{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nDany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym przekątna podstawy ma długość 8√3.\nKrawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°.\nOblicz objętość tego ostrosłupa.\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n9.2) rozpoznaje w […] ostrosłupach kąt\nmiędzy odcinkami i płaszczyznami […];\n9.6) stosuje trygonometrię do obliczeń\ndługości odcinków, miar kątów, pól\npowierzchni i objętości.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑉= 128.\n1 pkt - obliczenie/zapisanie wysokości ostrosłupa: 𝐻= 4\nALBO\n- wyznaczenie pola podstawy ostrosłupa: 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= (4√6)\n2 (lub 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 1\n2 ⋅(8√3)\n2).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający rozpatruje bryłę inną niż ostrosłup prawidłowy czworokątny, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmujemy oznaczenia jak na rysunku:\n𝑎 - długość krawędzi podstawy,\n𝐻 - wysokość ostrosłupa,\n𝑂 - spodek wysokości ostrosłupa.\nZauważamy, że 𝑎> 0 i 𝐻> 0.\nPonieważ 𝑂 jest punktem przecięcia\nprzekątnych kwadratu, to |𝑂𝐵| = 4√3.\nW trójkącie prostokątnym 𝑆𝑂𝐵 mamy:\ntg 30° = |𝑆𝑂|\n|𝑂𝐵| = 𝐻\n4√3\nZatem:\n𝐻= 4√3 ⋅tg 30° = 4√3 ⋅√3\n3 = 4\nObliczamy objętość 𝑉 ostrosłupa:\n𝑉= 1\n3 ⋅1\n2 ⋅(8√3)\n2 ⋅4 = 128\n30°\n4ξ3\n𝐻\n𝑎\n𝑆\n𝑂\n𝐷\n𝐵\n𝐴\n𝐶","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":26,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 30. (0-2)<br>Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym przekątna podstawy ma długość 8√3.<br>Krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°.<br>Oblicz objętość tego ostrosłupa.</p>\n<p>EMAP-P0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 30. (0-2)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>IV. Użycie i tworzenie strategii.<br>Zdający:<br>9.2) rozpoznaje w […] ostrosłupach kąt<br>między odcinkami i płaszczyznami […];<br>9.6) stosuje trygonometrię do obliczeń<br>długości odcinków, miar kątów, pól<br>powierzchni i objętości.<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑉= 128.<br>1 pkt - obliczenie/zapisanie wysokości ostrosłupa: 𝐻= 4<br>ALBO</p>\n<ul><li>wyznaczenie pola podstawy ostrosłupa: 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= (4√6)</li></ul>\n<p>2 (lub 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 1<br>2 ⋅(8√3)<br>2).<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwaga:<br>Jeżeli zdający rozpatruje bryłę inną niż ostrosłup prawidłowy czworokątny, to otrzymuje<br>0 punktów za całe rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku:<br>𝑎 - długość krawędzi podstawy,<br>𝐻 - wysokość ostrosłupa,<br>𝑂 - spodek wysokości ostrosłupa.<br>Zauważamy, że 𝑎&gt; 0 i 𝐻&gt; 0.<br>Ponieważ 𝑂 jest punktem przecięcia<br>przekątnych kwadratu, to |𝑂𝐵| = 4√3.<br>W trójkącie prostokątnym 𝑆𝑂𝐵 mamy:<br>tg 30° = |𝑆𝑂|<br>|𝑂𝐵| = 𝐻<br>4√3<br>Zatem:<br>𝐻= 4√3 ⋅tg 30° = 4√3 ⋅√3<br>3 = 4<br>Obliczamy objętość 𝑉 ostrosłupa:<br>𝑉= 1<br>3 ⋅1<br>2 ⋅(8√3)<br>2 ⋅4 = 128<br>30°<br>4ξ3<br>𝐻<br>𝑎<br>𝑆<br>𝑂<br>𝐷<br>𝐵<br>𝐴<br>𝐶</p>","solutions":[]}