{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-4)\nCiąg arytmetyczny (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛= 3𝑛+ 5 dla każdej liczby\nnaturalnej 𝑛≥1. Trzywyrazowy ciąg (𝑎1 , 𝑎9 , 𝑎𝑘) jest geometryczny.\nOblicz 𝑘 oraz sumę 𝑆𝑘 początkowych 𝑘 wyrazów ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛).\n\nEMAP-P0_100\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na sumę\n𝑛 początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego;\n5.4) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\ngeometrycznego.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawne wyniki: 𝑘= 41, 𝑆𝑘= 2788.\n3 pkt - obliczenie 𝑘: 𝑘= 41\nALBO\n- obliczenie sumy 𝑆𝑘: 𝑆𝑘= 2788.\n2 pkt - obliczenie wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego: (8, 32, 128)\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑘, wynikającego z własności ciągu\ngeometrycznego, np. 322 = 8 ⋅(3𝑘+ 5).\n1 pkt - obliczenie wyrazów 𝑎1 oraz 𝑎9: 𝑎1 = 8, 𝑎9 = 32\nALBO\n- wykorzystanie własności ciągu geometrycznego i zapisanie związku między\nwyrazami 𝑎1 , 𝑎9 , 𝑎𝑘 , np. (𝑎9)2 = 𝑎1 ⋅𝑎𝑘 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający rozważa ciąg geometryczny (𝑎1, 𝑎𝑙, 𝑎𝑘), gdzie 𝑙 jest liczbą naturalną\nwiększą od 2 i różną od 9, oraz rozwiąże zadanie konsekwentnie do końca, to może\notrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nKorzystamy ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu (𝑎𝑛) i obliczamy wyrazy 𝑎1 oraz 𝑎9:\n𝑎1 = 3 ⋅1 + 5 = 8\n𝑎9 = 3 ⋅9 + 5 = 32\nZatem iloraz trzywyrazowego ciągu geometrycznego (8, 32, 𝑎𝑘) jest równy 32\n8 = 4.\nStąd:\n𝑎𝑘= 32 ⋅4 = 128\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nObliczamy 𝑘:\n𝑎𝑘= 128\n3𝑘+ 5 = 128\n3𝑘= 123\n𝑘= 41\nKorzystamy ze wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i obliczamy\nsumę 𝑆41:\n𝑆41 = 𝑎1 + 𝑎41\n2\n⋅41 = 8 + 128\n2\n⋅41 = 2788\nSposób II\nKorzystamy ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu (𝑎𝑛) i zapisujemy:\n𝑎1 = 3 ⋅1 + 5 = 8\n𝑎9 = 3 ⋅9 + 5 = 32\n𝑎𝑘= 3𝑘+ 5\nZ warunków zadania wynika, że ciąg (8, 32, 3𝑘+ 5) jest geometryczny.\nZ własności ciągu geometrycznego otrzymujemy:\n322 = 8 ⋅(3𝑘+ 5)\n32 ⋅4 ⋅8 = 8 ⋅(3𝑘+ 5) /∶8\n128 = 3𝑘+ 5\n3𝑘= 123\n𝑘= 41\nKorzystamy ze wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i obliczamy\nsumę 𝑆41:\n𝑆41 = 𝑎1 + 𝑎41\n2\n⋅41 = 8 + 128\n2\n⋅41 = 2788","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":30,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 33. (0-4)<br>Ciąg arytmetyczny (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛= 3𝑛+ 5 dla każdej liczby<br>naturalnej 𝑛≥1. Trzywyrazowy ciąg (𝑎1 , 𝑎9 , 𝑎𝑘) jest geometryczny.<br>Oblicz 𝑘 oraz sumę 𝑆𝑘 początkowych 𝑘 wyrazów ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛).</p>\n<p>EMAP-P0_100</p>\n<p>EMAP-P0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 33. (0-4)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>IV. Użycie i tworzenie strategii.<br>Zdający:<br>5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na sumę<br>𝑛 początkowych wyrazów ciągu<br>arytmetycznego;<br>5.4) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu<br>geometrycznego.<br>Zasady oceniania<br>4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawne wyniki: 𝑘= 41, 𝑆𝑘= 2788.<br>3 pkt - obliczenie 𝑘: 𝑘= 41<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie sumy 𝑆𝑘: 𝑆𝑘= 2788.</li></ul>\n<p>2 pkt - obliczenie wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego: (8, 32, 128)<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑘, wynikającego z własności ciągu</li></ul>\n<p>geometrycznego, np. 322 = 8 ⋅(3𝑘+ 5).<br>1 pkt - obliczenie wyrazów 𝑎1 oraz 𝑎9: 𝑎1 = 8, 𝑎9 = 32<br>ALBO</p>\n<ul><li>wykorzystanie własności ciągu geometrycznego i zapisanie związku między</li></ul>\n<p>wyrazami 𝑎1 , 𝑎9 , 𝑎𝑘 , np. (𝑎9)2 = 𝑎1 ⋅𝑎𝑘 .<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwaga:<br>Jeżeli zdający rozważa ciąg geometryczny (𝑎1, 𝑎𝑙, 𝑎𝑘), gdzie 𝑙 jest liczbą naturalną<br>większą od 2 i różną od 9, oraz rozwiąże zadanie konsekwentnie do końca, to może<br>otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Korzystamy ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu (𝑎𝑛) i obliczamy wyrazy 𝑎1 oraz 𝑎9:<br>𝑎1 = 3 ⋅1 + 5 = 8<br>𝑎9 = 3 ⋅9 + 5 = 32<br>Zatem iloraz trzywyrazowego ciągu geometrycznego (8, 32, 𝑎𝑘) jest równy 32<br>8 = 4.<br>Stąd:<br>𝑎𝑘= 32 ⋅4 = 128<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Obliczamy 𝑘:<br>𝑎𝑘= 128<br>3𝑘+ 5 = 128<br>3𝑘= 123<br>𝑘= 41<br>Korzystamy ze wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i obliczamy<br>sumę 𝑆41:<br>𝑆41 = 𝑎1 + 𝑎41<br>2<br>⋅41 = 8 + 128<br>2<br>⋅41 = 2788<br>Sposób II<br>Korzystamy ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu (𝑎𝑛) i zapisujemy:<br>𝑎1 = 3 ⋅1 + 5 = 8<br>𝑎9 = 3 ⋅9 + 5 = 32<br>𝑎𝑘= 3𝑘+ 5<br>Z warunków zadania wynika, że ciąg (8, 32, 3𝑘+ 5) jest geometryczny.<br>Z własności ciągu geometrycznego otrzymujemy:<br>322 = 8 ⋅(3𝑘+ 5)<br>32 ⋅4 ⋅8 = 8 ⋅(3𝑘+ 5) /∶8<br>128 = 3𝑘+ 5<br>3𝑘= 123<br>𝑘= 41<br>Korzystamy ze wzoru na sumę 𝑛 początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i obliczamy<br>sumę 𝑆41:<br>𝑆41 = 𝑎1 + 𝑎41<br>2<br>⋅41 = 8 + 128<br>2<br>⋅41 = 2788</p>","solutions":[]}