{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa","number":"28","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-2)\nNa przedstawienie w pewnym teatrze sprzedawano bilety według poniższego cennika.\nCENNIK BILETÓW\nRodzaj biletu\nCena w złotych\nNormalny\n35\nUlgowy\n25\nNa to przedstawienie sprzedano łącznie 200 biletów.\nPo opłaceniu kosztów związanych z organizacją przedstawienia w wysokości 25% wpływów\nze sprzedaży biletów organizatorom pozostało 4665 zł.\nOblicz liczbę biletów ulgowych sprzedanych na to przedstawienie.\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 28. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\nG7.7) za pomocą równań lub układów\nrównań opisuje i rozwiązuje zadania\nosadzone w kontekście praktycznym.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 78.\n1 pkt - zapisanie układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi pozwalającego obliczyć\nliczbę biletów ulgowych i liczbę biletów normalnych sprzedanych na przedstawienie,\nnp.\n𝑥+ 𝑦= 200 oraz 0,75 ⋅(35𝑥+ 25𝑦) = 4665\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć liczbę biletów\nulgowych sprzedanych na przedstawienie, np.\n35(200 -𝑦) + 25𝑦= 4665\n0,75 ,\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć liczbę biletów\nnormalnych sprzedanych na przedstawienie, np.\n35𝑥+ 25(200 -𝑥) = 4665\n0,75 ,\nALBO\n- zapisanie różnicy 4665\n0,75 -25 ⋅200 oraz zapisanie różnicy 35 -25,\nALBO\n- zapisanie różnicy 35 ⋅200 -4665\n0,75 oraz zapisanie różnicy 35 -25,\nALBO\n- zapisanie różnicy 4665\n0,75 -(25 ⋅100 + 35 ⋅100) oraz zapisanie różnicy 35 -25.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający sprawdza warunki zadania dla wybranych par liczb 𝑥 oraz 𝑦 i wskaże\nwłaściwą odpowiedź, ale nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie zadania, to otrzymuje\n1 punkt za całe rozwiązanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nOznaczmy:\n𝑥 - liczba biletów normalnych sprzedanych na przedstawienie,\n𝑦 - liczba biletów ulgowych sprzedanych na przedstawienie.\nPo uwzględnieniu warunków zadania otrzymujemy:\n𝑥+ 𝑦= 200 oraz 0,75 ⋅(35𝑥+ 25𝑦) = 4665\nZ pierwszego z tych równań wyznaczamy 𝑥= 200 -𝑦 i podstawiamy w miejsce 𝑥 do\ndrugiego z równań, w wyniku czego otrzymujemy:\n0,75 ⋅[35(200 -𝑦) + 25𝑦] = 4665 /∶0,75\n35(200 -𝑦) + 25𝑦= 6220\n7000 -35𝑦+ 25𝑦= 6220\n-10𝑦= -780\n𝑦= 78\nNa przedstawienie sprzedano 78 biletów ulgowych.\nSposób II\nPrzychód organizatorów ze sprzedaży biletów jest równy:\n4665\n0,75 = 6220\nGdyby organizatorzy sprzedali wszystkie bilety po 35 złotych, to uzyskaliby przychód\nw wysokości 35 ⋅200 = 7000 złotych, a więc o 7000 -6220 = 780 złotych więcej niż\nw rzeczywistości.\nBilet normalny kosztuje o 10 złotych więcej niż bilet ulgowy.\nZatem organizatorzy sprzedali 780 ∶10 = 78 biletów ulgowych.\nUwaga.\nMetodę zaprezentowaną w sposobie II można wykorzystać również dla dowolnej konfiguracji\nliczby biletów ulgowych i normalnych dających łącznie 200 biletów; np. gdyby organizatorzy\nsprzedali 30 biletów normalnych i 170 biletów ulgowych, to uzyskaliby przychód\nw wysokości 30 ⋅35 + 170 ⋅25 = 5300 złotych, a więc o 6220 -5300 = 920 złotych\nmniej niż w rzeczywistości.\nBilet normalny kosztuje o 10 złotych więcej niż bilet ulgowy.\nZatem organizatorzy w rzeczywistości sprzedali o 920 ∶10 = 92 bilety ulgowe mniej -\na więc sprzedali 170 -92 = 78 biletów ulgowych.","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 28. (0-2)
Na przedstawienie w pewnym teatrze sprzedawano bilety według poniższego cennika.
CENNIK BILETÓW
Rodzaj biletu
Cena w złotych
Normalny
35
Ulgowy
25
Na to przedstawienie sprzedano łącznie 200 biletów.
Po opłaceniu kosztów związanych z organizacją przedstawienia w wysokości 25% wpływów
ze sprzedaży biletów organizatorom pozostało 4665 zł.
Oblicz liczbę biletów ulgowych sprzedanych na to przedstawienie.

\n

EMAP-P0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 28. (0-2)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Modelowanie matematyczne.
Zdający:
G7.7) za pomocą równań lub układów
równań opisuje i rozwiązuje zadania
osadzone w kontekście praktycznym.
Zasady oceniania
2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 78.
1 pkt - zapisanie układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi pozwalającego obliczyć
liczbę biletów ulgowych i liczbę biletów normalnych sprzedanych na przedstawienie,
np.
𝑥+ 𝑦= 200 oraz 0,75 ⋅(35𝑥+ 25𝑦) = 4665
ALBO

\n\n

ulgowych sprzedanych na przedstawienie, np.
35(200 -𝑦) + 25𝑦= 4665
0,75 ,
ALBO

\n\n

normalnych sprzedanych na przedstawienie, np.
35𝑥+ 25(200 -𝑥) = 4665
0,75 ,
ALBO

\n\n

0,75 -25 ⋅200 oraz zapisanie różnicy 35 -25,
ALBO

\n\n

0,75 oraz zapisanie różnicy 35 -25,
ALBO

\n\n

0,75 -(25 ⋅100 + 35 ⋅100) oraz zapisanie różnicy 35 -25.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeżeli zdający sprawdza warunki zadania dla wybranych par liczb 𝑥 oraz 𝑦 i wskaże
właściwą odpowiedź, ale nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie zadania, to otrzymuje
1 punkt za całe rozwiązanie.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Oznaczmy:
𝑥 - liczba biletów normalnych sprzedanych na przedstawienie,
𝑦 - liczba biletów ulgowych sprzedanych na przedstawienie.
Po uwzględnieniu warunków zadania otrzymujemy:
𝑥+ 𝑦= 200 oraz 0,75 ⋅(35𝑥+ 25𝑦) = 4665
Z pierwszego z tych równań wyznaczamy 𝑥= 200 -𝑦 i podstawiamy w miejsce 𝑥 do
drugiego z równań, w wyniku czego otrzymujemy:
0,75 ⋅[35(200 -𝑦) + 25𝑦] = 4665 /∶0,75
35(200 -𝑦) + 25𝑦= 6220
7000 -35𝑦+ 25𝑦= 6220
-10𝑦= -780
𝑦= 78
Na przedstawienie sprzedano 78 biletów ulgowych.
Sposób II
Przychód organizatorów ze sprzedaży biletów jest równy:
4665
0,75 = 6220
Gdyby organizatorzy sprzedali wszystkie bilety po 35 złotych, to uzyskaliby przychód
w wysokości 35 ⋅200 = 7000 złotych, a więc o 7000 -6220 = 780 złotych więcej niż
w rzeczywistości.
Bilet normalny kosztuje o 10 złotych więcej niż bilet ulgowy.
Zatem organizatorzy sprzedali 780 ∶10 = 78 biletów ulgowych.
Uwaga.
Metodę zaprezentowaną w sposobie II można wykorzystać również dla dowolnej konfiguracji
liczby biletów ulgowych i normalnych dających łącznie 200 biletów; np. gdyby organizatorzy
sprzedali 30 biletów normalnych i 170 biletów ulgowych, to uzyskaliby przychód
w wysokości 30 ⋅35 + 170 ⋅25 = 5300 złotych, a więc o 6220 -5300 = 920 złotych
mniej niż w rzeczywistości.
Bilet normalny kosztuje o 10 złotych więcej niż bilet ulgowy.
Zatem organizatorzy w rzeczywistości sprzedali o 920 ∶10 = 92 bilety ulgowe mniej -
a więc sprzedali 170 -92 = 78 biletów ulgowych.

","solutions":[]}