{"id":"matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona","number":"9","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-5)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (1, -1) oraz 𝐵= (4, 0) są\nwierzchołkami trójkąta 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐶𝐴| = |𝐶𝐵|. Jedno z ramion trójkąta 𝐴𝐵𝐶 zawiera\nsię w prostej o równaniu 𝑥+ 2𝑦-4 = 0. Na boku 𝐴𝐶 tego trójkąta obrano taki punkt 𝑀,\nże |𝐴𝑀| ∶|𝑀𝐶| = 1 ∶4.\nWyznacz równanie okręgu, który ma środek w punkcie 𝑴 i przechodzi przez punkt 𝑪.\nZapisz obliczenia.\n9.\n0-1-\n2-3-\n4-5\n\nMMAP-R0_100\n\nMMAP-R0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkty A = (1,-1) oraz B = (4,0) są wierzchołkami trójkąta ABC, w którym |CA|=|CB|. Jedno z ramion trójkąta ABC zawiera się w prostej o równaniu x+2y-4=0. Na boku AC tego trójkąta obrano taki punkt M , że |AM| : |MC| = 1 : 4. Wyznacz równanie okręgu, który ma środek w punkcie M i przechodzi przez punkt C. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"= 5","solution":"## Poprawna odpowiedz: \\( \\left(x-\\dfrac{6}{5}\\right)^2 + \\left(y+\\dfrac{3}{5}\\right)^2 = \\dfrac{16}{5} \\)\n\n## Sposob 1 - geometria analityczna (symetralna + wektor podzialu odcinka)\n\n**Dane:** \\( A=(1,-1) \\), \\( B=(4,0) \\), trojkat \\( ABC \\) z \\( |CA|=|CB| \\) (rownoramienny, podstawa \\( AB \\)), jedno z ramion lezy na prostej \\( x+2y-4=0 \\). Punkt \\( M \\) na boku \\( AC \\), \\( |AM|:|MC|=1:4 \\). Szukamy okregu o srodku \\( M \\) przechodzacego przez \\( C \\).\n\n### Krok 1. Ustal, na ktorej prostej lezy ramie\n\nRamiona trojkata to boki \\( AC \\) i \\( BC \\) (bo podstawa to \\( AB \\), skoro \\( |CA|=|CB| \\)). Sprawdzam, czy \\( A \\) lub \\( B \\) lezy na prostej \\( x+2y-4=0 \\):\n\n\\[\nA:\\ 1+2\\cdot(-1)-4 = 1-2-4 = -5 \\neq 0,\n\\]\n\\[\nB:\\ 4+2\\cdot 0-4 = 0.\n\\]\n\nPunkt \\( B \\) spelnia rownanie, wiec to ramie \\( BC \\) zawiera sie w prostej \\( x+2y-4=0 \\). Punkt \\( C \\) tez na niej lezy.\n\n### Krok 2. Wyznacz symetralna odcinka \\( AB \\)\n\nSkoro \\( |CA|=|CB| \\), punkt \\( C \\) jest rownoodlegly od \\( A \\) i \\( B \\), czyli lezy na **symetralnej** odcinka \\( AB \\) (zbior punktow rownoodleglych od koncow odcinka).\n\nSrodek \\( AB \\):\n\\[\nS = \\left(\\frac{1+4}{2},\\ \\frac{-1+0}{2}\\right) = \\left(\\frac{5}{2},\\ -\\frac{1}{2}\\right).\n\\]\n\nWektor \\( \\vec{AB} = (4-1,\\ 0-(-1)) = (3,1) \\) jest wektorem normalnym symetralnej. Rownanie symetralnej:\n\\[\n3\\left(x-\\tfrac{5}{2}\\right) + 1\\left(y+\\tfrac{1}{2}\\right) = 0\n\\]\n\\[\n3x + y - \\frac{15}{2} + \\frac{1}{2} = 0 \\quad\\Longrightarrow\\quad 3x + y - 7 = 0.\n\\]\n\n### Krok 3. Wyznacz punkt \\( C \\) (przeciecie prostej ramienia z symetralna)\n\n\\( C \\) lezy na prostej \\( x+2y-4=0 \\) **oraz** na symetralnej \\( 3x+y-7=0 \\). Rozwiazuje uklad:\n\\[\n\\begin{cases} x+2y-4=0 \\\\ 3x+y-7=0 \\end{cases}\n\\]\n\nZ pierwszego: \\( x = 4-2y \\). Podstawiam do drugiego:\n\\[\n3(4-2y) + y - 7 = 0 \\ \\Rightarrow\\ 12 - 6y + y - 7 = 0 \\ \\Rightarrow\\ 5 - 5y = 0 \\ \\Rightarrow\\ y = 1.\n\\]\nStad \\( x = 4-2\\cdot 1 = 2 \\). Zatem\n\\[\n\\boxed{C = (2,\\ 1)}.\n\\]\n\n**Kontrola** (czy faktycznie \\( |CA|=|CB| \\)):\n\\[\n|CA|^2 = (2-1)^2+(1-(-1))^2 = 1+4 = 5, \\qquad |CB|^2 = (2-4)^2+(1-0)^2 = 4+1 = 5. \\ \\checkmark\n\\]\n\n### Krok 4. Wyznacz punkt \\( M \\) z podzialu \\( |AM|:|MC|=1:4 \\)\n\nPunkt \\( M \\) lezy na odcinku \\( AC \\), przy czym \\( |AM|:|MC| = 1:4 \\), wiec \\( M \\) dzieli \\( AC \\) tak, ze\n\\[\n\\vec{AM} = \\frac{1}{1+4}\\,\\vec{AC} = \\frac{1}{5}\\,\\vec{AC}.\n\\]\n\nWektor \\( \\vec{AC} = (2-1,\\ 1-(-1)) = (1,\\ 2) \\). Stad\n\\[\nM = A + \\frac{1}{5}\\vec{AC} = \\left(1+\\frac{1}{5}\\cdot 1,\\ \\ -1+\\frac{1}{5}\\cdot 2\\right) = \\left(\\frac{6}{5},\\ -\\frac{3}{5}\\right).\n\\]\n\n### Krok 5. Wyznacz promien okregu\n\nOkrag ma srodek \\( M \\) i przechodzi przez \\( C \\), wiec promien to \\( r = |MC| \\):\n\\[\nr^2 = (2 - \\tfrac{6}{5})^2 + (1 - (-\\tfrac{3}{5}))^2 = \\left(\\tfrac{4}{5}\\right)^2 + \\left(\\tfrac{8}{5}\\right)^2 = \\frac{16}{25} + \\frac{64}{25} = \\frac{80}{25} = \\frac{16}{5}.\n\\]\n\n(Mozna tez krocej: \\( r = |MC| = \\tfrac{4}{5}|AC| \\), wiec \\( r^2 = \\tfrac{16}{25}\\cdot|AC|^2 = \\tfrac{16}{25}\\cdot 5 = \\tfrac{16}{5} \\).)\n\n### Krok 6. Zapisz rownanie okregu\n\nKorzystam ze wzoru na **rownanie okregu** (Karta wzorow CKE EM2023, dzial „Geometria analityczna” - *Okrag*: \\( (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \\), srodek \\( (a,b) \\)):\n\\[\n\\boxed{\\left(x-\\frac{6}{5}\\right)^2 + \\left(y+\\frac{3}{5}\\right)^2 = \\frac{16}{5}}.\n\\]\n\n**Sprawdzenie:** podstawiam \\( C=(2,1) \\): \\( (2-\\tfrac65)^2+(1+\\tfrac35)^2 = (\\tfrac45)^2+(\\tfrac85)^2 = \\tfrac{16}{25}+\\tfrac{64}{25} = \\tfrac{80}{25} = \\tfrac{16}{5} \\). \\( \\checkmark \\) Punkt \\( C \\) lezy na okregu.\n\n## Typowe pulapki\n\n1. **Zle ramie.** Nie sprawdzajac, ktory wierzcholek lezy na prostej \\( x+2y-4=0 \\), latwo zalozyc, ze chodzi o ramie \\( AC \\). To na niej lezy \\( B \\) (i \\( C \\)), wiec ramieniem na prostej jest \\( BC \\). Punktu \\( C \\) szukamy jako przeciecia tej prostej z symetralna \\( AB \\) - nie odwrotnie.\n\n2. **Odwrocony stosunek podzialu.** Z \\( |AM|:|MC|=1:4 \\) wynika \\( \\vec{AM}=\\tfrac{1}{5}\\vec{AC} \\) (a nie \\( \\tfrac{1}{4} \\) ani \\( \\tfrac{4}{5} \\)). Mianownik to suma czesci \\( 1+4=5 \\), a licznik to czesc lezaca po stronie \\( A \\). Promieniem jest dluzszy kawalek \\( |MC|=\\tfrac{4}{5}|AC| \\), wiec \\( r^2=\\tfrac{16}{5} \\), a nie \\( \\tfrac{1}{5} \\).","image":"img/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/sol-9.svg","topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 9. (0-5)<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (1, -1) oraz 𝐵= (4, 0) są<br>wierzchołkami trójkąta 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐶𝐴| = |𝐶𝐵|. Jedno z ramion trójkąta 𝐴𝐵𝐶 zawiera<br>się w prostej o równaniu 𝑥+ 2𝑦-4 = 0. Na boku 𝐴𝐶 tego trójkąta obrano taki punkt 𝑀,<br>że |𝐴𝑀| ∶|𝑀𝐶| = 1 ∶4.<br>Wyznacz równanie okręgu, który ma środek w punkcie 𝑴 i przechodzi przez punkt 𝑪.<br>Zapisz obliczenia.<br>9.<br>0-1-<br>2-3-<br>4-5</p>\n<p>MMAP-R0_100</p>\n<p>MMAP-R0_100<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkty A = (1,-1) oraz B = (4,0) są wierzchołkami trójkąta ABC, w którym |CA|=|CB|. Jedno z ramion trójkąta ABC zawiera się w prostej o równaniu x+2y-4=0. Na boku AC tego trójkąta obrano taki punkt M , że |AM| : |MC| = 1 : 4. Wyznacz równanie okręgu, który ma środek w punkcie M i przechodzi przez punkt C. Zapisz obliczenia.</p>","answer_text_html":"<p>= 5</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-maj-matura-rozszerzona/sol-9.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedz: \\( \\left(x-\\dfrac{6}{5}\\right)^2 + \\left(y+\\dfrac{3}{5}\\right)^2 = \\dfrac{16}{5} \\)</h4>\n<h4>Sposob 1 - geometria analityczna (symetralna + wektor podzialu odcinka)</h4>\n<p><strong>Dane:</strong> \\( A=(1,-1) \\), \\( B=(4,0) \\), trojkat \\( ABC \\) z \\( |CA|=|CB| \\) (rownoramienny, podstawa \\( AB \\)), jedno z ramion lezy na prostej \\( x+2y-4=0 \\). Punkt \\( M \\) na boku \\( AC \\), \\( |AM|:|MC|=1:4 \\). Szukamy okregu o srodku \\( M \\) przechodzacego przez \\( C \\).</p>\n<h5>Krok 1. Ustal, na ktorej prostej lezy ramie</h5>\n<p>Ramiona trojkata to boki \\( AC \\) i \\( BC \\) (bo podstawa to \\( AB \\), skoro \\( |CA|=|CB| \\)). Sprawdzam, czy \\( A \\) lub \\( B \\) lezy na prostej \\( x+2y-4=0 \\):</p>\n<p>\\[<br>A:\\ 1+2\\cdot(-1)-4 = 1-2-4 = -5 \\neq 0,<br>\\]<br>\\[<br>B:\\ 4+2\\cdot 0-4 = 0.<br>\\]</p>\n<p>Punkt \\( B \\) spelnia rownanie, wiec to ramie \\( BC \\) zawiera sie w prostej \\( x+2y-4=0 \\). Punkt \\( C \\) tez na niej lezy.</p>\n<h5>Krok 2. Wyznacz symetralna odcinka \\( AB \\)</h5>\n<p>Skoro \\( |CA|=|CB| \\), punkt \\( C \\) jest rownoodlegly od \\( A \\) i \\( B \\), czyli lezy na <strong>symetralnej</strong> odcinka \\( AB \\) (zbior punktow rownoodleglych od koncow odcinka).</p>\n<p>Srodek \\( AB \\):<br>\\[<br>S = \\left(\\frac{1+4}{2},\\ \\frac{-1+0}{2}\\right) = \\left(\\frac{5}{2},\\ -\\frac{1}{2}\\right).<br>\\]</p>\n<p>Wektor \\( \\vec{AB} = (4-1,\\ 0-(-1)) = (3,1) \\) jest wektorem normalnym symetralnej. Rownanie symetralnej:<br>\\[<br>3\\left(x-\\tfrac{5}{2}\\right) + 1\\left(y+\\tfrac{1}{2}\\right) = 0<br>\\]<br>\\[<br>3x + y - \\frac{15}{2} + \\frac{1}{2} = 0 \\quad\\Longrightarrow\\quad 3x + y - 7 = 0.<br>\\]</p>\n<h5>Krok 3. Wyznacz punkt \\( C \\) (przeciecie prostej ramienia z symetralna)</h5>\n<p>\\( C \\) lezy na prostej \\( x+2y-4=0 \\) <strong>oraz</strong> na symetralnej \\( 3x+y-7=0 \\). Rozwiazuje uklad:<br>\\[<br>\\begin{cases} x+2y-4=0 \\\\ 3x+y-7=0 \\end{cases}<br>\\]</p>\n<p>Z pierwszego: \\( x = 4-2y \\). Podstawiam do drugiego:<br>\\[<br>3(4-2y) + y - 7 = 0 \\ \\Rightarrow\\ 12 - 6y + y - 7 = 0 \\ \\Rightarrow\\ 5 - 5y = 0 \\ \\Rightarrow\\ y = 1.<br>\\]<br>Stad \\( x = 4-2\\cdot 1 = 2 \\). Zatem<br>\\[<br>\\boxed{C = (2,\\ 1)}.<br>\\]</p>\n<p><strong>Kontrola</strong> (czy faktycznie \\( |CA|=|CB| \\)):<br>\\[<br>|CA|^2 = (2-1)^2+(1-(-1))^2 = 1+4 = 5, \\qquad |CB|^2 = (2-4)^2+(1-0)^2 = 4+1 = 5. \\ \\checkmark<br>\\]</p>\n<h5>Krok 4. Wyznacz punkt \\( M \\) z podzialu \\( |AM|:|MC|=1:4 \\)</h5>\n<p>Punkt \\( M \\) lezy na odcinku \\( AC \\), przy czym \\( |AM|:|MC| = 1:4 \\), wiec \\( M \\) dzieli \\( AC \\) tak, ze<br>\\[<br>\\vec{AM} = \\frac{1}{1+4}\\,\\vec{AC} = \\frac{1}{5}\\,\\vec{AC}.<br>\\]</p>\n<p>Wektor \\( \\vec{AC} = (2-1,\\ 1-(-1)) = (1,\\ 2) \\). Stad<br>\\[<br>M = A + \\frac{1}{5}\\vec{AC} = \\left(1+\\frac{1}{5}\\cdot 1,\\ \\ -1+\\frac{1}{5}\\cdot 2\\right) = \\left(\\frac{6}{5},\\ -\\frac{3}{5}\\right).<br>\\]</p>\n<h5>Krok 5. Wyznacz promien okregu</h5>\n<p>Okrag ma srodek \\( M \\) i przechodzi przez \\( C \\), wiec promien to \\( r = |MC| \\):<br>\\[<br>r^2 = (2 - \\tfrac{6}{5})^2 + (1 - (-\\tfrac{3}{5}))^2 = \\left(\\tfrac{4}{5}\\right)^2 + \\left(\\tfrac{8}{5}\\right)^2 = \\frac{16}{25} + \\frac{64}{25} = \\frac{80}{25} = \\frac{16}{5}.<br>\\]</p>\n<p>(Mozna tez krocej: \\( r = |MC| = \\tfrac{4}{5}|AC| \\), wiec \\( r^2 = \\tfrac{16}{25}\\cdot|AC|^2 = \\tfrac{16}{25}\\cdot 5 = \\tfrac{16}{5} \\).)</p>\n<h5>Krok 6. Zapisz rownanie okregu</h5>\n<p>Korzystam ze wzoru na <strong>rownanie okregu</strong> (Karta wzorow CKE EM2023, dzial „Geometria analityczna” - <em>Okrag</em>: \\( (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \\), srodek \\( (a,b) \\)):<br>\\[<br>\\boxed{\\left(x-\\frac{6}{5}\\right)^2 + \\left(y+\\frac{3}{5}\\right)^2 = \\frac{16}{5}}.<br>\\]</p>\n<p><strong>Sprawdzenie:</strong> podstawiam \\( C=(2,1) \\): \\( (2-\\tfrac65)^2+(1+\\tfrac35)^2 = (\\tfrac45)^2+(\\tfrac85)^2 = \\tfrac{16}{25}+\\tfrac{64}{25} = \\tfrac{80}{25} = \\tfrac{16}{5} \\). \\( \\checkmark \\) Punkt \\( C \\) lezy na okregu.</p>\n<h4>Typowe pulapki</h4>\n<ol><li><strong>Zle ramie.</strong> Nie sprawdzajac, ktory wierzcholek lezy na prostej \\( x+2y-4=0 \\), latwo zalozyc, ze chodzi o ramie \\( AC \\). To na niej lezy \\( B \\) (i \\( C \\)), wiec ramieniem na prostej jest \\( BC \\). Punktu \\( C \\) szukamy jako przeciecia tej prostej z symetralna \\( AB \\) - nie odwrotnie.</li></ol>\n<ol><li><strong>Odwrocony stosunek podzialu.</strong> Z \\( |AM|:|MC|=1:4 \\) wynika \\( \\vec{AM}=\\tfrac{1}{5}\\vec{AC} \\) (a nie \\( \\tfrac{1}{4} \\) ani \\( \\tfrac{4}{5} \\)). Mianownik to suma czesci \\( 1+4=5 \\), a licznik to czesc lezaca po stronie \\( A \\). Promieniem jest dluzszy kawalek \\( |MC|=\\tfrac{4}{5}|AC| \\), wiec \\( r^2=\\tfrac{16}{5} \\), a nie \\( \\tfrac{1}{5} \\).</li></ol>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Punkt C=(x_C,y_C) leży na prostej</p>\n<p>x+2y-4=0,</p>\n<p>więc jego druga współrzędna spełnia</p>\n<p>y_C=-(1)/(2)x_C+2.</p>\n<p>W trójkącie ABC zachodzi |CA|=|CB| . Zapisujemy równość kwadratów odległości punktu C od punktów A=(1,-1) i B=(4,0) :</p>\n<p>(1-x_C)^2+(-1-y_C)^2=(4-x_C)^2+(0-y_C)^2.</p>\n<p>Rozwijamy nawiasy i redukujemy wyrazy podobne:</p>\n<p>x_C^2-2x_C+1+y_C^2+2y_C+1=x_C^2-8x_C+16+y_C^2,</p>\n<p>6x_C+2y_C-14=0.</p>\n<p>Podstawiamy y_C=-(1)/(2)x_C+2 :</p>\n<p>6x_C+2 (-(1)/(2)x_C+2 )-14=0,</p>\n<p>5x_C-10=0, x_C=2, y_C=1.</p>\n<p>Zatem C=(2,1) . Punkt M dzieli odcinek AC w stosunku</p>\n<p>|AM|:|MC|=1:4.</p>\n<p>Oznacza to, że overrightarrow AM =(1)/(5)overrightarrow AC . Mamy</p>\n<p>overrightarrow AC =(2-1,1-(-1))=(1,2),</p>\n<p>M= (1+(1)/(5),-1+(2)/(5) )= ((6)/(5),-(3)/(5) ).</p>\n<p>Rysunek poglądowy do zadania 9<br>Promień okręgu jest równy |MC| :</p>\n<p>r^2= (2-(6)/(5) )^2+ (1+(3)/(5) )^2= ((4)/(5) )^2+ ((8)/(5) )^2=(16)/(5).</p>\n<p>Odpowiedź: (x-(6)/(5) )^2+ (y+(3)/(5) )^2=(16)/(5) .</p>"}]}