{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2)\nDany jest trójkąt 𝐾𝐿𝑀, w którym |𝐾𝑀| = 𝑎 oraz |𝐿𝑀| = 𝑏.\nDwusieczna kąta 𝐿𝑀𝐾 przecina bok 𝐾𝐿 w punkcie 𝑁 (zobacz rysunek).\nWykaż, że stosunek pola trójkąta 𝐾𝑁𝑀 do pola trójkąta 𝑁𝐿𝑀 jest równy 𝑎\n𝑏 .\n𝑎\n𝑀\n𝑏\n𝐾\n𝐿\n𝑁\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 29. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n7.4) korzysta z własności funkcji\ntrygonometrycznych w łatwych obliczeniach\ngeometrycznych, w tym ze wzoru na pole\ntrójkąta ostrokątnego o danych dwóch\nbokach i kącie między nimi.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n1 pkt - zapisanie pola trójkąta 𝐾𝑁𝑀 w postaci 𝑃𝐾𝑁𝑀= 1\n2 ⋅𝑎⋅|𝑀𝑁| ⋅sin 𝛼 oraz zapisanie\npola trójkąta 𝑁𝐿𝑀 w postaci 𝑃𝑁𝐿𝑀= 1\n2 ⋅𝑏⋅|𝑀𝑁| ⋅sin 𝛼\nALBO\n- uzasadnienie, że wysokości trójkątów 𝐾𝑁𝑀 i 𝑁𝐿𝑀 poprowadzone\nz wierzchołka 𝑁 są równe,\nALBO\n- zapisanie pola trójkąta 𝐾𝑁𝑀 w postaci 𝑃𝐾𝑁𝑀= 1\n2 ⋅|𝐾𝑁| ⋅ℎ oraz zapisanie pola\ntrójkąta 𝑁𝐿𝑀 w postaci 𝑃𝑁𝐿𝑀= 1\n2 ⋅|𝑁𝐿| ⋅ℎ,\nALBO\n- zapisanie związku\n|𝐾𝑁|\n|𝑁𝐿| = 𝑎\n𝑏 ,\nALBO\n- zapisanie związku 𝑃𝐾𝑁𝑀\n𝑃𝑁𝐿𝑀\n|𝐾𝑁|\n|𝑁𝐿| .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. a) Jeżeli zdający zapisze 𝑃𝐾𝑁𝑀\n𝑃𝑁𝐿𝑀\n1\n2𝑎ℎ\n1\n2𝑏ℎ= 𝑎\n𝑏 i w rozwiązaniu nie określa, że ℎ\nreprezentuje wysokości trójkątów 𝐾𝑁𝑀 i 𝑁𝐿𝑀 poprowadzone z wierzchołka 𝑁, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nb) Jeżeli zdający zapisze 𝑃𝐾𝑁𝑀\n𝑃𝑁𝐿𝑀\n1\n2𝑎ℎ\n1\n2𝑏ℎ= 𝑎\n𝑏 i w rozwiązaniu określa (np. na rysunku), że\nℎ reprezentuje wysokości trójkątów 𝐾𝑁𝑀 i 𝑁𝐿𝑀 poprowadzone z wierzchołka 𝑁,\nale nie uzasadnia równości tych wysokości, to może otrzymać 1 punkt za całe\nrozwiązanie, o ile nie popełnił innych błędów.\n2. Jeżeli zdający przyjmuje konkretną wartość kąta, np. |∡𝐿𝑀𝐾| = 90°, i na tym opiera\nswoje rozumowanie, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzyjmijmy następujące oznaczenie: |∡𝐿𝑀𝐾| = 2𝛼.\nOdcinek 𝑀𝑁 zawiera się w dwusiecznej kąta 𝐿𝑀𝐾, więc |∡𝑁𝑀𝐾| = 𝛼 oraz |∡𝐿𝑀𝑁| = 𝛼.\nStosujemy wzór na pole trójkąta w zależności od długości dwóch boków i sinusa kąta między\ntymi bokami i otrzymujemy:\n𝑃𝐾𝑁𝑀= 1\n2 ⋅𝑎⋅|𝑀𝑁| ⋅sin 𝛼\n𝑃𝑁𝐿𝑀= 1\n2 ⋅𝑏⋅|𝑀𝑁| ⋅sin 𝛼\nZatem:\n𝑃𝐾𝑁𝑀\n𝑃𝑁𝐿𝑀\n1\n2 ⋅𝑎⋅|𝑀𝑁| ⋅sin 𝛼\n1\n2 ⋅𝑏⋅|𝑀𝑁| ⋅sin 𝛼\n= 𝑎\n𝑏\nTo należało wykazać.\nSposób II\nDwusieczna kąta jest zbiorem punktów równoodległych od ramion tego kąta. Punkt 𝑁 leży\nna dwusiecznej kąta 𝐿𝑀𝐾. Oznacza to, że odległości punktu 𝑁 od półprostych 𝑀𝐾 i 𝑀𝐿\nsą równe. Zatem wysokości trójkątów 𝐾𝑁𝑀 i 𝑁𝐿𝑀 poprowadzone z wierzchołka 𝑁 są\nrówne. Oznaczmy tę wysokość przez 𝑑 (zobacz rysunek).\nWtedy:\n𝑃𝐾𝑁𝑀\n𝑃𝑁𝐿𝑀\n1\n2 ⋅𝑎⋅𝑑\n1\n2 ⋅𝑏⋅𝑑\n= 𝑎\n𝑏\nTo należało wykazać.\n𝑎\n𝑀\n𝑏\n𝐾\n𝐿\n𝑁\n𝑑\n𝑑\nSposób III\nTrójkąty 𝐾𝑁𝑀 i 𝑁𝐿𝑀 mają wspólną wysokość ℎ poprowadzoną z wierzchołka 𝑀, więc\nstosunek pól tych trójkątów jest równy:\n𝑃𝐾𝑁𝑀\n𝑃𝑁𝐿𝑀\n1\n2 ⋅|𝐾𝑁| ⋅ℎ\n1\n2 ⋅|𝑁𝐿| ⋅ℎ\n= |𝐾𝑁|\n|𝑁𝐿|\nZ twierdzenia o dwusiecznej zastosowanego w trójkącie 𝐾𝐿𝑀 otrzymujemy:\n|𝐾𝑁|\n|𝑁𝐿| = 𝑎\n𝑏\nZatem:\n𝑃𝐾𝑁𝑀\n𝑃𝑁𝐿𝑀\n|𝐾𝑁|\n|𝑁𝐿| = 𝑎\n𝑏\nTo należało wykazać.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 29. (0-2)<br>Dany jest trójkąt 𝐾𝐿𝑀, w którym |𝐾𝑀| = 𝑎 oraz |𝐿𝑀| = 𝑏.<br>Dwusieczna kąta 𝐿𝑀𝐾 przecina bok 𝐾𝐿 w punkcie 𝑁 (zobacz rysunek).<br>Wykaż, że stosunek pola trójkąta 𝐾𝑁𝑀 do pola trójkąta 𝑁𝐿𝑀 jest równy 𝑎<br>𝑏 .<br>𝑎<br>𝑀<br>𝑏<br>𝐾<br>𝐿<br>𝑁</p>\n<p>EMAP-P0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 29. (0-2)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>V. Rozumowanie i argumentacja.<br>Zdający:<br>7.4) korzysta z własności funkcji<br>trygonometrycznych w łatwych obliczeniach<br>geometrycznych, w tym ze wzoru na pole<br>trójkąta ostrokątnego o danych dwóch<br>bokach i kącie między nimi.<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i przeprowadzenie pełnego rozumowania.<br>1 pkt - zapisanie pola trójkąta 𝐾𝑁𝑀 w postaci 𝑃𝐾𝑁𝑀= 1<br>2 ⋅𝑎⋅|𝑀𝑁| ⋅sin 𝛼 oraz zapisanie<br>pola trójkąta 𝑁𝐿𝑀 w postaci 𝑃𝑁𝐿𝑀= 1<br>2 ⋅𝑏⋅|𝑀𝑁| ⋅sin 𝛼<br>ALBO</p>\n<ul><li>uzasadnienie, że wysokości trójkątów 𝐾𝑁𝑀 i 𝑁𝐿𝑀 poprowadzone</li></ul>\n<p>z wierzchołka 𝑁 są równe,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie pola trójkąta 𝐾𝑁𝑀 w postaci 𝑃𝐾𝑁𝑀= 1</li></ul>\n<p>2 ⋅|𝐾𝑁| ⋅ℎ oraz zapisanie pola<br>trójkąta 𝑁𝐿𝑀 w postaci 𝑃𝑁𝐿𝑀= 1<br>2 ⋅|𝑁𝐿| ⋅ℎ,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie związku</li></ul>\n<p>|𝐾𝑁|<br>|𝑁𝐿| = 𝑎<br>𝑏 ,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie związku 𝑃𝐾𝑁𝑀</li></ul>\n<p>𝑃𝑁𝐿𝑀<br>|𝐾𝑁|<br>|𝑁𝐿| .<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>a) Jeżeli zdający zapisze 𝑃𝐾𝑁𝑀</li></ol>\n<p>𝑃𝑁𝐿𝑀<br>1<br>2𝑎ℎ<br>1<br>2𝑏ℎ= 𝑎<br>𝑏 i w rozwiązaniu nie określa, że ℎ<br>reprezentuje wysokości trójkątów 𝐾𝑁𝑀 i 𝑁𝐿𝑀 poprowadzone z wierzchołka 𝑁, to<br>otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.<br>b) Jeżeli zdający zapisze 𝑃𝐾𝑁𝑀<br>𝑃𝑁𝐿𝑀<br>1<br>2𝑎ℎ<br>1<br>2𝑏ℎ= 𝑎<br>𝑏 i w rozwiązaniu określa (np. na rysunku), że<br>ℎ reprezentuje wysokości trójkątów 𝐾𝑁𝑀 i 𝑁𝐿𝑀 poprowadzone z wierzchołka 𝑁,<br>ale nie uzasadnia równości tych wysokości, to może otrzymać 1 punkt za całe<br>rozwiązanie, o ile nie popełnił innych błędów.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający przyjmuje konkretną wartość kąta, np. |∡𝐿𝑀𝐾| = 90°, i na tym opiera</li></ol>\n<p>swoje rozumowanie, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Przyjmijmy następujące oznaczenie: |∡𝐿𝑀𝐾| = 2𝛼.<br>Odcinek 𝑀𝑁 zawiera się w dwusiecznej kąta 𝐿𝑀𝐾, więc |∡𝑁𝑀𝐾| = 𝛼 oraz |∡𝐿𝑀𝑁| = 𝛼.<br>Stosujemy wzór na pole trójkąta w zależności od długości dwóch boków i sinusa kąta między<br>tymi bokami i otrzymujemy:<br>𝑃𝐾𝑁𝑀= 1<br>2 ⋅𝑎⋅|𝑀𝑁| ⋅sin 𝛼<br>𝑃𝑁𝐿𝑀= 1<br>2 ⋅𝑏⋅|𝑀𝑁| ⋅sin 𝛼<br>Zatem:<br>𝑃𝐾𝑁𝑀<br>𝑃𝑁𝐿𝑀<br>1<br>2 ⋅𝑎⋅|𝑀𝑁| ⋅sin 𝛼<br>1<br>2 ⋅𝑏⋅|𝑀𝑁| ⋅sin 𝛼<br>= 𝑎<br>𝑏<br>To należało wykazać.<br>Sposób II<br>Dwusieczna kąta jest zbiorem punktów równoodległych od ramion tego kąta. Punkt 𝑁 leży<br>na dwusiecznej kąta 𝐿𝑀𝐾. Oznacza to, że odległości punktu 𝑁 od półprostych 𝑀𝐾 i 𝑀𝐿<br>są równe. Zatem wysokości trójkątów 𝐾𝑁𝑀 i 𝑁𝐿𝑀 poprowadzone z wierzchołka 𝑁 są<br>równe. Oznaczmy tę wysokość przez 𝑑 (zobacz rysunek).<br>Wtedy:<br>𝑃𝐾𝑁𝑀<br>𝑃𝑁𝐿𝑀<br>1<br>2 ⋅𝑎⋅𝑑<br>1<br>2 ⋅𝑏⋅𝑑<br>= 𝑎<br>𝑏<br>To należało wykazać.<br>𝑎<br>𝑀<br>𝑏<br>𝐾<br>𝐿<br>𝑁<br>𝑑<br>𝑑<br>Sposób III<br>Trójkąty 𝐾𝑁𝑀 i 𝑁𝐿𝑀 mają wspólną wysokość ℎ poprowadzoną z wierzchołka 𝑀, więc<br>stosunek pól tych trójkątów jest równy:<br>𝑃𝐾𝑁𝑀<br>𝑃𝑁𝐿𝑀<br>1<br>2 ⋅|𝐾𝑁| ⋅ℎ<br>1<br>2 ⋅|𝑁𝐿| ⋅ℎ<br>= |𝐾𝑁|<br>|𝑁𝐿|<br>Z twierdzenia o dwusiecznej zastosowanego w trójkącie 𝐾𝐿𝑀 otrzymujemy:<br>|𝐾𝑁|<br>|𝑁𝐿| = 𝑎<br>𝑏<br>Zatem:<br>𝑃𝐾𝑁𝑀<br>𝑃𝑁𝐿𝑀<br>|𝐾𝑁|<br>|𝑁𝐿| = 𝑎<br>𝑏<br>To należało wykazać.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[]}