{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑏 prawdziwa\njest nierówność\n𝑎(𝑎-𝑏) ≥𝑏(𝑎-3𝑏)\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n2.1) używa wzorów skróconego mnożenia\nna (𝑎± 𝑏)2 oraz 𝑎2 -𝑏2.\nZasady oceniania\n2 pkt - przekształcenie nierówności 𝑎(𝑎-𝑏) ≥𝑏(𝑎-3𝑏) do postaci (𝑎-𝑏)2 + 2𝑏2 ≥0\noraz stwierdzenie, że suma (𝑎-𝑏)2 + 2𝑏2 jest liczbą nieujemną jako suma dwóch\nliczb nieujemnych\nALBO\n- obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 𝑎2 -2𝑏𝑎+ 3𝑏2 zmiennej 𝑎 oraz\nuzasadnienie, że jest on niedodatni,\nALBO\n- obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 3𝑏2 -2𝑎𝑏+ 𝑎2 zmiennej 𝑏 oraz\nuzasadnienie, że jest on niedodatni.\n1 pkt - przekształcenie nierówności 𝑎(𝑎-𝑏) ≥𝑏(𝑎-3𝑏) do postaci (𝑎-𝑏)2 + 2𝑏2 ≥0\nALBO\n- obliczenie wyróżnika Δ trójmianu kwadratowego 𝑎2 -2𝑏𝑎+ 3𝑏2 zmiennej 𝑎:\nΔ = -8𝑏2,\nALBO\n- obliczenie wyróżnika Δ trójmianu kwadratowego 3𝑏2 -2𝑎𝑏+ 𝑎2 zmiennej 𝑏:\nΔ = -8𝑎2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeśli zdający sprawdza prawdziwość nierówności tylko dla wybranych wartości 𝑎 i 𝑏, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy nierówność 𝑎(𝑎-𝑏) ≥𝑏(𝑎-3𝑏) w sposób równoważny:\n𝑎2 -𝑎𝑏≥𝑎𝑏-3𝑏2\n𝑎2 -2𝑎𝑏+ 3𝑏2 ≥0\n𝑎2 -2𝑎𝑏+ 𝑏2 + 2𝑏2 ≥0\n(𝑎-𝑏)2 + 2𝑏2 ≥0\nLiczby (𝑎-𝑏)2 oraz 2𝑏2 są nieujemne, zatem suma (𝑎-𝑏)2 + 2𝑏2 jest również liczbą\nnieujemną. To należało wykazać.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób II (trójmian kwadratowy zmiennej 𝑎 z parametrem 𝑏)\nPrzekształcamy równoważnie nierówność 𝑎(𝑎-𝑏) ≥𝑏(𝑎-3𝑏) i otrzymujemy:\n𝑎2 -2𝑏𝑎+ 3𝑏2 ≥0\nWyrażenie 𝑎2 -2𝑏𝑎+ 3𝑏2 traktujemy jako trójmian kwadratowy zmiennej 𝑎.\nObliczamy wyróżnik Δ trójmianu:\nΔ = (-2𝑏)2 -4 ⋅1 ⋅3𝑏2\nΔ = 4𝑏2 -12𝑏2\nΔ = -8𝑏2 ≤0\nObliczony wyróżnik trójmianu kwadratowego jest niedodatni dla każdej liczby rzeczywistej 𝑏.\nZatem funkcja kwadratowa 𝑓(𝑎) = 𝑎2 -2𝑏𝑎+ 3𝑏2 zmiennej 𝑎 ma co najwyżej jedno\nmiejsce zerowe, a ponieważ współczynnik przy drugiej potędze zmiennej jest dodatni, więc\nżaden fragment wykresu funkcji 𝑓 nie leży poniżej osi odciętych. Zatem funkcja 𝑓\nprzyjmuje wartości nieujemne dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎.\nOznacza to, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑏\nnierówność 𝑎2 -2𝑏𝑎+ 3𝑏2 ≥0 jest prawdziwa.\nZatem nierówność 𝑎(𝑎-𝑏) ≥𝑏(𝑎-3𝑏) również jest prawdziwa dla każdej liczby\nrzeczywistej 𝑎 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑏. To należało wykazać.","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":23,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 27. (0-2)<br>Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑏 prawdziwa<br>jest nierówność<br>𝑎(𝑎-𝑏) ≥𝑏(𝑎-3𝑏)</p>\n<p>EMAP-P0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 27. (0-2)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>V. Rozumowanie i argumentacja.<br>Zdający:<br>2.1) używa wzorów skróconego mnożenia<br>na (𝑎± 𝑏)2 oraz 𝑎2 -𝑏2.<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - przekształcenie nierówności 𝑎(𝑎-𝑏) ≥𝑏(𝑎-3𝑏) do postaci (𝑎-𝑏)2 + 2𝑏2 ≥0<br>oraz stwierdzenie, że suma (𝑎-𝑏)2 + 2𝑏2 jest liczbą nieujemną jako suma dwóch<br>liczb nieujemnych<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 𝑎2 -2𝑏𝑎+ 3𝑏2 zmiennej 𝑎 oraz</li></ul>\n<p>uzasadnienie, że jest on niedodatni,<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 3𝑏2 -2𝑎𝑏+ 𝑎2 zmiennej 𝑏 oraz</li></ul>\n<p>uzasadnienie, że jest on niedodatni.<br>1 pkt - przekształcenie nierówności 𝑎(𝑎-𝑏) ≥𝑏(𝑎-3𝑏) do postaci (𝑎-𝑏)2 + 2𝑏2 ≥0<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie wyróżnika Δ trójmianu kwadratowego 𝑎2 -2𝑏𝑎+ 3𝑏2 zmiennej 𝑎:</li></ul>\n<p>Δ = -8𝑏2,<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie wyróżnika Δ trójmianu kwadratowego 3𝑏2 -2𝑎𝑏+ 𝑎2 zmiennej 𝑏:</li></ul>\n<p>Δ = -8𝑎2.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwaga:<br>Jeśli zdający sprawdza prawdziwość nierówności tylko dla wybranych wartości 𝑎 i 𝑏, to<br>otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Przekształcamy nierówność 𝑎(𝑎-𝑏) ≥𝑏(𝑎-3𝑏) w sposób równoważny:<br>𝑎2 -𝑎𝑏≥𝑎𝑏-3𝑏2<br>𝑎2 -2𝑎𝑏+ 3𝑏2 ≥0<br>𝑎2 -2𝑎𝑏+ 𝑏2 + 2𝑏2 ≥0<br>(𝑎-𝑏)2 + 2𝑏2 ≥0<br>Liczby (𝑎-𝑏)2 oraz 2𝑏2 są nieujemne, zatem suma (𝑎-𝑏)2 + 2𝑏2 jest również liczbą<br>nieujemną. To należało wykazać.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Sposób II (trójmian kwadratowy zmiennej 𝑎 z parametrem 𝑏)<br>Przekształcamy równoważnie nierówność 𝑎(𝑎-𝑏) ≥𝑏(𝑎-3𝑏) i otrzymujemy:<br>𝑎2 -2𝑏𝑎+ 3𝑏2 ≥0<br>Wyrażenie 𝑎2 -2𝑏𝑎+ 3𝑏2 traktujemy jako trójmian kwadratowy zmiennej 𝑎.<br>Obliczamy wyróżnik Δ trójmianu:<br>Δ = (-2𝑏)2 -4 ⋅1 ⋅3𝑏2<br>Δ = 4𝑏2 -12𝑏2<br>Δ = -8𝑏2 ≤0<br>Obliczony wyróżnik trójmianu kwadratowego jest niedodatni dla każdej liczby rzeczywistej 𝑏.<br>Zatem funkcja kwadratowa 𝑓(𝑎) = 𝑎2 -2𝑏𝑎+ 3𝑏2 zmiennej 𝑎 ma co najwyżej jedno<br>miejsce zerowe, a ponieważ współczynnik przy drugiej potędze zmiennej jest dodatni, więc<br>żaden fragment wykresu funkcji 𝑓 nie leży poniżej osi odciętych. Zatem funkcja 𝑓<br>przyjmuje wartości nieujemne dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎.<br>Oznacza to, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑏<br>nierówność 𝑎2 -2𝑏𝑎+ 3𝑏2 ≥0 jest prawdziwa.<br>Zatem nierówność 𝑎(𝑎-𝑏) ≥𝑏(𝑎-3𝑏) również jest prawdziwa dla każdej liczby<br>rzeczywistej 𝑎 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑏. To należało wykazać.</p>","solutions":[]}