β=2x otrzymujemy</p>\n<p>sin6x-sin2x=2cos(6x+2x)/(2)sin(6x-2x)/(2)=2cos4xsin2x.</p>\n<p>Zatem</p>\n<p>2cos4xsin2x-sin2x=0,</p>\n<p>sin2x (2cos4x-1)=0.</p>\n<p>Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.</p>\n<p>Przypadek 1.</p>\n<p>sin2x=0,</p>\n<p>2x=kπ, k∈mathbb Z,</p>\n<p>x=(kπ)/(2).</p>\n<p>Przypadek 2.</p>\n<p>2cos4x-1=0,</p>\n<p>cos4x=(1)/(2).</p>\n<p>Cosinus jest równy (1)/(2) dla kątów ±fracπ3 z dokładnością do pełnych okresów:</p>\n<p>4x=2kπ±fracπ3, k∈mathbb Z,</p>\n<p>x=(kπ)/(2)±fracπ 12 .</p>\n<p>Odpowiedź: x=(kπ)/(2) lub x=(kπ)/(2)±fracπ 12 , gdzie k∈mathbb Z .</p>"}]}