{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-2)\nRozwiąż nierówność\n3𝑥2 + 4𝑥≥6𝑥+ 8\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.5) rozwiązuje nierówności kwadratowe\nz jedną niewiadomą.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (-∞, -4\n3] ∪[2, +∞)\nALBO\n- zastosowanie poprawnej metody i przedstawienie zbioru rozwiązań nierówności\nw postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów, np.\n1 pkt - obliczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego 3𝑥2 -2𝑥-8:\n𝑥1 = -4\n3 oraz 𝑥2 = 2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Odpowiedź zdającego uznajemy za poprawną tylko wtedy, gdy można w sposób\njednoznaczny ustalić, czy przedziały zapisane przez zdającego są otwarte czy domknięte.\n2. Jeżeli zdający, obliczając pierwiastki trójmianu 3𝑥2 -2𝑥-8, popełni błędy (ale otrzyma\ndwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionych błędów zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego, gdy błędnie obliczony przez\nzdającego wyróżnik Δ jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający rozpatruje inny niż podany w zadaniu trójmian kwadratowy, który nie wynika\nz błędu przekształcenia (np. 3𝑥2 + 4𝑥), i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność (np.\n3𝑥2 + 4𝑥≥0), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n5. Jeżeli zdający poda zbiór rozwiązań w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów i jednocześnie zapisze niewłaściwy zbiór rozwiązań, np. 𝑥∈[-4\n3, 2]\nlub 𝑥∈(-∞, -4\n3) ∪(2, +∞), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n6. Jeżeli zdający podzieli obie strony nierówności przez dwumian 3𝑥+ 4 bez rozpatrywania\nznaku tego dwumianu, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n-4\n3\n2\n𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający spełni kryterium za 1 punkt, a następnie pomyli porządek liczb na osi liczbowej\nprzy zachowaniu poprawnych krańców przedziału, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nw postaci (-∞, 2] ∪[-4\n3 , +∞) lub w postaci (+∞, -4\n3] ∪[2, -∞), to otrzymuje\n2 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZapisujemy nierówność w postaci 3𝑥2 -2𝑥-8 ≥0 i obliczamy miejsca zerowe funkcji\nkwadratowej 𝑦= 3𝑥2 -2𝑥-8.\nObliczamy wyróżnik trójmianu 3𝑥2 -2𝑥-8:\nΔ = (-2)2 -4 ⋅3 ⋅(-8) = 100\nStąd:\n𝑥1 = -(-2) -√100\n2 ⋅3\n= -4\n3\n𝑥2 = -(-2) + √100\n2 ⋅3\n= 2\nSzkicujemy wykres funkcji kwadratowej 𝑦= 3𝑥2 -2𝑥-8.\nOdczytujemy argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości nieujemne.\nZbiorem rozwiązań nierówności jest (-∞, -4\n3] ∪[2, +∞).\n-4\n3\n2\n𝑥\nSposób II\nPrzekształcamy nierówność równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:\n3𝑥2 + 4𝑥≥6𝑥+ 8\n𝑥(3𝑥+ 4) ≥2(3𝑥+ 4)\n𝑥(3𝑥+ 4) -2(3𝑥+ 4) ≥0\n(3𝑥+ 4)(𝑥-2) ≥0\nObliczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej 𝑦= (3𝑥+ 4)(𝑥-2):\n(3𝑥+ 4)(𝑥-2) = 0\n3𝑥+ 4 = 0 lub 𝑥-2 = 0\n𝑥= -4\n3 lub 𝑥= 2\nMiejscami zerowymi funkcji 𝑦= (3𝑥+ 4)(𝑥-2) są liczby: 𝑥1 = -4\n3 , 𝑥2 = 2.\nSzkicujemy wykres funkcji kwadratowej 𝑦= (3𝑥+ 4)(𝑥-2).\nOdczytujemy argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości nieujemne.\nZbiorem rozwiązań nierówności jest (-∞, -4\n3] ∪[2, +∞).\nSposób III\nPrzekształcamy nierówność równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:\n3𝑥2 + 4𝑥≥6𝑥+ 8\n𝑥(3𝑥+ 4) ≥2(3𝑥+ 4)\n𝑥(3𝑥+ 4) -2(3𝑥+ 4) ≥0\n(3𝑥+ 4)(𝑥-2) ≥0\n-4\n3\n2\n𝑥\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nDla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑏 prawdziwa jest\nrównoważność:\n𝑎⋅𝑏≥0 wtedy i tylko wtedy, gdy (𝑎≤0 i 𝑏≤0) lub (𝑎≥0 i 𝑏≥0)\nPrzekształcamy nierówność (3𝑥+ 4)(𝑥-2) ≥0, na podstawie powyższej równoważności:\n(3𝑥+ 4 ≤0 i 𝑥-2 ≤0) lub (3𝑥+ 4 ≥0 i 𝑥-2 ≥0)\n(𝑥≤-4\n3 i 𝑥≤2) lub (𝑥≥-4\n3 i 𝑥≥2)\n𝑥∈(-∞, -4\n3] lub 𝑥∈[2, +∞)\nZatem zbiorem rozwiązań nierówności 3𝑥2 + 4𝑥≥6𝑥+ 8 jest (-∞, -4\n3] ∪[2, +∞).\nSposób IV\nPrzekształcamy nierówność równoważnie:\n3𝑥2 + 4𝑥≥6𝑥+ 8\n𝑥(3𝑥+ 4) ≥2(3𝑥+ 4)\nRozważmy trzy przypadki.\nPrzypadek 1. (gdy 3𝑥+ 4 = 0)\nRozwiązaniem równania 3𝑥+ 4 = 0 jest liczba (-4\n3).\nDla 𝑥= -4\n3 nierówność 𝑥(3𝑥+ 4) ≥2(3𝑥+ 4) jest prawdziwa.\nPrzypadek 2. (gdy 3𝑥+ 4 > 0)\nZbiorem rozwiązań nierówności 3𝑥+ 4 > 0 jest przedział (-4\n3 , +∞).\nDzielimy stronami nierówność 𝑥(3𝑥+ 4) ≥2(3𝑥+ 4) przez dwumian 3𝑥+ 4\ni otrzymujemy 𝑥≥2.\nZatem 𝑥∈(-4\n3 , +∞) i 𝑥∈[2, +∞). Stąd otrzymujemy 𝑥∈[2, +∞).\nPrzypadek 3. (gdy 3𝑥+ 4 < 0)\nZbiorem rozwiązań nierówności 3𝑥+ 4 < 0 jest przedział (-∞, -4\n3).\nDzielimy stronami nierówność 𝑥(3𝑥+ 4) ≥2(3𝑥+ 4) przez dwumian 3𝑥+ 4\ni otrzymujemy 𝑥≤2.\nZatem 𝑥∈(-∞, -4\n3) i 𝑥∈(-∞, 2]. Stąd otrzymujemy 𝑥∈(-∞, -4\n3).\nZatem zbiorem rozwiązań nierówności 3𝑥2 + 4𝑥≥6𝑥+ 8 jest\n{-4\n3} ∪[2, +∞) ∪(-∞, -4\n3), czyli (-∞, -4\n3] ∪[2, +∞).","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 26. (0-2)
Rozwiąż nierówność
3𝑥2 + 4𝑥≥6𝑥+ 8

\n

EMAP-P0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 26. (0-2)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
Zdający:
3.5) rozwiązuje nierówności kwadratowe
z jedną niewiadomą.
Zasady oceniania
2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (-∞, -4
3] ∪[2, +∞)
ALBO

\n\n

w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów, np.
1 pkt - obliczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego 3𝑥2 -2𝑥-8:
𝑥1 = -4
3 oraz 𝑥2 = 2.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Odpowiedź zdającego uznajemy za poprawną tylko wtedy, gdy można w sposób
\n

jednoznaczny ustalić, czy przedziały zapisane przez zdającego są otwarte czy domknięte.

\n
  1. Jeżeli zdający, obliczając pierwiastki trójmianu 3𝑥2 -2𝑥-8, popełni błędy (ale otrzyma
\n

dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionych błędów zapisze zbiór rozwiązań
nierówności, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego, gdy błędnie obliczony przez
\n

zdającego wyróżnik Δ jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający rozpatruje inny niż podany w zadaniu trójmian kwadratowy, który nie wynika
\n

z błędu przekształcenia (np. 3𝑥2 + 4𝑥), i w konsekwencji rozpatruje inną nierówność (np.
3𝑥2 + 4𝑥≥0), to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający poda zbiór rozwiązań w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi
\n

końcami przedziałów i jednocześnie zapisze niewłaściwy zbiór rozwiązań, np. 𝑥∈[-4
3, 2]
lub 𝑥∈(-∞, -4

\n
  1. ∪(2, +∞), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
  2. Jeżeli zdający podzieli obie strony nierówności przez dwumian 3𝑥+ 4 bez rozpatrywania
\n

znaku tego dwumianu, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
-4
3
2
𝑥
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
Jeśli zdający spełni kryterium za 1 punkt, a następnie pomyli porządek liczb na osi liczbowej
przy zachowaniu poprawnych krańców przedziału, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności
w postaci (-∞, 2] ∪[-4
3 , +∞) lub w postaci (+∞, -4
3] ∪[2, -∞), to otrzymuje
2 punkty.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Zapisujemy nierówność w postaci 3𝑥2 -2𝑥-8 ≥0 i obliczamy miejsca zerowe funkcji
kwadratowej 𝑦= 3𝑥2 -2𝑥-8.
Obliczamy wyróżnik trójmianu 3𝑥2 -2𝑥-8:
Δ = (-2)2 -4 ⋅3 ⋅(-8) = 100
Stąd:
𝑥1 = -(-2) -√100
2 ⋅3
= -4
3
𝑥2 = -(-2) + √100
2 ⋅3
= 2
Szkicujemy wykres funkcji kwadratowej 𝑦= 3𝑥2 -2𝑥-8.
Odczytujemy argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości nieujemne.
Zbiorem rozwiązań nierówności jest (-∞, -4
3] ∪[2, +∞).
-4
3
2
𝑥
Sposób II
Przekształcamy nierówność równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:
3𝑥2 + 4𝑥≥6𝑥+ 8
𝑥(3𝑥+ 4) ≥2(3𝑥+ 4)
𝑥(3𝑥+ 4) -2(3𝑥+ 4) ≥0
(3𝑥+ 4)(𝑥-2) ≥0
Obliczamy miejsca zerowe funkcji kwadratowej 𝑦= (3𝑥+ 4)(𝑥-2):
(3𝑥+ 4)(𝑥-2) = 0
3𝑥+ 4 = 0 lub 𝑥-2 = 0
𝑥= -4
3 lub 𝑥= 2
Miejscami zerowymi funkcji 𝑦= (3𝑥+ 4)(𝑥-2) są liczby: 𝑥1 = -4
3 , 𝑥2 = 2.
Szkicujemy wykres funkcji kwadratowej 𝑦= (3𝑥+ 4)(𝑥-2).
Odczytujemy argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości nieujemne.
Zbiorem rozwiązań nierówności jest (-∞, -4
3] ∪[2, +∞).
Sposób III
Przekształcamy nierówność równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:
3𝑥2 + 4𝑥≥6𝑥+ 8
𝑥(3𝑥+ 4) ≥2(3𝑥+ 4)
𝑥(3𝑥+ 4) -2(3𝑥+ 4) ≥0
(3𝑥+ 4)(𝑥-2) ≥0
-4
3
2
𝑥
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑏 prawdziwa jest
równoważność:
𝑎⋅𝑏≥0 wtedy i tylko wtedy, gdy (𝑎≤0 i 𝑏≤0) lub (𝑎≥0 i 𝑏≥0)
Przekształcamy nierówność (3𝑥+ 4)(𝑥-2) ≥0, na podstawie powyższej równoważności:
(3𝑥+ 4 ≤0 i 𝑥-2 ≤0) lub (3𝑥+ 4 ≥0 i 𝑥-2 ≥0)
(𝑥≤-4
3 i 𝑥≤2) lub (𝑥≥-4
3 i 𝑥≥2)
𝑥∈(-∞, -4
3] lub 𝑥∈[2, +∞)
Zatem zbiorem rozwiązań nierówności 3𝑥2 + 4𝑥≥6𝑥+ 8 jest (-∞, -4
3] ∪[2, +∞).
Sposób IV
Przekształcamy nierówność równoważnie:
3𝑥2 + 4𝑥≥6𝑥+ 8
𝑥(3𝑥+ 4) ≥2(3𝑥+ 4)
Rozważmy trzy przypadki.
Przypadek 1. (gdy 3𝑥+ 4 = 0)
Rozwiązaniem równania 3𝑥+ 4 = 0 jest liczba (-4
3).
Dla 𝑥= -4
3 nierówność 𝑥(3𝑥+ 4) ≥2(3𝑥+ 4) jest prawdziwa.
Przypadek 2. (gdy 3𝑥+ 4 > 0)
Zbiorem rozwiązań nierówności 3𝑥+ 4 > 0 jest przedział (-4
3 , +∞).
Dzielimy stronami nierówność 𝑥(3𝑥+ 4) ≥2(3𝑥+ 4) przez dwumian 3𝑥+ 4
i otrzymujemy 𝑥≥2.
Zatem 𝑥∈(-4
3 , +∞) i 𝑥∈[2, +∞). Stąd otrzymujemy 𝑥∈[2, +∞).
Przypadek 3. (gdy 3𝑥+ 4 < 0)
Zbiorem rozwiązań nierówności 3𝑥+ 4 < 0 jest przedział (-∞, -4
3).
Dzielimy stronami nierówność 𝑥(3𝑥+ 4) ≥2(3𝑥+ 4) przez dwumian 3𝑥+ 4
i otrzymujemy 𝑥≤2.
Zatem 𝑥∈(-∞, -4

\n
  1. i 𝑥∈(-∞, 2]. Stąd otrzymujemy 𝑥∈(-∞, -4
\n

3).
Zatem zbiorem rozwiązań nierówności 3𝑥2 + 4𝑥≥6𝑥+ 8 jest
{-4
3} ∪[2, +∞) ∪(-∞, -4
3), czyli (-∞, -4
3] ∪[2, +∞).

","solutions":[]}