{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nDane są dwa zbiory cyfr: 𝑋= {1, 3, 5, 7, 9} oraz 𝑌= {0, 2, 4, 6, 8}.\nLosujemy jedną cyfrę ze zbioru 𝑋, a następnie losujemy jedną cyfrę ze zbioru 𝑌.\nNastępnie zapisujemy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że cyfra wylosowana ze zbioru 𝑋\njest cyfrą dziesiątek, a cyfra wylosowana ze zbioru 𝑌 jest cyfrą jedności tej liczby\ndwucyfrowej.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób\nliczba dwucyfrowa będzie podzielna przez 6.\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n10.3) oblicza prawdopodobieństwa\nw prostych sytuacjach, stosując klasyczną\ndefinicję prawdopodobieństwa.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑃(𝐴) = 9\n25\n1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych LUB obliczenie/podanie liczby tych\nzdarzeń: |Ω| = 5 ⋅5, LUB sporządzenie tabeli o 25 polach odpowiadających\nzdarzeniom elementarnym, LUB sporządzenie pełnego drzewa stochastycznego\nALBO\n- wypisanie (lub zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych\nsprzyjających zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego,\nALBO\n- podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:\n|𝐴| = 9, o ile nie zostały zliczone błędne pary,\nALBO\n- sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, który zawiera wszystkie gałęzie\nsprzyjające zdarzeniu 𝐴, oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej\njednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,\nALBO\n- podanie prawdopodobieństwa jednoelementowego zdarzenia (elementarnego): 1\n25\n,\nALBO\n- zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = 9\n25\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający zapisuje tylko liczby 9 lub 25 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych\nliczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑥, 𝑦), gdzie\n𝑥∈{1, 3, 5, 7, 9} oraz 𝑦∈{0, 2, 4, 6, 8}.\nLiczbę wszystkich zdarzeń elementarnych obliczamy z wykorzystaniem reguły mnożenia.\nMoc zbioru Ω jest równa 5 ⋅5 = 25.\nZdarzeniu 𝐴 sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:\n(1, 2), (1, 8), (3, 0), (3, 6), (5, 4), (7, 2), (7, 8), (9, 0), (9, 6),\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nwięc moc zbioru 𝐴 jest równa 9.\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 9\n25\nSposób II\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑥, 𝑦), gdzie\n𝑥∈{1, 3, 5, 7, 9} oraz 𝑦∈{0, 2, 4, 6, 8}.\nW tabeli literą 𝒜 zaznaczamy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴.\n0\n2\n4\n6\n8\n1\n𝒜\n𝒜\n3\n𝒜\n𝒜\n5\n𝒜\n7\n𝒜\n𝒜\n9\n𝒜\n𝒜\nWszystkich zdarzeń elementarnych jest 25. Zdarzeń sprzyjających zdarzeniu 𝐴 jest 9.\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 9\n25\n𝑦\n𝑥","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":27,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 31. (0-2)
Dane są dwa zbiory cyfr: 𝑋= {1, 3, 5, 7, 9} oraz 𝑌= {0, 2, 4, 6, 8}.
Losujemy jedną cyfrę ze zbioru 𝑋, a następnie losujemy jedną cyfrę ze zbioru 𝑌.
Następnie zapisujemy liczbę dwucyfrową w ten sposób, że cyfra wylosowana ze zbioru 𝑋
jest cyfrą dziesiątek, a cyfra wylosowana ze zbioru 𝑌 jest cyfrą jedności tej liczby
dwucyfrowej.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 polegającego na tym, że otrzymana w ten sposób
liczba dwucyfrowa będzie podzielna przez 6.

\n

EMAP-P0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 31. (0-2)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Modelowanie matematyczne.
Zdający:
10.3) oblicza prawdopodobieństwa
w prostych sytuacjach, stosując klasyczną
definicję prawdopodobieństwa.
Zasady oceniania
2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑃(𝐴) = 9
25
1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych LUB obliczenie/podanie liczby tych
zdarzeń: |Ω| = 5 ⋅5, LUB sporządzenie tabeli o 25 polach odpowiadających
zdarzeniom elementarnym, LUB sporządzenie pełnego drzewa stochastycznego
ALBO

\n\n

sprzyjających zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego,
ALBO

\n\n

|𝐴| = 9, o ile nie zostały zliczone błędne pary,
ALBO

\n\n

sprzyjające zdarzeniu 𝐴, oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej
jednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,
ALBO

\n\n

25
,
ALBO

\n\n

25
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 9 lub 25 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych
liczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑥, 𝑦), gdzie
𝑥∈{1, 3, 5, 7, 9} oraz 𝑦∈{0, 2, 4, 6, 8}.
Liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych obliczamy z wykorzystaniem reguły mnożenia.
Moc zbioru Ω jest równa 5 ⋅5 = 25.
Zdarzeniu 𝐴 sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:
(1, 2), (1, 8), (3, 0), (3, 6), (5, 4), (7, 2), (7, 8), (9, 0), (9, 6),
Zasady oceniania rozwiązań zadań
więc moc zbioru 𝐴 jest równa 9.
Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 9
25
Sposób II
Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑥, 𝑦), gdzie
𝑥∈{1, 3, 5, 7, 9} oraz 𝑦∈{0, 2, 4, 6, 8}.
W tabeli literą 𝒜 zaznaczamy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴.
0
2
4
6
8
1
𝒜
𝒜
3
𝒜
𝒜
5
𝒜
7
𝒜
𝒜
9
𝒜
𝒜
Wszystkich zdarzeń elementarnych jest 25. Zdarzeń sprzyjających zdarzeniu 𝐴 jest 9.
Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 9
25
𝑦
𝑥

","solutions":[]}