{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa","number":"34","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (0-5)\nW układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-4, -2) i 𝐵= (-2, 10) są wierzchołkami\ntrójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|. Wierzchołek 𝐶 leży na osi 𝑂𝑥\nukładu współrzędnych.\nOblicz współrzędne wierzchołka 𝐶 oraz pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶.\n\nEMAP-P0_100\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-5)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n8.1) wyznacza równanie prostej\nprzechodzącej przez dwa dane punkty\n(w postaci kierunkowej lub ogólnej);\n8.3) wyznacza równanie prostej, która jest\nrównoległa lub prostopadła do prostej danej\nw postaci kierunkowej i przechodzi przez\ndany punkt;\n8.4) oblicza współrzędne punktu przecięcia\ndwóch prostych;\n8.6) oblicza odległość dwóch punktów.\nZasady oceniania\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawne wyniki: 𝐶= (21, 0), 𝑃𝐴𝐵𝐶= 148.\n4 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐶 oraz obliczenie długości odcinka 𝐴𝐵:\n𝐶= (21, 0) oraz |𝐴𝐵| = 2√37\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝐶 oraz obliczenie długości odcinka 𝐶𝑀:\n𝐶= (21, 0) oraz |𝐶𝑀| = 4√37,\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝐶 oraz zapisanie pola trójkąta 𝐴𝐵𝐶 w zależności\nod 𝑥𝐶, np. 𝐶= (21, 0) oraz 𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ⋅|(-2 + 4)(0 + 2) -(10 + 2)(𝑥𝐶+ 4)|,\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝐶 oraz obliczenie pierwszej współrzędnej 𝑥0\npunktu przecięcia prostej 𝐴𝐵 z osią 𝑂𝑥: 𝐶= (21, 0) oraz 𝑥0 = -11\n3\n3 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐶: 𝐶= (21, 0)\nALBO\n- obliczenie długości odcinka 𝐴𝐵: |𝐴𝐵| = 2√37 oraz spełnienie jednego\nz poniższych warunków:\n1) wyznaczenie równania stopnia pierwszego symetralnej odcinka 𝐴𝐵, np.\n𝑦= -1\n6 (𝑥+ 3) + 4\n2) zapisanie równania, w którym niewiadomą jest pierwsza współrzędna\nwierzchołka 𝐶, np.:\n√(𝑥𝐶+ 4)2 + (0 + 2)2 = √(𝑥𝐶+ 2)2 + (0 -10)2\n(-1) ⋅(𝑥𝐶+ 3) + (-6) ⋅(-4) = 0\n1\n2 ⋅2√37 ⋅√𝑥𝐶\n2 + 6𝑥𝐶+ 25 = 1\n2 ⋅|(-2 + 4)(0 + 2) -(10 + 2)(𝑥𝐶+ 4)|\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nALBO\n- zapisanie pola trójkąta 𝐴𝐵𝐶 w zależności od 𝑥𝐶, np.\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ⋅|(-2 + 4)(0 + 2) -(10 + 2)(𝑥𝐶+ 4)| oraz spełnienie jednego\nz poniższych warunków:\n1) wyznaczenie równania stopnia pierwszego symetralnej odcinka 𝐴𝐵, np.\n𝑦= -1\n6 (𝑥+ 3) + 4\n2) zapisanie równania, w którym niewiadomą jest pierwsza współrzędna\nwierzchołka 𝐶, np.:\n√(𝑥𝐶+ 4)2 + (0 + 2)2 = √(𝑥𝐶+ 2)2 + (0 -10)2\n(-1) ⋅(𝑥𝐶+ 3) + (-6) ⋅(-4) = 0\n1\n2 ⋅2√37 ⋅√𝑥𝐶\n2 + 6𝑥𝐶+ 25 = 1\n2 ⋅|(-2 + 4)(0 + 2) -(10 + 2)(𝑥𝐶+ 4)|\n2 pkt - wyznaczenie równania stopnia pierwszego symetralnej odcinka 𝐴𝐵, np.\n𝑦= -1\n6 (𝑥+ 3) + 4\nALBO\n- zapisanie równania, w którym niewiadomą jest pierwsza współrzędna wierzchołka 𝐶,\nnp.:\n√(𝑥𝐶+ 4)2 + (0 + 2)2 = √(𝑥𝐶+ 2)2 + (0 -10)2\n(-1) ⋅(𝑥𝐶+ 3) + (-6) ⋅(-4) = 0\n1\n2 ⋅2√37 ⋅√𝑥𝐶\n2 + 6𝑥𝐶+ 25 = 1\n2 ⋅|(-2 + 4)(0 + 2) -(10 + 2)(𝑥𝐶+ 4)|\nALBO\n- obliczenie długości boku 𝐴𝐵: |𝐴𝐵| = 2√37 oraz spełnienie jednego z poniższych\nwarunków:\n1) zapisanie współrzędnych środka 𝑀 odcinka 𝐴𝐵: 𝑀= (-3, 4)\n2) wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐵: 𝑎𝐴𝐵= 6 (lub\nzapisanie równania prostej 𝐴𝐵 w postaci ogólnej: 6𝑥-𝑦+ 22 = 0)\n3) zapisanie 𝐶= (𝑥𝐶, 0), gdzie 𝑥𝐶 jest niewiadomą\n4) zapisanie równości |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶| w zależności od współrzędnych punktu\n𝐶= (𝑥𝐶, 𝑦𝐶), np. √(𝑥𝐶+ 4)2 + (𝑦𝐶+ 2)2 = √(𝑥𝐶+ 2)2 + (𝑦𝐶-10)2\nALBO\n- zapisanie pola trójkąta 𝐴𝐵𝐶 w zależności od współrzędnych punktu 𝐶= (𝑥𝐶, 𝑦𝐶),\nnp.: 𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ⋅|(-2 + 4)(𝑦𝐶+ 2) -(10 + 2)(𝑥𝐶+ 4)| oraz spełnienie jednego\nz poniższych warunków:\n1) zapisanie współrzędnych środka 𝑀 odcinka 𝐴𝐵: 𝑀= (-3, 4)\n2) wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐵: 𝑎𝐴𝐵= 6 (lub\nzapisanie równania prostej 𝐴𝐵 w postaci ogólnej: 6𝑥-𝑦+ 22 = 0)\n3) zapisanie 𝐶= (𝑥𝐶, 0), gdzie 𝑥𝐶 jest niewiadomą\n4) zapisanie równości |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶| w zależności od współrzędnych punktu\n𝐶= (𝑥𝐶, 𝑦𝐶), np. √(𝑥𝐶+ 4)2 + (𝑦𝐶+ 2)2 = √(𝑥𝐶+ 2)2 + (𝑦𝐶-10)2\n1 pkt - obliczenie długości boku 𝐴𝐵: |𝐴𝐵| = 2√37\nALBO\n- zapisanie pola trójkąta 𝐴𝐵𝐶 w zależności od współrzędnych punktu 𝐶= (𝑥𝐶, 𝑦𝐶),\nnp. 𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ⋅|(-2 + 4)(𝑦𝐶+ 2) -(10 + 2)(𝑥𝐶+ 4)|,\nALBO\n- zapisanie współrzędnych środka 𝑀 odcinka 𝐴𝐵: 𝑀= (-3, 4),\nALBO\n- wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐵: 𝑎𝐴𝐵= 6 (lub zapisanie\nrównania prostej 𝐴𝐵 w postaci ogólnej: 6𝑥-𝑦+ 22 = 0),\nALBO\n- zapisanie 𝐶= (𝑥𝐶, 0), gdzie 𝑥𝐶 jest niewiadomą,\nALBO\n- zapisanie równości |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶| w zależności od współrzędnych punktu\n𝐶= (𝑥𝐶, 𝑦𝐶), np. √(𝑥𝐶+ 4)2 + (𝑦𝐶+ 2)2 = √(𝑥𝐶+ 2)2 + (𝑦𝐶-10)2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający rozważa punkt 𝐶 leżący na osi 𝑂𝑥 i w rozwiązaniu popełnia tylko błędy\nrachunkowe, które nie przekreślają poprawności rozumowania, to za całe rozwiązanie\nmoże otrzymać co najwyżej 4 punkty.\n2. Jeżeli zdający rysuje w układzie współrzędnych symetralną odcinka 𝐴𝐵 i odczytuje\nwspółrzędne punktu 𝐶, i zapisuje 𝐶= (21, 0) oraz sprawdzi rachunkowo, że\n|𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|, to za tę część rozwiązania otrzymuje 3 punkty (jeżeli tego sprawdzenia nie\nwykona, to otrzymuje za tę część rozwiązania 2 punkty, a gdy odczyta błędne\nwspółrzędne punktu 𝐶, to otrzymuje 0 punktów).\n3. Jeżeli zdający nie sporządzi rysunku i zapisze tylko 𝐶= (21, 0), to otrzymuje 0 punktów;\njeżeli zdający nie sporządzi rysunku, lecz zapisze 𝐶= (21, 0) i kontynuuje rozwiązanie,\nto może otrzymać co najwyżej 2 punkty.\n4. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:\na) zastosowanie niepoprawnego wzoru na współczynnik kierunkowy prostej,\nb) zastosowanie niepoprawnego związku między współczynnikami kierunkowymi\nprostych prostopadłych,\nc) zastosowanie niepoprawnego wzoru na współrzędne środka odcinka,\nd) zastosowanie niepoprawnego warunku prostopadłości wektorów,\ne) zastosowanie niepoprawnego wzoru na odległość dwóch punktów w układzie\nwspółrzędnych,\nf) zastosowanie niepoprawnych własności symetralnej,\ng) przyjęcie, że wierzchołek 𝐶 leży poza osią 𝑂𝑥,\ni rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać\n3 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nJeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów a)-g), to otrzymuje\n0 punktów, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\n5. Jeżeli zdający rozważa dwa różne położenia punktu 𝐶 na osi 𝑂𝑥 i nie odrzuca\nniewłaściwego rozwiązania, to otrzymuje co najwyżej 4 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nObliczamy współczynnik kierunkowy prostej 𝐴𝐵:\n𝑎𝐴𝐵= 10 + 2\n-2 + 4 = 6\nZatem współczynnik kierunkowy 𝑎𝑘 symetralnej 𝑘 odcinka 𝐴𝐵 jest równy:\n𝑎𝑘= -1\n6\nSymetralna 𝑘 przechodzi przez środek 𝑀 odcinka 𝐴𝐵. Obliczamy współrzędne punktu 𝑀:\n𝑀= (-4 -2\n2\n, -2 + 10\n2\n) = (-3, 4)\nZatem prosta 𝑘 ma równanie postaci:\n𝑦= -1\n6 (𝑥+ 3) + 4\n𝑦= -1\n6 𝑥+ 7\n2\nPunkt 𝐶 jest punktem przecięcia symetralnej 𝑘 z osią 𝑂𝑥, więc współrzędne\npunktu 𝐶= (𝑥𝐶, 𝑦𝐶) spełniają równania:\n𝑦𝐶= -1\n6 𝑥𝐶+ 7\n2 oraz 𝑦𝐶= 0\nStąd otrzymujemy:\n0 = -1\n6 𝑥𝐶+ 7\n2 oraz 𝑦𝐶= 0\n𝑥𝐶= 21 oraz 𝑦𝐶= 0\nZatem 𝐶= (21, 0).\nObliczamy długość podstawy 𝐴𝐵 trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n|𝐴𝐵| = √(-2 + 4)2 + (10 + 2)2 = √22 + 122 = √4 + 144 = √148 = 2√37\nObliczamy wysokość ℎ trójkąta 𝐴𝐵𝐶 poprowadzoną z wierzchołka 𝐶:\nℎ= |𝐶𝑀| = √(-3 -21)2 + (4 -0)2 = √(-24)2 + 42 = √576 + 16 = √592 = 4√37\nObliczamy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ⋅2√37 ⋅4√37 = 4 ⋅37 = 148\nSposób II\nPonieważ wierzchołek 𝐶 leży na osi 𝑂𝑥, więc jego współrzędne są równe 𝐶= (𝑥𝐶, 0).\nPonieważ |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|, to |𝐴𝐶|2 = |𝐵𝐶|2. Stąd i ze wzoru na odległość między dwoma\npunktami otrzymujemy równanie:\n(𝑥𝐶+ 4)2 + (0 + 2)2 = (𝑥𝐶+ 2)2 + (0 -10)2\n𝑥𝐶\n2 + 8𝑥𝐶+ 16 + 4 = 𝑥𝐶\n2 + 4𝑥𝐶+ 4 + 100\n4𝑥𝐶= 84\n𝑥𝐶= 21\nZatem 𝐶= (21, 0).\nKorzystamy ze wzoru na pole trójkąta o danych współrzędnych trzech wierzchołków\ni obliczamy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ⋅|(-2 + 4)(0 + 2) -(10 + 2)(21 + 4)| = 1\n2 ⋅|4 -300| = 1\n2 ⋅296 = 148\nSposób III\nPonieważ wierzchołek 𝐶 leży na osi 𝑂𝑥, więc jego współrzędne są równe 𝐶= (𝑥𝐶, 0).\nObliczamy współrzędne środka 𝑀 odcinka 𝐴𝐵:\n𝑀= (-4 -2\n2\n, -2 + 10\n2\n) = (-3, 4)\nObliczamy współrzędne wektorów 𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ oraz 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ :\n𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4 + 3, -2 -4] = [-1, -6]\n𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [𝑥𝐶+ 3, 0 -4] = [𝑥𝐶+ 3, -4]\nWektor 𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ jest prostopadły do wektora 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , zatem:\n(-1) ⋅(𝑥𝐶+ 3) + (-6) ⋅(-4) = 0\n-𝑥𝐶-3 + 24 = 0\n𝑥𝐶= 21\nZatem 𝐶= (21, 0).\nObliczamy długość podstawy 𝐴𝐵 trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n|𝐴𝐵| = √(-2 + 4)2 + (10 + 2)2 = √22 + 122 = √4 + 144 = √148 = 2√37\nObliczamy wysokość ℎ trójkąta 𝐴𝐵𝐶 poprowadzoną z wierzchołka 𝐶:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nℎ= |𝐶𝑀| = √(-3 -21)2 + (4 -0)2 = √(-24)2 + 42 = √576 + 16 = √592 = 4√37\nObliczamy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ⋅2√37 ⋅4√37 = 4 ⋅37 = 148\nSposób IV\nObliczamy długość podstawy 𝐴𝐵 trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n|𝐴𝐵| = √(-2 + 4)2 + (10 + 2)2 = √22 + 122 = √4 + 144 = √148 = 2√37\nObliczamy współrzędne środka 𝑀 podstawy 𝐴𝐵 trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n𝑀= (-4 -2\n2\n, -2 + 10\n2\n) = (-3, 4)\nPonieważ wierzchołek 𝐶 leży na osi 𝑂𝑥, więc jego współrzędne są równe 𝐶= (𝑥𝐶, 0).\nZapisujemy wysokość ℎ trójkąta 𝐴𝐵𝐶 poprowadzoną z wierzchołka 𝐶 w zależności od 𝑥𝐶:\nℎ= |𝐶𝑀| = √(-3 -𝑥𝐶)2 + (4 -0)2 = √𝑥𝐶\n2 + 6𝑥𝐶+ 9 + 16 = √𝑥𝐶\n2 + 6𝑥𝐶+ 25\nZapisujemy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 w zależności od 𝑥𝐶:\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ= 1\n2 ⋅2√37 ⋅√𝑥𝐶\n2 + 6𝑥𝐶+ 25 = √37 ⋅√𝑥𝐶\n2 + 6𝑥𝐶+ 25\nPole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 możemy też wyrazić w zależności od 𝑥𝐶, korzystając ze wzoru na pole\ntrójkąta o danych współrzędnych trzech wierzchołków:\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ⋅|(-2 + 4)(0 + 2) -(10 + 2)(𝑥𝐶+ 4)| = 1\n2 ⋅|4 -12𝑥𝐶-48| = 2 ⋅|3𝑥𝐶+ 11|\nPo przyrównaniu otrzymanych wzorów na pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 dostajemy:\n√37 ⋅√𝑥𝐶\n2 + 6𝑥𝐶+ 25 = 2 ⋅|3𝑥𝐶+ 11|\nObie strony uzyskanego równania są dodatnie. Podnosimy obie strony równania do\nkwadratu i przekształcamy równanie do równania kwadratowego:\n37 ⋅(𝑥𝐶\n2 + 6𝑥𝐶+ 25) = 4 ⋅(3𝑥𝐶+ 11)2\n37 ⋅(𝑥𝐶\n2 + 6𝑥𝐶+ 25) = 4 ⋅(9𝑥𝐶\n2 + 66𝑥𝐶+ 121)\n37𝑥𝐶\n2 + 222𝑥𝐶+ 925 = 36𝑥𝐶\n2 + 264𝑥𝐶+ 484\n𝑥𝐶\n2 -42𝑥𝐶+ 441 = 0\n(𝑥𝐶-21)2 = 0\n𝑥𝐶= 21\nZatem 𝐶= (21, 0).\nObliczamy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 2 ⋅|3𝑥𝐶+ 11| = 2 ⋅|3 ⋅21 + 11| = 148\nSposób V\nWyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐵:\n(𝑦+ 2)(-2 + 4) -(10 + 2)(𝑥+ 4) = 0\n2𝑦+ 4 -12𝑥-48 = 0\n𝑦= 6𝑥+ 22\nZatem współczynnik kierunkowy 𝑎𝑘 symetralnej 𝑘 odcinka 𝐴𝐵 jest równy:\n𝑎𝑘= -1\n6\nSymetralna 𝑘 przechodzi przez środek 𝑀 odcinka 𝐴𝐵. Obliczamy współrzędne punktu 𝑀:\n𝑀= (-4 -2\n2\n, -2 + 10\n2\n) = (-3, 4)\nZatem prosta 𝑘 ma równanie postaci:\n𝑦= -1\n6 (𝑥+ 3) + 4\n𝑦= -1\n6 𝑥+ 7\n2\nPunkt 𝐶 jest punktem przecięcia symetralnej 𝑘 z osią 𝑂𝑥, więc współrzędne\npunktu 𝐶= (𝑥𝐶, 𝑦𝐶) spełniają równania:\n𝑦𝐶= -1\n6 𝑥𝐶+ 7\n2 oraz 𝑦𝐶= 0\nStąd otrzymujemy:\n0 = -1\n6 𝑥𝐶+ 7\n2 oraz 𝑦𝐶= 0\n𝑥𝐶= 21 oraz 𝑦𝐶= 0\nZatem 𝐶= (21, 0).\nOznaczmy przez 𝐷 punkt przecięcia prostej 𝐴𝐵 z osią 𝑂𝑥. Współrzędne\npunktu 𝐷= (𝑥𝐷, 𝑦𝐷) spełniają równania:\n𝑦𝐷= 6𝑥𝐷+ 22 oraz 𝑦𝐷= 0\nStąd otrzymujemy:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n0 = 6𝑥𝐷+ 22 oraz 𝑦𝐷= 0\n𝑥𝐷= -11\n3 oraz 𝑦𝐷= 0\nZatem 𝐷= (-11\n3 , 0).\nObliczamy długość odcinka 𝐶𝐷:\n|𝐶𝐷| = |21 -(-\n11\n3 )| =\n74\n3\nRozważmy trójkąty 𝐴𝐶𝐷 oraz 𝐷𝐶𝐵.\nWysokość trójkąta 𝐴𝐶𝐷 poprowadzona z wierzchołka 𝐴 na podstawę 𝐶𝐷 jest równa 2.\nObliczamy pole trójkąta 𝐴𝐶𝐷:\n𝑃𝐴𝐶𝐷= 1\n2 ⋅|𝐶𝐷| ⋅2 = |𝐶𝐷| = 74\n3\nWysokość trójkąta 𝐷𝐶𝐵 poprowadzona z wierzchołka 𝐵 na podstawę 𝐶𝐷 jest równa 10.\nObliczamy pole trójkąta 𝐷𝐶𝐵:\n𝑃𝐷𝐶𝐵= 1\n2 ⋅|𝐶𝐷| ⋅10 = 5 ⋅|𝐶𝐷| = 5 ⋅74\n3 = 370\n3\nObliczamy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 𝑃𝐴𝐶𝐷+ 𝑃𝐷𝐶𝐵= 74\n3 + 370\n3\n= 444\n3\n= 148\nOcena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nObowiązują Zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez\nstwierdzonej dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\na) ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią (punkty 1.-12.);\nb) dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy\nosób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom podstawowy,\ntermin główny 2026.\nI. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek wynikających z:\nbłędnego przepisania\nprzestawienia cyfr\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie\nprzestawienia położenia przecinka\nprzestawienia położenia znaku liczby.\n2. W przypadku błędów wynikających ze zmiany znaku liczby należy w każdym zadaniu\noddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę rozwiązania,\nczęści lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej 1 punkt, zgodnie\nz kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub zapisuje\nnawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne rozumowanie lub\nstosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt za rozwiązanie\nzadania.\n5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.\n6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności\nkwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.\n7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji kwadratowej,\nistotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.\n8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych\nlub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie\ntakiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych, lub zapisze zależności pozwalające rozwiązać zadanie.\n10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających\nrozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje prawidłową metodę\nwyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.\n11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.\n12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub\ngeometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która\nwyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać\n1 punkt.\nII. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób\nze stwierdzoną dyskalkulią\nZadanie 26.\n1 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego\n3𝑥2 -2𝑥-8, tzn. zastosowanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego\ni obliczenie tych pierwiastków,\nALBO\n- konsekwentne (do otrzymanego w wyniku popełnienia błędów o charakterze\ndyskalkulicznym ujemnego lub równego zero wyróżnika) narysowanie paraboli,\nALBO\n- poprawne rozwiązanie nierówności 3𝑥2 + 4𝑥≥0 (tzn. stosuje się punkt 6.\nogólnych zasad oceniania),\nALBO\n- konsekwentne (do wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz do rozpatrywanego\ntrójmianu i nierówności) wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności.\nUwagi:\n1. Nie stosuje się uwag 3., 4. i 5. z zasad oceniania arkusza standardowego.\n2. Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎+ 𝑏√𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są\nliczbami wymiernymi.\nZadanie 27.\n1 pkt - przekształcenie nierówności 𝑎(𝑎-𝑏) ≥𝑏(𝑎-3𝑏) do postaci 𝑎2 -2𝑎𝑏+ 3𝑏2 ≥0.\nZadanie 28.\n1 pkt - zapisanie równania 0,75 ⋅(35𝑥+ 25𝑦) = 4665\nALBO\n- obliczenie przychodu organizatorów przedstawienia: 6220 zł.\nZadanie 29.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 30.\n1 pkt - zastosowanie definicji funkcji trygonometrycznej lub związków miarowych w trójkącie\no kątach 30°, 60°, 90° i zapisanie równania z jedną niewiadomą (wysokością\nostrosłupa), np.: 𝐻\n4√3 = tg 30°, 𝐻\n4√3 =\n√3\n3 ,\nALBO\n- obliczenie długości krawędzi podstawy ostrosłupa: 𝑎= 4√6.\nZadanie 31.\n1 pkt - zapisanie jedynie liczby 25 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich\nzdarzeń elementarnych).\nUwagi:\n1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi ze\nstandardowych zasad oceniania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające\nzdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. |𝐴| = 8) i konsekwentnie zapisze\nwynik (np. 8\n25), to otrzymuje 2 punkty.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZadanie 32.\n2 pkt - zapisanie miejsc zerowych funkcji 𝑓: 𝑥1 = 1, 𝑥2 = 5,\nALBO\n- zapisanie wzoru funkcji 𝑔 w postaci 𝑔(𝑥) = 𝑎(𝑥-2)2 -2,\nALBO\n- zapisanie wzoru funkcji 𝑔 w postaci 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥(𝑥-4),\nALBO\n- zapisanie, że wierzchołkiem wykresu funkcji 𝑔 jest punkt o współrzędnych (2, -2),\noraz zapisanie, że drugim miejscem zerowym funkcji 𝑔 jest liczba 4.\n1 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-𝑝)2 + 𝑞 oraz zapisanie\n𝑝= 3 oraz 𝑞= -2\nALBO\n- zapisanie jednego z równań:\n-𝑏\n2𝑎= 3\n-∆\n4𝑎= -2\n𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= -2\n𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0\nZadanie 33.\n2 pkt - obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego (𝑎1, 𝑎9, 𝑎𝑘): 𝑞= 4.\nALBO\n- obliczenie wyrazów 𝑎1 oraz 𝑎9: 𝑎1 = 8, 𝑎9 = 32, oraz wykorzystanie własności\nciągu geometrycznego i zapisanie związku między wyrazami 𝑎1\n, 𝑎9\n, 𝑎𝑘\n, np.\n(𝑎9)2 = 𝑎1 ⋅𝑎𝑘 .\n1 pkt - obliczenie wyrazu 𝑎1: 𝑎1 = 8\nALBO\n- obliczenie wyrazu 𝑎9: 𝑎9 = 32.\nZadanie 34.\n1 pkt - zapisanie drugiej współrzędnej punktu 𝐶, np. 𝑦𝐶= 0.","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":32,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 34. (0-5)<br>W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-4, -2) i 𝐵= (-2, 10) są wierzchołkami<br>trójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|. Wierzchołek 𝐶 leży na osi 𝑂𝑥<br>układu współrzędnych.<br>Oblicz współrzędne wierzchołka 𝐶 oraz pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶.</p>\n<p>EMAP-P0_100</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>EMAP-P0_100</p>\n<p>MATEMATYKA<br>Poziom podstawowy<br>Formuła 2015<br>MATEMATYKA<br>Poziom podstawowy<br>Formuła 2015<br>MATEMATYKA<br>Poziom podstawowy<br>Formuła 2015</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 34. (0-5)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>IV. Użycie i tworzenie strategii.<br>Zdający:<br>8.1) wyznacza równanie prostej<br>przechodzącej przez dwa dane punkty<br>(w postaci kierunkowej lub ogólnej);<br>8.3) wyznacza równanie prostej, która jest<br>równoległa lub prostopadła do prostej danej<br>w postaci kierunkowej i przechodzi przez<br>dany punkt;<br>8.4) oblicza współrzędne punktu przecięcia<br>dwóch prostych;<br>8.6) oblicza odległość dwóch punktów.<br>Zasady oceniania<br>5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawne wyniki: 𝐶= (21, 0), 𝑃𝐴𝐵𝐶= 148.<br>4 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐶 oraz obliczenie długości odcinka 𝐴𝐵:<br>𝐶= (21, 0) oraz |𝐴𝐵| = 2√37<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie współrzędnych punktu 𝐶 oraz obliczenie długości odcinka 𝐶𝑀:</li></ul>\n<p>𝐶= (21, 0) oraz |𝐶𝑀| = 4√37,<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie współrzędnych punktu 𝐶 oraz zapisanie pola trójkąta 𝐴𝐵𝐶 w zależności</li></ul>\n<p>od 𝑥𝐶, np. 𝐶= (21, 0) oraz 𝑃𝐴𝐵𝐶= 1<br>2 ⋅|(-2 + 4)(0 + 2) -(10 + 2)(𝑥𝐶+ 4)|,<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie współrzędnych punktu 𝐶 oraz obliczenie pierwszej współrzędnej 𝑥0</li></ul>\n<p>punktu przecięcia prostej 𝐴𝐵 z osią 𝑂𝑥: 𝐶= (21, 0) oraz 𝑥0 = -11<br>3<br>3 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐶: 𝐶= (21, 0)<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie długości odcinka 𝐴𝐵: |𝐴𝐵| = 2√37 oraz spełnienie jednego</li></ul>\n<p>z poniższych warunków:</p>\n<ol><li>wyznaczenie równania stopnia pierwszego symetralnej odcinka 𝐴𝐵, np.</li></ol>\n<p>𝑦= -1<br>6 (𝑥+ 3) + 4</p>\n<ol><li>zapisanie równania, w którym niewiadomą jest pierwsza współrzędna</li></ol>\n<p>wierzchołka 𝐶, np.:<br>√(𝑥𝐶+ 4)2 + (0 + 2)2 = √(𝑥𝐶+ 2)2 + (0 -10)2<br>(-1) ⋅(𝑥𝐶+ 3) + (-6) ⋅(-4) = 0<br>1<br>2 ⋅2√37 ⋅√𝑥𝐶<br>2 + 6𝑥𝐶+ 25 = 1<br>2 ⋅|(-2 + 4)(0 + 2) -(10 + 2)(𝑥𝐶+ 4)|<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie pola trójkąta 𝐴𝐵𝐶 w zależności od 𝑥𝐶, np.</li></ul>\n<p>𝑃𝐴𝐵𝐶= 1<br>2 ⋅|(-2 + 4)(0 + 2) -(10 + 2)(𝑥𝐶+ 4)| oraz spełnienie jednego<br>z poniższych warunków:</p>\n<ol><li>wyznaczenie równania stopnia pierwszego symetralnej odcinka 𝐴𝐵, np.</li></ol>\n<p>𝑦= -1<br>6 (𝑥+ 3) + 4</p>\n<ol><li>zapisanie równania, w którym niewiadomą jest pierwsza współrzędna</li></ol>\n<p>wierzchołka 𝐶, np.:<br>√(𝑥𝐶+ 4)2 + (0 + 2)2 = √(𝑥𝐶+ 2)2 + (0 -10)2<br>(-1) ⋅(𝑥𝐶+ 3) + (-6) ⋅(-4) = 0<br>1<br>2 ⋅2√37 ⋅√𝑥𝐶<br>2 + 6𝑥𝐶+ 25 = 1<br>2 ⋅|(-2 + 4)(0 + 2) -(10 + 2)(𝑥𝐶+ 4)|<br>2 pkt - wyznaczenie równania stopnia pierwszego symetralnej odcinka 𝐴𝐵, np.<br>𝑦= -1<br>6 (𝑥+ 3) + 4<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równania, w którym niewiadomą jest pierwsza współrzędna wierzchołka 𝐶,</li></ul>\n<p>np.:<br>√(𝑥𝐶+ 4)2 + (0 + 2)2 = √(𝑥𝐶+ 2)2 + (0 -10)2<br>(-1) ⋅(𝑥𝐶+ 3) + (-6) ⋅(-4) = 0<br>1<br>2 ⋅2√37 ⋅√𝑥𝐶<br>2 + 6𝑥𝐶+ 25 = 1<br>2 ⋅|(-2 + 4)(0 + 2) -(10 + 2)(𝑥𝐶+ 4)|<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie długości boku 𝐴𝐵: |𝐴𝐵| = 2√37 oraz spełnienie jednego z poniższych</li></ul>\n<p>warunków:</p>\n<ol><li>zapisanie współrzędnych środka 𝑀 odcinka 𝐴𝐵: 𝑀= (-3, 4)</li><li>wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐵: 𝑎𝐴𝐵= 6 (lub</li></ol>\n<p>zapisanie równania prostej 𝐴𝐵 w postaci ogólnej: 6𝑥-𝑦+ 22 = 0)</p>\n<ol><li>zapisanie 𝐶= (𝑥𝐶, 0), gdzie 𝑥𝐶 jest niewiadomą</li><li>zapisanie równości |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶| w zależności od współrzędnych punktu</li></ol>\n<p>𝐶= (𝑥𝐶, 𝑦𝐶), np. √(𝑥𝐶+ 4)2 + (𝑦𝐶+ 2)2 = √(𝑥𝐶+ 2)2 + (𝑦𝐶-10)2<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie pola trójkąta 𝐴𝐵𝐶 w zależności od współrzędnych punktu 𝐶= (𝑥𝐶, 𝑦𝐶),</li></ul>\n<p>np.: 𝑃𝐴𝐵𝐶= 1<br>2 ⋅|(-2 + 4)(𝑦𝐶+ 2) -(10 + 2)(𝑥𝐶+ 4)| oraz spełnienie jednego<br>z poniższych warunków:</p>\n<ol><li>zapisanie współrzędnych środka 𝑀 odcinka 𝐴𝐵: 𝑀= (-3, 4)</li><li>wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐵: 𝑎𝐴𝐵= 6 (lub</li></ol>\n<p>zapisanie równania prostej 𝐴𝐵 w postaci ogólnej: 6𝑥-𝑦+ 22 = 0)</p>\n<ol><li>zapisanie 𝐶= (𝑥𝐶, 0), gdzie 𝑥𝐶 jest niewiadomą</li><li>zapisanie równości |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶| w zależności od współrzędnych punktu</li></ol>\n<p>𝐶= (𝑥𝐶, 𝑦𝐶), np. √(𝑥𝐶+ 4)2 + (𝑦𝐶+ 2)2 = √(𝑥𝐶+ 2)2 + (𝑦𝐶-10)2<br>1 pkt - obliczenie długości boku 𝐴𝐵: |𝐴𝐵| = 2√37<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie pola trójkąta 𝐴𝐵𝐶 w zależności od współrzędnych punktu 𝐶= (𝑥𝐶, 𝑦𝐶),</li></ul>\n<p>np. 𝑃𝐴𝐵𝐶= 1<br>2 ⋅|(-2 + 4)(𝑦𝐶+ 2) -(10 + 2)(𝑥𝐶+ 4)|,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie współrzędnych środka 𝑀 odcinka 𝐴𝐵: 𝑀= (-3, 4),</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej 𝐴𝐵: 𝑎𝐴𝐵= 6 (lub zapisanie</li></ul>\n<p>równania prostej 𝐴𝐵 w postaci ogólnej: 6𝑥-𝑦+ 22 = 0),<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie 𝐶= (𝑥𝐶, 0), gdzie 𝑥𝐶 jest niewiadomą,</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równości |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶| w zależności od współrzędnych punktu</li></ul>\n<p>𝐶= (𝑥𝐶, 𝑦𝐶), np. √(𝑥𝐶+ 4)2 + (𝑦𝐶+ 2)2 = √(𝑥𝐶+ 2)2 + (𝑦𝐶-10)2.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający rozważa punkt 𝐶 leżący na osi 𝑂𝑥 i w rozwiązaniu popełnia tylko błędy</li></ol>\n<p>rachunkowe, które nie przekreślają poprawności rozumowania, to za całe rozwiązanie<br>może otrzymać co najwyżej 4 punkty.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający rysuje w układzie współrzędnych symetralną odcinka 𝐴𝐵 i odczytuje</li></ol>\n<p>współrzędne punktu 𝐶, i zapisuje 𝐶= (21, 0) oraz sprawdzi rachunkowo, że<br>|𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|, to za tę część rozwiązania otrzymuje 3 punkty (jeżeli tego sprawdzenia nie<br>wykona, to otrzymuje za tę część rozwiązania 2 punkty, a gdy odczyta błędne<br>współrzędne punktu 𝐶, to otrzymuje 0 punktów).</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający nie sporządzi rysunku i zapisze tylko 𝐶= (21, 0), to otrzymuje 0 punktów;</li></ol>\n<p>jeżeli zdający nie sporządzi rysunku, lecz zapisze 𝐶= (21, 0) i kontynuuje rozwiązanie,<br>to może otrzymać co najwyżej 2 punkty.</p>\n<ol><li>Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:</li></ol>\n<p>a) zastosowanie niepoprawnego wzoru na współczynnik kierunkowy prostej,<br>b) zastosowanie niepoprawnego związku między współczynnikami kierunkowymi<br>prostych prostopadłych,<br>c) zastosowanie niepoprawnego wzoru na współrzędne środka odcinka,<br>d) zastosowanie niepoprawnego warunku prostopadłości wektorów,<br>e) zastosowanie niepoprawnego wzoru na odległość dwóch punktów w układzie<br>współrzędnych,<br>f) zastosowanie niepoprawnych własności symetralnej,<br>g) przyjęcie, że wierzchołek 𝐶 leży poza osią 𝑂𝑥,<br>i rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać<br>3 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Jeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów a)-g), to otrzymuje<br>0 punktów, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający rozważa dwa różne położenia punktu 𝐶 na osi 𝑂𝑥 i nie odrzuca</li></ol>\n<p>niewłaściwego rozwiązania, to otrzymuje co najwyżej 4 punkty.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej 𝐴𝐵:<br>𝑎𝐴𝐵= 10 + 2<br>-2 + 4 = 6<br>Zatem współczynnik kierunkowy 𝑎𝑘 symetralnej 𝑘 odcinka 𝐴𝐵 jest równy:<br>𝑎𝑘= -1<br>6<br>Symetralna 𝑘 przechodzi przez środek 𝑀 odcinka 𝐴𝐵. Obliczamy współrzędne punktu 𝑀:<br>𝑀= (-4 -2<br>2<br>, -2 + 10<br>2<br>) = (-3, 4)<br>Zatem prosta 𝑘 ma równanie postaci:<br>𝑦= -1<br>6 (𝑥+ 3) + 4<br>𝑦= -1<br>6 𝑥+ 7<br>2<br>Punkt 𝐶 jest punktem przecięcia symetralnej 𝑘 z osią 𝑂𝑥, więc współrzędne<br>punktu 𝐶= (𝑥𝐶, 𝑦𝐶) spełniają równania:<br>𝑦𝐶= -1<br>6 𝑥𝐶+ 7<br>2 oraz 𝑦𝐶= 0<br>Stąd otrzymujemy:<br>0 = -1<br>6 𝑥𝐶+ 7<br>2 oraz 𝑦𝐶= 0<br>𝑥𝐶= 21 oraz 𝑦𝐶= 0<br>Zatem 𝐶= (21, 0).<br>Obliczamy długość podstawy 𝐴𝐵 trójkąta 𝐴𝐵𝐶:<br>|𝐴𝐵| = √(-2 + 4)2 + (10 + 2)2 = √22 + 122 = √4 + 144 = √148 = 2√37<br>Obliczamy wysokość ℎ trójkąta 𝐴𝐵𝐶 poprowadzoną z wierzchołka 𝐶:<br>ℎ= |𝐶𝑀| = √(-3 -21)2 + (4 -0)2 = √(-24)2 + 42 = √576 + 16 = √592 = 4√37<br>Obliczamy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶:<br>𝑃𝐴𝐵𝐶= 1<br>2 ⋅2√37 ⋅4√37 = 4 ⋅37 = 148<br>Sposób II<br>Ponieważ wierzchołek 𝐶 leży na osi 𝑂𝑥, więc jego współrzędne są równe 𝐶= (𝑥𝐶, 0).<br>Ponieważ |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|, to |𝐴𝐶|2 = |𝐵𝐶|2. Stąd i ze wzoru na odległość między dwoma<br>punktami otrzymujemy równanie:<br>(𝑥𝐶+ 4)2 + (0 + 2)2 = (𝑥𝐶+ 2)2 + (0 -10)2<br>𝑥𝐶<br>2 + 8𝑥𝐶+ 16 + 4 = 𝑥𝐶<br>2 + 4𝑥𝐶+ 4 + 100<br>4𝑥𝐶= 84<br>𝑥𝐶= 21<br>Zatem 𝐶= (21, 0).<br>Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta o danych współrzędnych trzech wierzchołków<br>i obliczamy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶:<br>𝑃𝐴𝐵𝐶= 1<br>2 ⋅|(-2 + 4)(0 + 2) -(10 + 2)(21 + 4)| = 1<br>2 ⋅|4 -300| = 1<br>2 ⋅296 = 148<br>Sposób III<br>Ponieważ wierzchołek 𝐶 leży na osi 𝑂𝑥, więc jego współrzędne są równe 𝐶= (𝑥𝐶, 0).<br>Obliczamy współrzędne środka 𝑀 odcinka 𝐴𝐵:<br>𝑀= (-4 -2<br>2<br>, -2 + 10<br>2<br>) = (-3, 4)<br>Obliczamy współrzędne wektorów 𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ oraz 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ :<br>𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4 + 3, -2 -4] = [-1, -6]<br>𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [𝑥𝐶+ 3, 0 -4] = [𝑥𝐶+ 3, -4]<br>Wektor 𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ jest prostopadły do wektora 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , zatem:<br>(-1) ⋅(𝑥𝐶+ 3) + (-6) ⋅(-4) = 0<br>-𝑥𝐶-3 + 24 = 0<br>𝑥𝐶= 21<br>Zatem 𝐶= (21, 0).<br>Obliczamy długość podstawy 𝐴𝐵 trójkąta 𝐴𝐵𝐶:<br>|𝐴𝐵| = √(-2 + 4)2 + (10 + 2)2 = √22 + 122 = √4 + 144 = √148 = 2√37<br>Obliczamy wysokość ℎ trójkąta 𝐴𝐵𝐶 poprowadzoną z wierzchołka 𝐶:<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>ℎ= |𝐶𝑀| = √(-3 -21)2 + (4 -0)2 = √(-24)2 + 42 = √576 + 16 = √592 = 4√37<br>Obliczamy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶:<br>𝑃𝐴𝐵𝐶= 1<br>2 ⋅2√37 ⋅4√37 = 4 ⋅37 = 148<br>Sposób IV<br>Obliczamy długość podstawy 𝐴𝐵 trójkąta 𝐴𝐵𝐶:<br>|𝐴𝐵| = √(-2 + 4)2 + (10 + 2)2 = √22 + 122 = √4 + 144 = √148 = 2√37<br>Obliczamy współrzędne środka 𝑀 podstawy 𝐴𝐵 trójkąta 𝐴𝐵𝐶:<br>𝑀= (-4 -2<br>2<br>, -2 + 10<br>2<br>) = (-3, 4)<br>Ponieważ wierzchołek 𝐶 leży na osi 𝑂𝑥, więc jego współrzędne są równe 𝐶= (𝑥𝐶, 0).<br>Zapisujemy wysokość ℎ trójkąta 𝐴𝐵𝐶 poprowadzoną z wierzchołka 𝐶 w zależności od 𝑥𝐶:<br>ℎ= |𝐶𝑀| = √(-3 -𝑥𝐶)2 + (4 -0)2 = √𝑥𝐶<br>2 + 6𝑥𝐶+ 9 + 16 = √𝑥𝐶<br>2 + 6𝑥𝐶+ 25<br>Zapisujemy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 w zależności od 𝑥𝐶:<br>𝑃𝐴𝐵𝐶= 1<br>2 ⋅|𝐴𝐵| ⋅ℎ= 1<br>2 ⋅2√37 ⋅√𝑥𝐶<br>2 + 6𝑥𝐶+ 25 = √37 ⋅√𝑥𝐶<br>2 + 6𝑥𝐶+ 25<br>Pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 możemy też wyrazić w zależności od 𝑥𝐶, korzystając ze wzoru na pole<br>trójkąta o danych współrzędnych trzech wierzchołków:<br>𝑃𝐴𝐵𝐶= 1<br>2 ⋅|(-2 + 4)(0 + 2) -(10 + 2)(𝑥𝐶+ 4)| = 1<br>2 ⋅|4 -12𝑥𝐶-48| = 2 ⋅|3𝑥𝐶+ 11|<br>Po przyrównaniu otrzymanych wzorów na pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 dostajemy:<br>√37 ⋅√𝑥𝐶<br>2 + 6𝑥𝐶+ 25 = 2 ⋅|3𝑥𝐶+ 11|<br>Obie strony uzyskanego równania są dodatnie. Podnosimy obie strony równania do<br>kwadratu i przekształcamy równanie do równania kwadratowego:<br>37 ⋅(𝑥𝐶<br>2 + 6𝑥𝐶+ 25) = 4 ⋅(3𝑥𝐶+ 11)2<br>37 ⋅(𝑥𝐶<br>2 + 6𝑥𝐶+ 25) = 4 ⋅(9𝑥𝐶<br>2 + 66𝑥𝐶+ 121)<br>37𝑥𝐶<br>2 + 222𝑥𝐶+ 925 = 36𝑥𝐶<br>2 + 264𝑥𝐶+ 484<br>𝑥𝐶<br>2 -42𝑥𝐶+ 441 = 0<br>(𝑥𝐶-21)2 = 0<br>𝑥𝐶= 21<br>Zatem 𝐶= (21, 0).<br>Obliczamy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶:<br>𝑃𝐴𝐵𝐶= 2 ⋅|3𝑥𝐶+ 11| = 2 ⋅|3 ⋅21 + 11| = 148<br>Sposób V<br>Wyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐵:<br>(𝑦+ 2)(-2 + 4) -(10 + 2)(𝑥+ 4) = 0<br>2𝑦+ 4 -12𝑥-48 = 0<br>𝑦= 6𝑥+ 22<br>Zatem współczynnik kierunkowy 𝑎𝑘 symetralnej 𝑘 odcinka 𝐴𝐵 jest równy:<br>𝑎𝑘= -1<br>6<br>Symetralna 𝑘 przechodzi przez środek 𝑀 odcinka 𝐴𝐵. Obliczamy współrzędne punktu 𝑀:<br>𝑀= (-4 -2<br>2<br>, -2 + 10<br>2<br>) = (-3, 4)<br>Zatem prosta 𝑘 ma równanie postaci:<br>𝑦= -1<br>6 (𝑥+ 3) + 4<br>𝑦= -1<br>6 𝑥+ 7<br>2<br>Punkt 𝐶 jest punktem przecięcia symetralnej 𝑘 z osią 𝑂𝑥, więc współrzędne<br>punktu 𝐶= (𝑥𝐶, 𝑦𝐶) spełniają równania:<br>𝑦𝐶= -1<br>6 𝑥𝐶+ 7<br>2 oraz 𝑦𝐶= 0<br>Stąd otrzymujemy:<br>0 = -1<br>6 𝑥𝐶+ 7<br>2 oraz 𝑦𝐶= 0<br>𝑥𝐶= 21 oraz 𝑦𝐶= 0<br>Zatem 𝐶= (21, 0).<br>Oznaczmy przez 𝐷 punkt przecięcia prostej 𝐴𝐵 z osią 𝑂𝑥. Współrzędne<br>punktu 𝐷= (𝑥𝐷, 𝑦𝐷) spełniają równania:<br>𝑦𝐷= 6𝑥𝐷+ 22 oraz 𝑦𝐷= 0<br>Stąd otrzymujemy:<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>0 = 6𝑥𝐷+ 22 oraz 𝑦𝐷= 0<br>𝑥𝐷= -11<br>3 oraz 𝑦𝐷= 0<br>Zatem 𝐷= (-11<br>3 , 0).<br>Obliczamy długość odcinka 𝐶𝐷:<br>|𝐶𝐷| = |21 -(-<br>11<br>3 )| =<br>74<br>3<br>Rozważmy trójkąty 𝐴𝐶𝐷 oraz 𝐷𝐶𝐵.<br>Wysokość trójkąta 𝐴𝐶𝐷 poprowadzona z wierzchołka 𝐴 na podstawę 𝐶𝐷 jest równa 2.<br>Obliczamy pole trójkąta 𝐴𝐶𝐷:<br>𝑃𝐴𝐶𝐷= 1<br>2 ⋅|𝐶𝐷| ⋅2 = |𝐶𝐷| = 74<br>3<br>Wysokość trójkąta 𝐷𝐶𝐵 poprowadzona z wierzchołka 𝐵 na podstawę 𝐶𝐷 jest równa 10.<br>Obliczamy pole trójkąta 𝐷𝐶𝐵:<br>𝑃𝐷𝐶𝐵= 1<br>2 ⋅|𝐶𝐷| ⋅10 = 5 ⋅|𝐶𝐷| = 5 ⋅74<br>3 = 370<br>3<br>Obliczamy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶:<br>𝑃𝐴𝐵𝐶= 𝑃𝐴𝐶𝐷+ 𝑃𝐷𝐶𝐵= 74<br>3 + 370<br>3<br>= 444<br>3<br>= 148<br>Ocena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią<br>Obowiązują Zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez<br>stwierdzonej dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:<br>a) ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną<br>dyskalkulią (punkty 1.-12.);<br>b) dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy<br>osób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom podstawowy,<br>termin główny 2026.<br>I. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną<br>dyskalkulią</p>\n<ol><li>Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek wynikających z:</li></ol>\n<p>błędnego przepisania<br>przestawienia cyfr<br>zapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie<br>przestawienia położenia przecinka<br>przestawienia położenia znaku liczby.</p>\n<ol><li>W przypadku błędów wynikających ze zmiany znaku liczby należy w każdym zadaniu</li></ol>\n<p>oddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza<br>umiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania<br>badanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.</p>\n<ol><li>We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę rozwiązania,</li></ol>\n<p>części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej 1 punkt, zgodnie<br>z kryteriami do poszczególnych zadań.</p>\n<ol><li>Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub zapisuje</li></ol>\n<p>nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne rozumowanie lub<br>stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt za rozwiązanie<br>zadania.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu</li></ol>\n<p>kwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę<br>wyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania<br>wartościach liczbowych.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający</li></ol>\n<p>może otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności<br>kwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej zdający</li></ol>\n<p>może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji kwadratowej,<br>istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych</li></ol>\n<p>lub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie<br>takiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na</li></ol>\n<p>płaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu<br>rozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur<br>geometrycznych, lub zapisze zależności pozwalające rozwiązać zadanie.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać</li></ol>\n<p>przynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających<br>rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje prawidłową metodę<br>wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli</li></ol>\n<p>podaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia<br>rozwiązania.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub</li></ol>\n<p>geometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która<br>wyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać<br>1 punkt.<br>II. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób<br>ze stwierdzoną dyskalkulią<br>Zadanie 26.<br>1 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego<br>3𝑥2 -2𝑥-8, tzn. zastosowanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego<br>i obliczenie tych pierwiastków,<br>ALBO</p>\n<ul><li>konsekwentne (do otrzymanego w wyniku popełnienia błędów o charakterze</li></ul>\n<p>dyskalkulicznym ujemnego lub równego zero wyróżnika) narysowanie paraboli,<br>ALBO</p>\n<ul><li>poprawne rozwiązanie nierówności 3𝑥2 + 4𝑥≥0 (tzn. stosuje się punkt 6.</li></ul>\n<p>ogólnych zasad oceniania),<br>ALBO</p>\n<ul><li>konsekwentne (do wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz do rozpatrywanego</li></ul>\n<p>trójmianu i nierówności) wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Nie stosuje się uwag 3., 4. i 5. z zasad oceniania arkusza standardowego.</li><li>Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎+ 𝑏√𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są</li></ol>\n<p>liczbami wymiernymi.<br>Zadanie 27.<br>1 pkt - przekształcenie nierówności 𝑎(𝑎-𝑏) ≥𝑏(𝑎-3𝑏) do postaci 𝑎2 -2𝑎𝑏+ 3𝑏2 ≥0.<br>Zadanie 28.<br>1 pkt - zapisanie równania 0,75 ⋅(35𝑥+ 25𝑦) = 4665<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie przychodu organizatorów przedstawienia: 6220 zł.</li></ul>\n<p>Zadanie 29.<br>Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.<br>Zadanie 30.<br>1 pkt - zastosowanie definicji funkcji trygonometrycznej lub związków miarowych w trójkącie<br>o kątach 30°, 60°, 90° i zapisanie równania z jedną niewiadomą (wysokością<br>ostrosłupa), np.: 𝐻<br>4√3 = tg 30°, 𝐻<br>4√3 =<br>√3<br>3 ,<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie długości krawędzi podstawy ostrosłupa: 𝑎= 4√6.</li></ul>\n<p>Zadanie 31.<br>1 pkt - zapisanie jedynie liczby 25 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich<br>zdarzeń elementarnych).<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi ze</li></ol>\n<p>standardowych zasad oceniania.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające</li></ol>\n<p>zdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. |𝐴| = 8) i konsekwentnie zapisze<br>wynik (np. 8<br>25), to otrzymuje 2 punkty.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Zadanie 32.<br>2 pkt - zapisanie miejsc zerowych funkcji 𝑓: 𝑥1 = 1, 𝑥2 = 5,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie wzoru funkcji 𝑔 w postaci 𝑔(𝑥) = 𝑎(𝑥-2)2 -2,</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie wzoru funkcji 𝑔 w postaci 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥(𝑥-4),</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie, że wierzchołkiem wykresu funkcji 𝑔 jest punkt o współrzędnych (2, -2),</li></ul>\n<p>oraz zapisanie, że drugim miejscem zerowym funkcji 𝑔 jest liczba 4.<br>1 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-𝑝)2 + 𝑞 oraz zapisanie<br>𝑝= 3 oraz 𝑞= -2<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie jednego z równań:</li></ul>\n<p>-𝑏<br>2𝑎= 3<br>-∆<br>4𝑎= -2<br>𝑎⋅32 + 𝑏⋅3 + 𝑐= -2<br>𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0<br>Zadanie 33.<br>2 pkt - obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego (𝑎1, 𝑎9, 𝑎𝑘): 𝑞= 4.<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie wyrazów 𝑎1 oraz 𝑎9: 𝑎1 = 8, 𝑎9 = 32, oraz wykorzystanie własności</li></ul>\n<p>ciągu geometrycznego i zapisanie związku między wyrazami 𝑎1<br>, 𝑎9<br>, 𝑎𝑘<br>, np.<br>(𝑎9)2 = 𝑎1 ⋅𝑎𝑘 .<br>1 pkt - obliczenie wyrazu 𝑎1: 𝑎1 = 8<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie wyrazu 𝑎9: 𝑎9 = 32.</li></ul>\n<p>Zadanie 34.<br>1 pkt - zapisanie drugiej współrzędnej punktu 𝐶, np. 𝑦𝐶= 0.</p>","solutions":[]}