{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-4)\nRozwiąż równanie\nsin(6𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n6.6R) rozwiązuje równania i nierówności\ntrygonometryczne […].\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik, np.: 𝜋𝑘\n2 oraz -𝜋\n12 + 𝜋𝑘\n2 oraz\n𝜋\n12 + 𝜋𝑘\n2 , gdzie 𝑘∈ℤ.\n3 pkt - przekształcenie równania do postaci alternatywy równań trygonometrycznych\ni rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy, np.:\n(sin(2𝑥) = 0 lub cos2(2𝑥) = 3\n4 ) oraz\n𝑥= 𝜋𝑘\n2 (rozwiązania równania sin(2𝑥) = 0)\n(sin(2𝑥) = 0 lub cos(2𝑥) = -\n√3\n2 lub cos(2𝑥) =\n√3\n2 ) oraz\n𝑥= -5𝜋\n12 + 𝜋𝑘 oraz 𝑥= 5𝜋\n12 + 𝜋𝑘 (rozwiązania równania cos(2𝑥) = -\n√3\n2 )\n(sin(2𝑥) = 0 lub cos(4𝑥) = 1\n2 ) oraz\n𝑥= -𝜋\n12 + 𝜋𝑘\n2 oraz 𝑥= 𝜋\n12 + 𝜋𝑘\n2 (rozwiązania równania cos(4𝑥) = 1\n2)\n(sin(2𝑥) = 0 lub sin(2𝑥) = -1\n2 lub sin(2𝑥) = 1\n2 ) oraz\n𝑥= -𝜋\n12 + 𝜋𝑘 oraz 𝑥= -5𝜋\n12 + 𝜋𝑘 (rozwiązania równania sin(2𝑥) = -1\n2),\ngdzie 𝑘∈ℤ.\n2 pkt - przekształcenie równania do postaci alternatywy równań trygonometrycznych, np.:\nsin(2𝑥) = 0 lub cos2(2𝑥) = 3\n4 ,\nsin(2𝑥) = 0 lub cos(2𝑥) = -\n√3\n2 lub cos(2𝑥) =\n√3\n2 ,\nsin(2𝑥) = 0 lub 2 cos(4𝑥) -1 = 0,\nsin(2𝑥) = 0 lub 4 sin2(2𝑥) -1 = 0.\n1 pkt - zastosowanie wzoru na sinus sumy i przekształcenie równania do postaci\nsin(4𝑥) cos(2𝑥) + cos(4𝑥) sin(2𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 (dla sposobu I)\nALBO\n- zastosowanie wzoru na różnicę sinusów i przekształcenie równania do postaci\n2 cos(4𝑥) sin(2𝑥) -sin(2𝑥) = 0 (dla sposobu II),\nALBO\n- zastosowanie wzoru na sinus potrojonego kąta i przekształcenie równania do postaci\n-4 sin3(2𝑥) + 3 sin(2𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 (dla sposobu III).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. a) Jeżeli zdający popełni błędy, które nie są rachunkowe, nie zrealizuje wymagań\nz kryterium za 1 punkt, przekształci równanie do postaci sin(2𝑥) ⋅𝑓(𝑥) = 0, to może\notrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie (za rozwiązanie równania\nsin(2𝑥) = 0).\nb) Jeżeli zdający zrealizuje wymagania z kryterium za 1 punkt, a następnie popełni błędy,\nktóre nie są rachunkowe, przekształci równanie do postaci sin(2𝑥) ⋅𝑓(𝑥) = 0\ni rozwiąże równanie sin(2𝑥) = 0, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający popełni tylko błędy rachunkowe i przekształci równanie do postaci\nsin(2𝑥) ⋅𝑓(𝑥) = 0, gdzie funkcja trygonometryczna 𝑓 nie ma miejsc zerowych lub\nrównanie trygonometryczne 𝑓(𝑥) = 0 ma jedną serię rozwiązań w zbiorze liczb\nrzeczywistych, oraz rozwiąże równanie sin(2𝑥) = 0, otrzymując 𝑥= 𝜋𝑘\n2 , to może\notrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie nabył praw do innej\npunktacji.\n3. Jeżeli zdający przyjmie 𝑢= 2𝑥 i rozwiąże równanie sin(3𝑢) -2 sin 𝑢= 0 (lub\nrównanie -4 sin3 𝑢+ 3 sin 𝑢-2 sin 𝑢= 0) i na tym zakończy lub dalej popełni błędy, to\notrzymuje 3 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I (poprzez sinus sumy)\nPrzekształcamy równanie sin(6𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 równoważnie, stosując wzór na sinus\nsumy kątów i cosinus podwojonego kąta:\nsin(4𝑥+ 2𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0\nsin(4𝑥) cos(2𝑥) + cos(4𝑥) sin(2𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0\n2 sin(2𝑥) cos2(2𝑥) + [2 cos2(2𝑥) -1] sin(2𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0\nsin(2𝑥) [4 cos2(2𝑥) -3] = 0\nsin(2𝑥) = 0 ∨ cos2(2𝑥) = 3\n4\nsin(2𝑥) = 0 ∨ cos(2𝑥) = -√3\n2 ∨ cos(2𝑥) = √3\n2\nRozwiązujemy równanie sin(2𝑥) = 0:\n2𝑥= 𝜋𝑘\n𝑥= 𝜋𝑘\n2\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nRozwiązujemy równanie cos(2𝑥) = -\n√3\n2 :\n2𝑥= 5𝜋\n6 + 2𝜋𝑘 ∨ 2𝑥= -5𝜋\n6 + 2𝜋𝑘\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑥= 5𝜋\n12 + 𝜋𝑘 ∨ 𝑥= -5𝜋\n12 + 𝜋𝑘\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nRozwiązujemy równanie cos(2𝑥) =\n√3\n2 :\n2𝑥= 𝜋\n6 + 2𝜋𝑘 ∨ 2𝑥= -𝜋\n6 + 2𝜋𝑘\n𝑥= 𝜋\n12 + 𝜋𝑘 ∨ 𝑥= -𝜋\n12 + 𝜋𝑘\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nRozwiązaniami równania sin(6𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 są wszystkie liczby postaci:\n𝜋𝑘\n2 , -5𝜋\n12 + 𝜋𝑘, 5𝜋\n12 + 𝜋𝑘, -𝜋\n12 + 𝜋𝑘 oraz 𝜋\n12 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ.\nSposób II (poprzez różnicę sinusów)\nPrzekształcamy równanie sin(6𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 równoważnie, stosując wzór na różnicę\nsinusów:\nsin(6𝑥) -sin(2𝑥) -sin(2𝑥) = 0\n2 cos (6𝑥+ 2𝑥\n2\n) sin (6𝑥-2𝑥\n2\n) -sin(2𝑥) = 0\n2 cos(4𝑥) sin(2𝑥) -sin(2𝑥) = 0\nsin(2𝑥) [2 cos(4𝑥) -1] = 0\nsin(2𝑥) = 0 ∨ cos(4𝑥) = 1\n2\n2𝑥= 𝜋𝑘 ∨ 4𝑥= 𝜋\n3 + 2𝜋𝑘 ∨ 4𝑥= -𝜋\n3 + 2𝜋𝑘\n𝑥= 𝜋𝑘\n2 ∨ 𝑥= 𝜋\n12 + 𝜋𝑘\n2 ∨ 𝑥= -𝜋\n12 + 𝜋𝑘\n2\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nRozwiązaniami równania sin(6𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 są wszystkie liczby postaci:\n𝜋𝑘\n2 , -𝜋\n12 + 𝜋𝑘\n2 oraz 𝜋\n12 + 𝜋𝑘\n2 , gdzie 𝑘∈ℤ.\nSposób III (poprzez sinus potrojonego kąta)\nPrzekształcamy równanie sin(6𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 równoważnie, stosując wzór na sinus\npotrojonego kąta:\nsin(3 ⋅2𝑥) -2sin(2𝑥) = 0\n-4 sin3(2𝑥) + 3 sin(2𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0\nsin(2𝑥) [-4 sin2(2𝑥) + 1] = 0\nsin(2𝑥) = 0 ∨ sin2(2𝑥) = 1\n4\nsin(2𝑥) = 0 ∨ sin(2𝑥) = -1\n2 ∨ sin(2𝑥) = 1\n2\n2𝑥= 𝜋𝑘 ∨ 2𝑥= 7𝜋\n6 + 2𝜋𝑘 ∨ 2𝑥= 11𝜋\n6\n+ 2𝜋𝑘 ∨ 2𝑥= 𝜋\n6 + 2𝜋𝑘 ∨ 2𝑥= 5𝜋\n6 + 2𝜋𝑘\n𝑥= 𝜋𝑘\n2 ∨ 𝑥= 7𝜋\n12 + 𝜋𝑘 ∨ 𝑥= 11𝜋\n12 + 𝜋𝑘 ∨ 𝑥= 𝜋\n12 + 𝜋𝑘 ∨ 𝑥= 5𝜋\n12 + 𝜋𝑘\ngdzie 𝑘∈ℤ.\nRozwiązaniami równania sin(6𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 są wszystkie liczby postaci:\n𝜋𝑘\n2 , 𝜋\n12 + 𝜋𝑘, 5𝜋\n12 + 𝜋𝑘, 7𝜋\n12 + 𝜋𝑘 oraz 11𝜋\n12 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 10. (0-4)
Rozwiąż równanie
sin(6𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0

\n

EMAP-R0_100

\n

EMAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 10. (0-4)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Zdający:
6.6R) rozwiązuje równania i nierówności
trygonometryczne […].
Zasady oceniania
4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik, np.: 𝜋𝑘
2 oraz -𝜋
12 + 𝜋𝑘
2 oraz
𝜋
12 + 𝜋𝑘
2 , gdzie 𝑘∈ℤ.
3 pkt - przekształcenie równania do postaci alternatywy równań trygonometrycznych
i rozwiązanie jednego z równań tej alternatywy, np.:
(sin(2𝑥) = 0 lub cos2(2𝑥) = 3
4 ) oraz
𝑥= 𝜋𝑘
2 (rozwiązania równania sin(2𝑥) = 0)
(sin(2𝑥) = 0 lub cos(2𝑥) = -
√3
2 lub cos(2𝑥) =
√3
2 ) oraz
𝑥= -5𝜋
12 + 𝜋𝑘 oraz 𝑥= 5𝜋
12 + 𝜋𝑘 (rozwiązania równania cos(2𝑥) = -
√3
2 )
(sin(2𝑥) = 0 lub cos(4𝑥) = 1
2 ) oraz
𝑥= -𝜋
12 + 𝜋𝑘
2 oraz 𝑥= 𝜋
12 + 𝜋𝑘
2 (rozwiązania równania cos(4𝑥) = 1
2)
(sin(2𝑥) = 0 lub sin(2𝑥) = -1
2 lub sin(2𝑥) = 1
2 ) oraz
𝑥= -𝜋
12 + 𝜋𝑘 oraz 𝑥= -5𝜋
12 + 𝜋𝑘 (rozwiązania równania sin(2𝑥) = -1
2),
gdzie 𝑘∈ℤ.
2 pkt - przekształcenie równania do postaci alternatywy równań trygonometrycznych, np.:
sin(2𝑥) = 0 lub cos2(2𝑥) = 3
4 ,
sin(2𝑥) = 0 lub cos(2𝑥) = -
√3
2 lub cos(2𝑥) =
√3
2 ,
sin(2𝑥) = 0 lub 2 cos(4𝑥) -1 = 0,
sin(2𝑥) = 0 lub 4 sin2(2𝑥) -1 = 0.
1 pkt - zastosowanie wzoru na sinus sumy i przekształcenie równania do postaci
sin(4𝑥) cos(2𝑥) + cos(4𝑥) sin(2𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 (dla sposobu I)
ALBO

\n\n

2 cos(4𝑥) sin(2𝑥) -sin(2𝑥) = 0 (dla sposobu II),
ALBO

\n\n

-4 sin3(2𝑥) + 3 sin(2𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 (dla sposobu III).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. a) Jeżeli zdający popełni błędy, które nie są rachunkowe, nie zrealizuje wymagań
\n

z kryterium za 1 punkt, przekształci równanie do postaci sin(2𝑥) ⋅𝑓(𝑥) = 0, to może
otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie (za rozwiązanie równania
sin(2𝑥) = 0).
b) Jeżeli zdający zrealizuje wymagania z kryterium za 1 punkt, a następnie popełni błędy,
które nie są rachunkowe, przekształci równanie do postaci sin(2𝑥) ⋅𝑓(𝑥) = 0
i rozwiąże równanie sin(2𝑥) = 0, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający popełni tylko błędy rachunkowe i przekształci równanie do postaci
\n

sin(2𝑥) ⋅𝑓(𝑥) = 0, gdzie funkcja trygonometryczna 𝑓 nie ma miejsc zerowych lub
równanie trygonometryczne 𝑓(𝑥) = 0 ma jedną serię rozwiązań w zbiorze liczb
rzeczywistych, oraz rozwiąże równanie sin(2𝑥) = 0, otrzymując 𝑥= 𝜋𝑘
2 , to może
otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie nabył praw do innej
punktacji.

\n
  1. Jeżeli zdający przyjmie 𝑢= 2𝑥 i rozwiąże równanie sin(3𝑢) -2 sin 𝑢= 0 (lub
\n

równanie -4 sin3 𝑢+ 3 sin 𝑢-2 sin 𝑢= 0) i na tym zakończy lub dalej popełni błędy, to
otrzymuje 3 punkty.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I (poprzez sinus sumy)
Przekształcamy równanie sin(6𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 równoważnie, stosując wzór na sinus
sumy kątów i cosinus podwojonego kąta:
sin(4𝑥+ 2𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0
sin(4𝑥) cos(2𝑥) + cos(4𝑥) sin(2𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0
2 sin(2𝑥) cos2(2𝑥) + [2 cos2(2𝑥) -1] sin(2𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0
sin(2𝑥) [4 cos2(2𝑥) -3] = 0
sin(2𝑥) = 0 ∨ cos2(2𝑥) = 3
4
sin(2𝑥) = 0 ∨ cos(2𝑥) = -√3
2 ∨ cos(2𝑥) = √3
2
Rozwiązujemy równanie sin(2𝑥) = 0:
2𝑥= 𝜋𝑘
𝑥= 𝜋𝑘
2
gdzie 𝑘∈ℤ.
Rozwiązujemy równanie cos(2𝑥) = -
√3
2 :
2𝑥= 5𝜋
6 + 2𝜋𝑘 ∨ 2𝑥= -5𝜋
6 + 2𝜋𝑘
Zasady oceniania rozwiązań zadań
𝑥= 5𝜋
12 + 𝜋𝑘 ∨ 𝑥= -5𝜋
12 + 𝜋𝑘
gdzie 𝑘∈ℤ.
Rozwiązujemy równanie cos(2𝑥) =
√3
2 :
2𝑥= 𝜋
6 + 2𝜋𝑘 ∨ 2𝑥= -𝜋
6 + 2𝜋𝑘
𝑥= 𝜋
12 + 𝜋𝑘 ∨ 𝑥= -𝜋
12 + 𝜋𝑘
gdzie 𝑘∈ℤ.
Rozwiązaniami równania sin(6𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 są wszystkie liczby postaci:
𝜋𝑘
2 , -5𝜋
12 + 𝜋𝑘, 5𝜋
12 + 𝜋𝑘, -𝜋
12 + 𝜋𝑘 oraz 𝜋
12 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ.
Sposób II (poprzez różnicę sinusów)
Przekształcamy równanie sin(6𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 równoważnie, stosując wzór na różnicę
sinusów:
sin(6𝑥) -sin(2𝑥) -sin(2𝑥) = 0
2 cos (6𝑥+ 2𝑥
2
) sin (6𝑥-2𝑥
2
) -sin(2𝑥) = 0
2 cos(4𝑥) sin(2𝑥) -sin(2𝑥) = 0
sin(2𝑥) [2 cos(4𝑥) -1] = 0
sin(2𝑥) = 0 ∨ cos(4𝑥) = 1
2
2𝑥= 𝜋𝑘 ∨ 4𝑥= 𝜋
3 + 2𝜋𝑘 ∨ 4𝑥= -𝜋
3 + 2𝜋𝑘
𝑥= 𝜋𝑘
2 ∨ 𝑥= 𝜋
12 + 𝜋𝑘
2 ∨ 𝑥= -𝜋
12 + 𝜋𝑘
2
gdzie 𝑘∈ℤ.
Rozwiązaniami równania sin(6𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 są wszystkie liczby postaci:
𝜋𝑘
2 , -𝜋
12 + 𝜋𝑘
2 oraz 𝜋
12 + 𝜋𝑘
2 , gdzie 𝑘∈ℤ.
Sposób III (poprzez sinus potrojonego kąta)
Przekształcamy równanie sin(6𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 równoważnie, stosując wzór na sinus
potrojonego kąta:
sin(3 ⋅2𝑥) -2sin(2𝑥) = 0
-4 sin3(2𝑥) + 3 sin(2𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0
sin(2𝑥) [-4 sin2(2𝑥) + 1] = 0
sin(2𝑥) = 0 ∨ sin2(2𝑥) = 1
4
sin(2𝑥) = 0 ∨ sin(2𝑥) = -1
2 ∨ sin(2𝑥) = 1
2
2𝑥= 𝜋𝑘 ∨ 2𝑥= 7𝜋
6 + 2𝜋𝑘 ∨ 2𝑥= 11𝜋
6

\n\n

6 + 2𝜋𝑘 ∨ 2𝑥= 5𝜋
6 + 2𝜋𝑘
𝑥= 𝜋𝑘
2 ∨ 𝑥= 7𝜋
12 + 𝜋𝑘 ∨ 𝑥= 11𝜋
12 + 𝜋𝑘 ∨ 𝑥= 𝜋
12 + 𝜋𝑘 ∨ 𝑥= 5𝜋
12 + 𝜋𝑘
gdzie 𝑘∈ℤ.
Rozwiązaniami równania sin(6𝑥) -2 sin(2𝑥) = 0 są wszystkie liczby postaci:
𝜋𝑘
2 , 𝜋
12 + 𝜋𝑘, 5𝜋
12 + 𝜋𝑘, 7𝜋
12 + 𝜋𝑘 oraz 11𝜋
12 + 𝜋𝑘, gdzie 𝑘∈ℤ.
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[]}