{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa","number":"32","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-4)\nW układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) wykresem funkcji kwadratowej 𝑓 jest parabola\no wierzchołku w punkcie 𝑊= (3, -2).\nFunkcja kwadratowa 𝑔 jest określona za pomocą funkcji 𝑓 wzorem 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥+ 1).\nJednym z miejsc zerowych funkcji 𝑔 jest liczba 0.\nWyznacz wzór funkcji 𝑓 w postaci ogólnej.\n\nEMAP-P0_100\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n4.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na\npodstawie pewnych informacji o tej funkcji\nlub o jej wykresie.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑓(𝑥) = 1\n2 𝑥2 -3𝑥+ 5\n2\n3 pkt - spełnienie jednego z kryteriów za 2 punkty oraz obliczenie wartości jednego ze\nwspółczynników 𝑎, 𝑏 lub 𝑐 funkcji 𝑓: 𝑎= 1\n2 lub 𝑏= -3, lub 𝑐= 5\n2 .\n2 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-3)2 -2 oraz zapisanie, że\njednym z miejsc zerowych funkcji 𝑓 jest liczba 1\nALBO\n- zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)(𝑥-5) lub\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)2 -4𝑎(𝑥-1),\nALBO\n- wykorzystanie wzoru funkcji 𝑔 w postaci kanonicznej (lub iloczynowej) i zapisanie\nrównania z jedną niewiadomą 𝑎, np. 0 = 𝑎(0 -2)2 -2, 0 = 𝑎(4 -2)2 -2,\n-2 = 𝑎⋅2 ⋅(2 -4),\nALBO\n- zapisanie układu trzech niezależnych równań z trzema niewiadomymi 𝑎, 𝑏, 𝑐\nprowadzącego do obliczenia wartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐, np.:\n𝑎⋅12 + 𝑏⋅1 + 𝑐= 0 oraz -𝑏\n2𝑎= 3 oraz -(𝑏2 - 4𝑎𝑐)\n4𝑎\n= -2\nlub\n𝑎⋅12 + 𝑏⋅1 + 𝑐= 0 oraz -𝑏\n2𝑎= 3 oraz 𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= -2.\n1 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-3)2 -2\nALBO\n- zapisanie, że jednym z miejsc zerowych funkcji 𝑓 jest liczba 1,\nALBO\n- zapisanie, że wierzchołkiem wykresu funkcji 𝑔 jest punkt o współrzędnych (2, -2),\nALBO\n- zapisanie, że drugim miejscem zerowym funkcji 𝑔 jest liczba 4,\nALBO\n- zapisanie układu dwóch niezależnych równań z trzema niewiadomymi 𝑎, 𝑏, 𝑐, np.:\n-𝑏\n2𝑎= 3 oraz -(𝑏2 - 4𝑎𝑐)\n4𝑎\n= -2\nlub\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n-𝑏\n2𝑎= 3 oraz 𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= -2,\nlub\n𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0 oraz 𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= -2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający obliczy poprawnie wartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐 we wzorze\nfunkcji 𝑓, to może otrzymać 4 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający poprawnie obliczy/poda\na) miejsce zerowe funkcji 𝑓, ale zapisze błędne równanie\n0 = 𝑎(1 + 3)2 -2 lub\n0 = 𝑎(5 + 3)2 -2, lub\n0 = 𝑎(1 -3) -2, lub\n0 = 𝑎(5 -3) -2,\nb) miejsca zerowe funkcji 𝑓, ale zapisze błędne równanie\n-2 = 𝑎(3 + 1)(3 + 5) lub\n-2 = 𝑎(3 + 1)(3 -5), lub\n-2 = 𝑎(3 -1)(3 + 5),\na następnie konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to może\notrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający błędnie zidentyfikuje miejsce zerowe funkcji 𝑓 jako (-1) lub 0,\na następnie konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to może\notrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający poprawnie obliczy/poda\na) współrzędne wierzchołka wykresu funkcji 𝑔, ale zapisze błędne równanie\n0 = 𝑎(0 + 2)2 -2,\nb) współrzędne wierzchołka wykresu funkcji 𝑔 oraz drugie miejsce zerowe tej funkcji,\nale zapisze błędne równanie -2 = 𝑎⋅2 ⋅(2 + 4) lub 4 = 𝑎(0 -2)2 -2,\na następnie konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to może\notrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\n5. Jeżeli zdający błędnie zidentyfikuje wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji 𝑔,\njako punkt (4, -2) albo (3, -1), albo (3, -3), a następnie konsekwentnie do\npopełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty\nza całe rozwiązanie.\n6. Jeżeli zdający obliczy poprawnie wartość współczynnika 𝑎 we wzorze funkcji 𝑔, lecz do\nwzoru funkcji 𝑓 wstawia inną wartość tego współczynnika, to otrzymuje 2 punkty za całe\nrozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nKorzystamy ze wzoru na postać kanoniczną funkcji kwadratowej i zapisujemy:\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-3)2 -2, gdzie 𝑎≠0.\nPonieważ liczba 0 jest jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej 𝑔 określonej\nwzorem 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥+ 1), więc:\n𝑔(0) = 0\nStąd:\n𝑓(0 + 1) = 0\n𝑓(1) = 0\nZatem:\n𝑎(1 -3)2 -2 = 0\n4𝑎-2 = 0\n𝑎= 1\n2\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej:\n𝑓(𝑥) = 1\n2 (𝑥-3)2 -2\nPrzekształcamy wzór funkcji 𝑓 do postaci ogólnej:\n𝑓(𝑥) = 1\n2 (𝑥-3)2 -2 = 1\n2 (𝑥2 -6𝑥+ 9) -2 = 1\n2 𝑥2 -3𝑥+ 5\n2\nSposób II\nPonieważ liczba 0 jest jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej 𝑔 określonej\nwzorem 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥+ 1), więc:\n𝑔(0) = 0\nStąd:\n𝑓(0 + 1) = 0\n𝑓(1) = 0\nTo oznacza, że jednym z miejsc zerowych funkcji 𝑓 jest liczba 1.\nWykres funkcji 𝑓 jest symetryczny względem prostej o równaniu 𝑥= 3, zatem drugim\nmiejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba 5.\nKorzystamy ze wzoru na postać iloczynową funkcji kwadratowej i zapisujemy:\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)(𝑥-5), gdzie 𝑎≠0.\nPunkt (3, -2) leży na wykresie funkcji 𝑓, więc:\n𝑓(3) = -2\n𝑎(3 -1)(3 -5) = -2\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n-4𝑎= -2\n𝑎= 1\n2\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci iloczynowej:\n𝑓(𝑥) = 1\n2 (𝑥-1)(𝑥-5)\nPrzekształcamy wzór funkcji 𝑓 do postaci ogólnej:\n𝑓(𝑥) = 1\n2 (𝑥-1)(𝑥-5) = 1\n2 (𝑥2 -6𝑥+ 5) = 1\n2 𝑥2 -3𝑥+ 5\n2\nSposób III\nKorzystamy ze wzoru na postać ogólną funkcji kwadratowej i zapisujemy:\n𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐, gdzie 𝑎≠0.\nOdcięta wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓 jest równa 3. Zatem:\n-𝑏\n2𝑎= 3\n𝑏= -6𝑎\nRzędna wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓 jest równa (-2). Zatem:\n-∆\n4𝑎= -2\n-(𝑏2 -4𝑎𝑐)\n4𝑎\n= -2\nPodstawiamy do ostatniego równania w miejsce 𝑏 wyrażenie (-6𝑎) i otrzymujemy:\n-((-6𝑎)2 -4𝑎𝑐)\n4𝑎\n= -2\n4𝑎⋅(-9𝑎+ 𝑐)\n4𝑎\n= -2\n-9𝑎+ 𝑐= -2\n𝑐= 9𝑎-2\nPonieważ liczba 0 jest jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej 𝑔 określonej\nwzorem 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥+ 1), więc:\n𝑔(0) = 0\nZatem:\n𝑓(0 + 1) = 0\n𝑓(1) = 0\n𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0\nStąd i z uzyskanych wcześniej równań obliczamy wartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐:\n𝑎+ (-6𝑎) + (9𝑎-2) = 0\n4𝑎= 2\n𝑎= 1\n2\n𝑏= -6𝑎= -6 ⋅1\n2 = -3\n𝑐= 9𝑎-2 = 9 ⋅1\n2 -2 = 5\n2\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci ogólnej:\n𝑓(𝑥) = 1\n2 𝑥2 -3𝑥+ 5\n2\nSposób IV\nKorzystamy ze wzoru na postać ogólną funkcji kwadratowej i zapisujemy:\n𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐, gdzie 𝑎≠0.\nWykres funkcji 𝑔 powstaje w wyniku przesunięcia wykresu funkcji 𝑓 wzdłuż osi 𝑂𝑥\no 1 jednostkę w lewo. Zatem miejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba 1.\nWykres funkcji 𝑓 jest symetryczny względem prostej o równaniu 𝑥= 3, więc drugim\nmiejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba 5. Stąd i z tego, że punkt (3, -2) leży na wykresie\nfunkcji 𝑓, otrzymujemy układ równań:\n{\n𝑓(1) = 0\n𝑓(5) = 0\n𝑓(3) = -2\n{\n𝑎⋅12 + 𝑏⋅1 + 𝑐= 0\n𝑎⋅52 + 𝑏⋅5 + 𝑐= 0\n𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= -2\n{\n𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0\n25𝑎+ 5𝑏+ 𝑐= 0\n9𝑎+ 3𝑏+ 𝑐= -2\n{\n𝑐= -𝑎-𝑏\n25𝑎+ 5𝑏+ 𝑐= 0\n9𝑎+ 3𝑏+ 𝑐= -2\n{ 25𝑎+ 5𝑏-𝑎-𝑏= 0\n9𝑎+ 3𝑏-𝑎-𝑏= -2\n{ 24𝑎+ 4𝑏= 0 /: 4\n8𝑎+ 2𝑏= -2 /: 2\n{ 6𝑎+ 𝑏= 0\n4𝑎+ 𝑏= -1\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nOdejmując równania stronami, otrzymujemy:\n(6𝑎+ 𝑏) -(4𝑎+ 𝑏) = 0 -(-1)\n2𝑎= 1\n𝑎= 1\n2\nStąd:\n𝑏= -6𝑎= -6 ⋅1\n2 = -3 oraz 𝑐= -𝑎-𝑏= -1\n2 -(-3) = 5\n2\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci ogólnej:\n𝑓(𝑥) = 1\n2 𝑥2 -3𝑥+ 5\n2\nSposób V\nWykres funkcji 𝑔 powstaje w wyniku przesunięcia wykresu funkcji 𝑓 wzdłuż osi 𝑂𝑥\no 1 jednostkę w lewo. Zatem wykresem funkcji 𝑔 jest parabola o wierzchołku w punkcie\n(2, -2).\nKorzystamy ze wzoru na postać kanoniczną funkcji kwadratowej i zapisujemy:\n𝑔(𝑥) = 𝑎(𝑥-2)2 -2, gdzie 𝑎≠0.\nPonieważ liczba 0 jest jednym z miejsc zerowych funkcji 𝑔, więc:\n𝑔(0) = 0\nStąd:\n𝑎(0 -2)2 -2 = 0\n4𝑎= 2\n𝑎= 1\n2\nZapisujemy wzór funkcji 𝑔 w postaci kanonicznej:\n𝑔(𝑥) = 1\n2 (𝑥-2)2 -2\nPonieważ 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥+ 1), więc 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥-1).\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej:\n𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥-1) = 1\n2 (𝑥-1 -2)2 -2 = 1\n2 (𝑥-3)2 -2\nPrzekształcamy wzór funkcji 𝑓 do postaci ogólnej:\n𝑓(𝑥) = 1\n2 (𝑥-3)2 -2 = 1\n2 (𝑥2 -6𝑥+ 9) -2 = 1\n2 𝑥2 -3𝑥+ 5\n2","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":28,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 32. (0-4)<br>W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) wykresem funkcji kwadratowej 𝑓 jest parabola<br>o wierzchołku w punkcie 𝑊= (3, -2).<br>Funkcja kwadratowa 𝑔 jest określona za pomocą funkcji 𝑓 wzorem 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥+ 1).<br>Jednym z miejsc zerowych funkcji 𝑔 jest liczba 0.<br>Wyznacz wzór funkcji 𝑓 w postaci ogólnej.</p>\n<p>EMAP-P0_100</p>\n<p>EMAP-P0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 32. (0-4)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Użycie i tworzenie strategii.<br>Zdający:<br>4.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na<br>podstawie pewnych informacji o tej funkcji<br>lub o jej wykresie.<br>Zasady oceniania<br>4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑓(𝑥) = 1<br>2 𝑥2 -3𝑥+ 5<br>2<br>3 pkt - spełnienie jednego z kryteriów za 2 punkty oraz obliczenie wartości jednego ze<br>współczynników 𝑎, 𝑏 lub 𝑐 funkcji 𝑓: 𝑎= 1<br>2 lub 𝑏= -3, lub 𝑐= 5<br>2 .<br>2 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-3)2 -2 oraz zapisanie, że<br>jednym z miejsc zerowych funkcji 𝑓 jest liczba 1<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)(𝑥-5) lub</li></ul>\n<p>𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)2 -4𝑎(𝑥-1),<br>ALBO</p>\n<ul><li>wykorzystanie wzoru funkcji 𝑔 w postaci kanonicznej (lub iloczynowej) i zapisanie</li></ul>\n<p>równania z jedną niewiadomą 𝑎, np. 0 = 𝑎(0 -2)2 -2, 0 = 𝑎(4 -2)2 -2,<br>-2 = 𝑎⋅2 ⋅(2 -4),<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie układu trzech niezależnych równań z trzema niewiadomymi 𝑎, 𝑏, 𝑐</li></ul>\n<p>prowadzącego do obliczenia wartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐, np.:<br>𝑎⋅12 + 𝑏⋅1 + 𝑐= 0 oraz -𝑏<br>2𝑎= 3 oraz -(𝑏2 - 4𝑎𝑐)<br>4𝑎<br>= -2<br>lub<br>𝑎⋅12 + 𝑏⋅1 + 𝑐= 0 oraz -𝑏<br>2𝑎= 3 oraz 𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= -2.<br>1 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-3)2 -2<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie, że jednym z miejsc zerowych funkcji 𝑓 jest liczba 1,</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie, że wierzchołkiem wykresu funkcji 𝑔 jest punkt o współrzędnych (2, -2),</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie, że drugim miejscem zerowym funkcji 𝑔 jest liczba 4,</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie układu dwóch niezależnych równań z trzema niewiadomymi 𝑎, 𝑏, 𝑐, np.:</li></ul>\n<p>-𝑏<br>2𝑎= 3 oraz -(𝑏2 - 4𝑎𝑐)<br>4𝑎<br>= -2<br>lub<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>-𝑏<br>2𝑎= 3 oraz 𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= -2,<br>lub<br>𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0 oraz 𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= -2.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający obliczy poprawnie wartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐 we wzorze</li></ol>\n<p>funkcji 𝑓, to może otrzymać 4 punkty za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający poprawnie obliczy/poda</li></ol>\n<p>a) miejsce zerowe funkcji 𝑓, ale zapisze błędne równanie<br>0 = 𝑎(1 + 3)2 -2 lub<br>0 = 𝑎(5 + 3)2 -2, lub<br>0 = 𝑎(1 -3) -2, lub<br>0 = 𝑎(5 -3) -2,<br>b) miejsca zerowe funkcji 𝑓, ale zapisze błędne równanie<br>-2 = 𝑎(3 + 1)(3 + 5) lub<br>-2 = 𝑎(3 + 1)(3 -5), lub<br>-2 = 𝑎(3 -1)(3 + 5),<br>a następnie konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to może<br>otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający błędnie zidentyfikuje miejsce zerowe funkcji 𝑓 jako (-1) lub 0,</li></ol>\n<p>a następnie konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to może<br>otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający poprawnie obliczy/poda</li></ol>\n<p>a) współrzędne wierzchołka wykresu funkcji 𝑔, ale zapisze błędne równanie<br>0 = 𝑎(0 + 2)2 -2,<br>b) współrzędne wierzchołka wykresu funkcji 𝑔 oraz drugie miejsce zerowe tej funkcji,<br>ale zapisze błędne równanie -2 = 𝑎⋅2 ⋅(2 + 4) lub 4 = 𝑎(0 -2)2 -2,<br>a następnie konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to może<br>otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający błędnie zidentyfikuje wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji 𝑔,</li></ol>\n<p>jako punkt (4, -2) albo (3, -1), albo (3, -3), a następnie konsekwentnie do<br>popełnionego błędu rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty<br>za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający obliczy poprawnie wartość współczynnika 𝑎 we wzorze funkcji 𝑔, lecz do</li></ol>\n<p>wzoru funkcji 𝑓 wstawia inną wartość tego współczynnika, to otrzymuje 2 punkty za całe<br>rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Korzystamy ze wzoru na postać kanoniczną funkcji kwadratowej i zapisujemy:<br>𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-3)2 -2, gdzie 𝑎≠0.<br>Ponieważ liczba 0 jest jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej 𝑔 określonej<br>wzorem 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥+ 1), więc:<br>𝑔(0) = 0<br>Stąd:<br>𝑓(0 + 1) = 0<br>𝑓(1) = 0<br>Zatem:<br>𝑎(1 -3)2 -2 = 0<br>4𝑎-2 = 0<br>𝑎= 1<br>2<br>Zapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej:<br>𝑓(𝑥) = 1<br>2 (𝑥-3)2 -2<br>Przekształcamy wzór funkcji 𝑓 do postaci ogólnej:<br>𝑓(𝑥) = 1<br>2 (𝑥-3)2 -2 = 1<br>2 (𝑥2 -6𝑥+ 9) -2 = 1<br>2 𝑥2 -3𝑥+ 5<br>2<br>Sposób II<br>Ponieważ liczba 0 jest jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej 𝑔 określonej<br>wzorem 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥+ 1), więc:<br>𝑔(0) = 0<br>Stąd:<br>𝑓(0 + 1) = 0<br>𝑓(1) = 0<br>To oznacza, że jednym z miejsc zerowych funkcji 𝑓 jest liczba 1.<br>Wykres funkcji 𝑓 jest symetryczny względem prostej o równaniu 𝑥= 3, zatem drugim<br>miejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba 5.<br>Korzystamy ze wzoru na postać iloczynową funkcji kwadratowej i zapisujemy:<br>𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)(𝑥-5), gdzie 𝑎≠0.<br>Punkt (3, -2) leży na wykresie funkcji 𝑓, więc:<br>𝑓(3) = -2<br>𝑎(3 -1)(3 -5) = -2<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>-4𝑎= -2<br>𝑎= 1<br>2<br>Zapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci iloczynowej:<br>𝑓(𝑥) = 1<br>2 (𝑥-1)(𝑥-5)<br>Przekształcamy wzór funkcji 𝑓 do postaci ogólnej:<br>𝑓(𝑥) = 1<br>2 (𝑥-1)(𝑥-5) = 1<br>2 (𝑥2 -6𝑥+ 5) = 1<br>2 𝑥2 -3𝑥+ 5<br>2<br>Sposób III<br>Korzystamy ze wzoru na postać ogólną funkcji kwadratowej i zapisujemy:<br>𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐, gdzie 𝑎≠0.<br>Odcięta wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓 jest równa 3. Zatem:<br>-𝑏<br>2𝑎= 3<br>𝑏= -6𝑎<br>Rzędna wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji 𝑓 jest równa (-2). Zatem:<br>-∆<br>4𝑎= -2<br>-(𝑏2 -4𝑎𝑐)<br>4𝑎<br>= -2<br>Podstawiamy do ostatniego równania w miejsce 𝑏 wyrażenie (-6𝑎) i otrzymujemy:<br>-((-6𝑎)2 -4𝑎𝑐)<br>4𝑎<br>= -2<br>4𝑎⋅(-9𝑎+ 𝑐)<br>4𝑎<br>= -2<br>-9𝑎+ 𝑐= -2<br>𝑐= 9𝑎-2<br>Ponieważ liczba 0 jest jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej 𝑔 określonej<br>wzorem 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥+ 1), więc:<br>𝑔(0) = 0<br>Zatem:<br>𝑓(0 + 1) = 0<br>𝑓(1) = 0<br>𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0<br>Stąd i z uzyskanych wcześniej równań obliczamy wartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐:<br>𝑎+ (-6𝑎) + (9𝑎-2) = 0<br>4𝑎= 2<br>𝑎= 1<br>2<br>𝑏= -6𝑎= -6 ⋅1<br>2 = -3<br>𝑐= 9𝑎-2 = 9 ⋅1<br>2 -2 = 5<br>2<br>Zapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci ogólnej:<br>𝑓(𝑥) = 1<br>2 𝑥2 -3𝑥+ 5<br>2<br>Sposób IV<br>Korzystamy ze wzoru na postać ogólną funkcji kwadratowej i zapisujemy:<br>𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐, gdzie 𝑎≠0.<br>Wykres funkcji 𝑔 powstaje w wyniku przesunięcia wykresu funkcji 𝑓 wzdłuż osi 𝑂𝑥<br>o 1 jednostkę w lewo. Zatem miejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba 1.<br>Wykres funkcji 𝑓 jest symetryczny względem prostej o równaniu 𝑥= 3, więc drugim<br>miejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba 5. Stąd i z tego, że punkt (3, -2) leży na wykresie<br>funkcji 𝑓, otrzymujemy układ równań:<br>{<br>𝑓(1) = 0<br>𝑓(5) = 0<br>𝑓(3) = -2<br>{<br>𝑎⋅12 + 𝑏⋅1 + 𝑐= 0<br>𝑎⋅52 + 𝑏⋅5 + 𝑐= 0<br>𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= -2<br>{<br>𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0<br>25𝑎+ 5𝑏+ 𝑐= 0<br>9𝑎+ 3𝑏+ 𝑐= -2<br>{<br>𝑐= -𝑎-𝑏<br>25𝑎+ 5𝑏+ 𝑐= 0<br>9𝑎+ 3𝑏+ 𝑐= -2<br>{ 25𝑎+ 5𝑏-𝑎-𝑏= 0<br>9𝑎+ 3𝑏-𝑎-𝑏= -2<br>{ 24𝑎+ 4𝑏= 0 /: 4<br>8𝑎+ 2𝑏= -2 /: 2<br>{ 6𝑎+ 𝑏= 0<br>4𝑎+ 𝑏= -1<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Odejmując równania stronami, otrzymujemy:<br>(6𝑎+ 𝑏) -(4𝑎+ 𝑏) = 0 -(-1)<br>2𝑎= 1<br>𝑎= 1<br>2<br>Stąd:<br>𝑏= -6𝑎= -6 ⋅1<br>2 = -3 oraz 𝑐= -𝑎-𝑏= -1<br>2 -(-3) = 5<br>2<br>Zapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci ogólnej:<br>𝑓(𝑥) = 1<br>2 𝑥2 -3𝑥+ 5<br>2<br>Sposób V<br>Wykres funkcji 𝑔 powstaje w wyniku przesunięcia wykresu funkcji 𝑓 wzdłuż osi 𝑂𝑥<br>o 1 jednostkę w lewo. Zatem wykresem funkcji 𝑔 jest parabola o wierzchołku w punkcie<br>(2, -2).<br>Korzystamy ze wzoru na postać kanoniczną funkcji kwadratowej i zapisujemy:<br>𝑔(𝑥) = 𝑎(𝑥-2)2 -2, gdzie 𝑎≠0.<br>Ponieważ liczba 0 jest jednym z miejsc zerowych funkcji 𝑔, więc:<br>𝑔(0) = 0<br>Stąd:<br>𝑎(0 -2)2 -2 = 0<br>4𝑎= 2<br>𝑎= 1<br>2<br>Zapisujemy wzór funkcji 𝑔 w postaci kanonicznej:<br>𝑔(𝑥) = 1<br>2 (𝑥-2)2 -2<br>Ponieważ 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥+ 1), więc 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥-1).<br>Zapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci kanonicznej:<br>𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥-1) = 1<br>2 (𝑥-1 -2)2 -2 = 1<br>2 (𝑥-3)2 -2<br>Przekształcamy wzór funkcji 𝑓 do postaci ogólnej:<br>𝑓(𝑥) = 1<br>2 (𝑥-3)2 -2 = 1<br>2 (𝑥2 -6𝑥+ 9) -2 = 1<br>2 𝑥2 -3𝑥+ 5<br>2</p>","solutions":[]}