{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"11","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-4)\nW ostrosłupie prawidłowym trójkątnym 𝐴𝐵𝐶𝑆 podstawa 𝐴𝐵𝐶 jest trójkątem\nrównobocznym. Długość okręgu opisanego na podstawie 𝐴𝐵𝐶 jest równa 6√2𝜋, a cosinus\nkąta między krawędziami bocznymi 𝑆𝐵 i 𝑆𝐶 jest równy 5\n9 .\nOblicz długość krawędzi podstawy 𝐴𝐵𝐶 oraz cosinus kąta między ścianami bocznymi 𝑆𝐴𝐶\ni 𝑆𝐵𝐶 tego ostrosłupa.\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n9.4) rozpoznaje w graniastosłupach\ni ostrosłupach kąty między ścianami;\n9.6) stosuje trygonometrię do obliczeń\ndługości odcinków, miar kątów […].\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑎= 3√6 oraz cos 𝛽= 5\n14 .\n3 pkt - obliczenie wysokości 𝑥 ściany bocznej opuszczonej na krawędź boczną ostrosłupa:\n𝑥= √42\nALBO\n- obliczenie sin (𝛽\n2): sin (𝛽\n2) =\n3\n2√7 ,\nALBO\n- obliczenie długości krawędzi podstawy: 𝑎= 3√6 oraz zapisanie zależności między\nfunkcjami trygonometrycznymi kątów 𝛼 i 𝛽, np.\n1 = 2 cos2 (𝛼\n2) ⋅(1 -cos 𝛽), 1 = sin2 𝛼⋅1 - cos𝛽\n1 - cos𝛼 ,\nALBO\n- obliczenie cosinusa kąta 𝛽: cos 𝛽= 5\n14 .\n2 pkt - obliczenie długości krawędzi podstawy ostrosłupa oraz cos (𝛼\n2): 𝑎= 3√6 oraz\ncos (𝛼\n2) =\n√7\n3\nALBO\n- zapisanie związków 𝑥\n𝑎=\n√7\n3 oraz sin (𝛽\n2) = |𝐸𝐵|\n𝑥 ,\nALBO\n- obliczenie długości (lub kwadratu długości) 𝑏 krawędzi bocznej ostrosłupa: 𝑏= 9√3\n2\n(lub 𝑏2 = 243\n4 ),\nALBO\n- zapisanie zależności między długością krawędzi bocznej ostrosłupa i wysokością\nściany bocznej opuszczoną na krawędź boczną ostrosłupa, np.: 𝑥\n𝑏= 2√14\n9\n,\n1\n2 ⋅𝑏2 ⋅2√14\n9\n= 1\n2 𝑏⋅𝑥, (5\n9 𝑏)\n2\n+ 𝑥2 = 𝑏2,\nALBO\n- zapisanie zależności między funkcjami trygonometrycznymi kątów 𝛼 i 𝛽, np.\n1 = 2 cos2 (𝛼\n2) ⋅(1 -cos 𝛽), 1 = sin2 𝛼⋅1 - cos𝛽\n1 - cos𝛼 .\n1 pkt - obliczenie długości 𝑎 krawędzi podstawy ostrosłupa: 𝑎= 3√6\nALBO\n- obliczenie cos (𝛼\n2) : cos (𝛼\n2) =\n√7\n3 ,\nALBO\n- obliczenie sin 𝛼: sin 𝛼= 2√14\n9\n,\nALBO\n- zastosowanie twierdzenia cosinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐷 i zapisanie równania\n𝑎2 = 𝑥2 + 𝑥2 -2𝑥2 cos 𝛽\nALBO\n- zastosowanie twierdzenia cosinusów do trójkąta 𝐵𝐶𝑆 i zapisanie równania\n𝑎2 = 𝑏2 + 𝑏2 -2𝑏2 cos 𝛼\nALBO\n- zapisanie zależności między 𝑎, 𝑥 oraz 𝛼, np. sin (90° -𝛼\n2) = 𝑥\n𝑎 , cos 𝛼\n2 = 𝑥\n𝑎 ,\nALBO\n- zapisanie zależności między 𝑏, 𝑥 oraz 𝛼, np. sin 𝛼= 𝑥\n𝑏 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający poprawnie zinterpretuje kąt między krawędziami bocznymi ostrosłupa\ni zastosuje twierdzenie cosinusów do ściany bocznej - pomimo błędnie obliczonej\ndługości krawędzi podstawy lub długości krawędzi bocznej - to traktujemy to jak\nspełnienie kryterium z myślnika piątego z kategorii za 1 punkt.\n2. Jeżeli zdający poprawnie zinterpretuje kąt między ścianami bocznymi ostrosłupa\ni zastosuje twierdzenie cosinusów do trójkąta z tym kątem - pomimo błędnie obliczonej\ndługości krawędzi podstawy lub wysokości ściany bocznej poprowadzonej z wierzchołka\npodstawy ostrosłupa - to traktujemy to jak spełnienie kryterium z myślnika czwartego\nz kategorii za 1 punkt.\n3. Jeżeli zdający błędnie interpretuje kąt między krawędziami bocznymi ostrosłupa, to może\notrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający rozpatruje inną bryłę niż ostrosłup prawidłowy trójkątny, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia:\n𝐴, 𝐵, 𝐶 - wierzchołki podstawy ostrosłupa,\n𝑆 - wierzchołek ostrosłupa,\n𝐷 - punkt wspólny wysokości ściany bocznej 𝐵𝐶𝑆 poprowadzonej z wierzchołka 𝐵\ni wysokości ściany bocznej 𝐴𝐶𝑆 poprowadzonej z wierzchołka 𝐴,\n𝐸, 𝐹 - środki krawędzi - odpowiednio - 𝐴𝐵 i 𝐵𝐶,\n𝛼 - miara kąta 𝐵𝑆𝐶,\n𝛽 - miara kąta dwuściennego zawartego między ścianami bocznymi 𝐵𝐶𝑆 i 𝐴𝐶𝑆 ostrosłupa\n𝐴𝐵𝐶𝑆,\n𝑎 - długość krawędzi podstawy 𝐴𝐵𝐶,\n𝑏 - długość krawędzi bocznej,\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑥 - wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka podstawy 𝐴𝐵𝐶 (zobacz\nrysunek).\nSposób I (z pominięciem krawędzi bocznej)\nObliczamy promień 𝑅 okręgu opisanego na podstawie 𝐴𝐵𝐶:\n2𝜋𝑅= 6√2𝜋\n𝑅= 3√2\nObliczamy długość krawędzi podstawy:\n𝑎√3\n3\n= 3√2\n𝑎= 3√6\nStosujemy wzór na cosinus podwojonego kąta i obliczamy cos (𝛼\n2):\ncos 𝛼= 2 cos2 (𝛼\n2) -1\n5\n9 = 2 cos2 (𝛼\n2) -1\ncos (𝛼\n2) = √7\n3 ∨ cos (𝛼\n2) = -√7\n3\nPonieważ 𝛼< 180°, więc cos (𝛼\n2) =\n√7\n3 .\nPonieważ |∡𝐹𝐶𝑆| = 90° -𝛼\n2 , więc |∡𝐶𝐵𝐷| = 𝛼\n2 . Zatem:\n𝑥\n𝑎= cos (𝛼\n2)\n𝑆\n𝛽\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n𝐹\n𝑥\n𝑏\n𝑎\n𝛼\n𝑥= 3√6 ⋅√7\n3\n𝑥= √42\nStosujemy twierdzenie cosinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐷 i obliczamy cos 𝛽:\n𝑎2 = 𝑥2 + 𝑥2 -2 ⋅𝑥⋅𝑥⋅cos 𝛽\n(3√6)\n2 = 2 ⋅42 -2 ⋅42 cos 𝛽\ncos 𝛽= 5\n14\nSposób II (poprzez krawędź boczną)\nObliczamy promień 𝑅 okręgu opisanego na podstawie 𝐴𝐵𝐶:\n2𝜋𝑅= 6√2𝜋\n𝑅= 3√2\nObliczamy długość krawędzi podstawy:\n𝑎√3\n3\n= 3√2\n𝑎= 3√6\nStosujemy twierdzenie cosinusów do trójkąta 𝐵𝐶𝑆 i obliczamy długość krawędzi bocznej:\n(3√6)\n2 = 𝑏2 + 𝑏2 -2𝑏⋅𝑏⋅cos 𝛼\n54 = 2𝑏2 -2𝑏2 ⋅5\n9\n𝑏= 9√3\n2\nKorzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐵𝐹𝑆 i obliczamy wysokość 𝑆𝐹 ściany\nbocznej 𝐵𝐶𝑆:\n|𝑆𝐹| = √𝑏2 -(𝑎\n2)\n2\n|𝑆𝐹| = √(9√3\n2 )\n2\n-(3√6\n2 )\n2\n= 3√21\n2\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nKorzystamy z podobieństwa trójkątów 𝐶𝐷𝐵 oraz 𝐵𝐹𝑆 i obliczamy długość 𝐵𝐷:\n𝑥\n𝑎=\n|𝑆𝐹|\n𝑏\n𝑥= 𝑎⋅|𝑆𝐹|\n𝑏\n𝑥= 3√6 ⋅\n3√21\n2\n9√3\n2\n= √42\nStosujemy twierdzenie cosinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐷 i obliczamy cos 𝛽:\n𝑎2 = 𝑥2 + 𝑥2 -2 ⋅𝑥⋅𝑥⋅cos 𝛽\n(3√6)\n2 = 2 ⋅42 -2 ⋅42 cos 𝛽\ncos 𝛽= 5\n14\nSposób III (poprzez sin (𝛽\n2))\nObliczamy promień 𝑅 okręgu opisanego na podstawie 𝐴𝐵𝐶:\n2𝜋𝑅= 6√2𝜋\n𝑅= 3√2\nObliczamy długość krawędzi podstawy:\n𝑎√3\n3\n= 3√2\n𝑎= 3√6\nStosujemy wzór na cosinus podwojonego kąta i obliczamy cos (𝛼\n2):\ncos 𝛼= 2 cos2 (𝛼\n2) -1\n5\n9 = 2 cos2 (𝛼\n2) -1\ncos (𝛼\n2) = √7\n3 ∨ cos (𝛼\n2) = -√7\n3\nPonieważ 𝛼< 180°, więc cos (𝛼\n2) =\n√7\n3 .\nPonieważ |∡𝐹𝐶𝑆| = 90° -𝛼\n2 , więc |∡𝐶𝐵𝐷| = 𝛼\n2 i 𝑥\n𝑎= cos (𝛼\n2). Stąd i ze związku\n|𝐸𝐵|\n𝑥\n= sin (𝛽\n2) otrzymujemy:\n|𝐸𝐵|\n𝑎\n= cos (𝛼\n2) ⋅sin (𝛽\n2)\n1\n2 = √7\n3 ⋅sin (𝛽\n2)\nsin (𝛽\n2) =\n3\n2√7\nObliczamy cos 𝛽:\ncos 𝛽= 1 -2 sin2 (𝛽\n2)\ncos 𝛽= 1 -2 ⋅( 3\n2√7\n)\n2\ncos 𝛽= 5\n14\nSposób IV\nStosujemy twierdzenie cosinusów do trójkąta 𝐵𝐷𝐴 i otrzymujemy:\n𝑎2 = 𝑥2 + 𝑥2 -2𝑥⋅𝑥⋅cos 𝛽\n𝑎2 = 2𝑥2(1 -cos 𝛽)\nZ trójkąta prostokątnego 𝐵𝐷𝑆 otrzymujemy 𝑥\n𝑏= sin 𝛼, więc 𝑥= 𝑏⋅sin 𝛼 i dlatego\n𝑎2 = 2𝑏2 ⋅sin2 𝛼⋅(1 -cos 𝛽)\nStosujemy twierdzenie cosinusów do trójkąta 𝐵𝐶𝑆 i otrzymujemy:\n𝑎2 = 𝑏2 + 𝑏2 -2𝑏⋅𝑏⋅cos 𝛼\n𝑎2 = 2𝑏2(1 -cos 𝛼)\nStąd i z zależności 𝑎2 = 2𝑏2 ⋅sin2 𝛼⋅(1 -cos 𝛽) otrzymujemy:\n2𝑏2 ⋅sin2 𝛼⋅(1 -cos 𝛽) = 2𝑏2(1 -cos 𝛼)\n1 -cos 𝛽= 1 -cos 𝛼\nsin2 𝛼\n1 -cos 𝛽= 1 -cos 𝛼\n1 -cos2 𝛼\n1 -cos 𝛽=\n1\n1 + cos 𝛼\ncos 𝛽=\ncos 𝛼\n1 + cos 𝛼\nZasady oceniania rozwiązań zadań\ncos 𝛽=\n5\n9\n1 +\n5\n9\n= 5\n14\nObliczamy promień 𝑅 okręgu opisanego na podstawie 𝐴𝐵𝐶:\n2𝜋𝑅= 6√2𝜋\n𝑅= 3√2\nObliczamy długość krawędzi podstawy:\n𝑎√3\n3\n= 3√2\n𝑎= 3√6","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 11. (0-4)<br>W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym 𝐴𝐵𝐶𝑆 podstawa 𝐴𝐵𝐶 jest trójkątem<br>równobocznym. Długość okręgu opisanego na podstawie 𝐴𝐵𝐶 jest równa 6√2𝜋, a cosinus<br>kąta między krawędziami bocznymi 𝑆𝐵 i 𝑆𝐶 jest równy 5<br>9 .<br>Oblicz długość krawędzi podstawy 𝐴𝐵𝐶 oraz cosinus kąta między ścianami bocznymi 𝑆𝐴𝐶<br>i 𝑆𝐵𝐶 tego ostrosłupa.</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 11. (0-4)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>IV. Użycie i tworzenie strategii.<br>Zdający:<br>9.4) rozpoznaje w graniastosłupach<br>i ostrosłupach kąty między ścianami;<br>9.6) stosuje trygonometrię do obliczeń<br>długości odcinków, miar kątów […].<br>Zasady oceniania<br>4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑎= 3√6 oraz cos 𝛽= 5<br>14 .<br>3 pkt - obliczenie wysokości 𝑥 ściany bocznej opuszczonej na krawędź boczną ostrosłupa:<br>𝑥= √42<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie sin (𝛽</li></ul>\n<p>2): sin (𝛽</p>\n<ol><li>=</li></ol>\n<p>3<br>2√7 ,<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie długości krawędzi podstawy: 𝑎= 3√6 oraz zapisanie zależności między</li></ul>\n<p>funkcjami trygonometrycznymi kątów 𝛼 i 𝛽, np.<br>1 = 2 cos2 (𝛼</p>\n<ol><li>⋅(1 -cos 𝛽), 1 = sin2 𝛼⋅1 - cos𝛽</li></ol>\n<p>1 - cos𝛼 ,<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie cosinusa kąta 𝛽: cos 𝛽= 5</li></ul>\n<p>14 .<br>2 pkt - obliczenie długości krawędzi podstawy ostrosłupa oraz cos (𝛼<br>2): 𝑎= 3√6 oraz<br>cos (𝛼</p>\n<ol><li>=</li></ol>\n<p>√7<br>3<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie związków 𝑥</li></ul>\n<p>𝑎=<br>√7<br>3 oraz sin (𝛽</p>\n<ol><li>= |𝐸𝐵|</li></ol>\n<p>𝑥 ,<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie długości (lub kwadratu długości) 𝑏 krawędzi bocznej ostrosłupa: 𝑏= 9√3</li></ul>\n<p>2<br>(lub 𝑏2 = 243<br>4 ),<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie zależności między długością krawędzi bocznej ostrosłupa i wysokością</li></ul>\n<p>ściany bocznej opuszczoną na krawędź boczną ostrosłupa, np.: 𝑥<br>𝑏= 2√14<br>9<br>,<br>1<br>2 ⋅𝑏2 ⋅2√14<br>9<br>= 1<br>2 𝑏⋅𝑥, (5<br>9 𝑏)<br>2</p>\n<ul><li>𝑥2 = 𝑏2,</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie zależności między funkcjami trygonometrycznymi kątów 𝛼 i 𝛽, np.</li></ul>\n<p>1 = 2 cos2 (𝛼</p>\n<ol><li>⋅(1 -cos 𝛽), 1 = sin2 𝛼⋅1 - cos𝛽</li></ol>\n<p>1 - cos𝛼 .<br>1 pkt - obliczenie długości 𝑎 krawędzi podstawy ostrosłupa: 𝑎= 3√6<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie cos (𝛼</li></ul>\n<ol><li>: cos (𝛼</li><li>=</li></ol>\n<p>√7<br>3 ,<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie sin 𝛼: sin 𝛼= 2√14</li></ul>\n<p>9<br>,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zastosowanie twierdzenia cosinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐷 i zapisanie równania</li></ul>\n<p>𝑎2 = 𝑥2 + 𝑥2 -2𝑥2 cos 𝛽<br>ALBO</p>\n<ul><li>zastosowanie twierdzenia cosinusów do trójkąta 𝐵𝐶𝑆 i zapisanie równania</li></ul>\n<p>𝑎2 = 𝑏2 + 𝑏2 -2𝑏2 cos 𝛼<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie zależności między 𝑎, 𝑥 oraz 𝛼, np. sin (90° -𝛼</li></ul>\n<ol><li>= 𝑥</li></ol>\n<p>𝑎 , cos 𝛼<br>2 = 𝑥<br>𝑎 ,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie zależności między 𝑏, 𝑥 oraz 𝛼, np. sin 𝛼= 𝑥</li></ul>\n<p>𝑏 .<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający poprawnie zinterpretuje kąt między krawędziami bocznymi ostrosłupa</li></ol>\n<p>i zastosuje twierdzenie cosinusów do ściany bocznej - pomimo błędnie obliczonej<br>długości krawędzi podstawy lub długości krawędzi bocznej - to traktujemy to jak<br>spełnienie kryterium z myślnika piątego z kategorii za 1 punkt.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający poprawnie zinterpretuje kąt między ścianami bocznymi ostrosłupa</li></ol>\n<p>i zastosuje twierdzenie cosinusów do trójkąta z tym kątem - pomimo błędnie obliczonej<br>długości krawędzi podstawy lub wysokości ściany bocznej poprowadzonej z wierzchołka<br>podstawy ostrosłupa - to traktujemy to jak spełnienie kryterium z myślnika czwartego<br>z kategorii za 1 punkt.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający błędnie interpretuje kąt między krawędziami bocznymi ostrosłupa, to może</li></ol>\n<p>otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający rozpatruje inną bryłę niż ostrosłup prawidłowy trójkątny, to otrzymuje</li></ol>\n<p>0 punktów za całe rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Przyjmijmy następujące oznaczenia:<br>𝐴, 𝐵, 𝐶 - wierzchołki podstawy ostrosłupa,<br>𝑆 - wierzchołek ostrosłupa,<br>𝐷 - punkt wspólny wysokości ściany bocznej 𝐵𝐶𝑆 poprowadzonej z wierzchołka 𝐵<br>i wysokości ściany bocznej 𝐴𝐶𝑆 poprowadzonej z wierzchołka 𝐴,<br>𝐸, 𝐹 - środki krawędzi - odpowiednio - 𝐴𝐵 i 𝐵𝐶,<br>𝛼 - miara kąta 𝐵𝑆𝐶,<br>𝛽 - miara kąta dwuściennego zawartego między ścianami bocznymi 𝐵𝐶𝑆 i 𝐴𝐶𝑆 ostrosłupa<br>𝐴𝐵𝐶𝑆,<br>𝑎 - długość krawędzi podstawy 𝐴𝐵𝐶,<br>𝑏 - długość krawędzi bocznej,<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>𝑥 - wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka podstawy 𝐴𝐵𝐶 (zobacz<br>rysunek).<br>Sposób I (z pominięciem krawędzi bocznej)<br>Obliczamy promień 𝑅 okręgu opisanego na podstawie 𝐴𝐵𝐶:<br>2𝜋𝑅= 6√2𝜋<br>𝑅= 3√2<br>Obliczamy długość krawędzi podstawy:<br>𝑎√3<br>3<br>= 3√2<br>𝑎= 3√6<br>Stosujemy wzór na cosinus podwojonego kąta i obliczamy cos (𝛼<br>2):<br>cos 𝛼= 2 cos2 (𝛼</p>\n<ol><li>-1</li></ol>\n<p>5<br>9 = 2 cos2 (𝛼</p>\n<ol><li>-1</li></ol>\n<p>cos (𝛼</p>\n<ol><li>= √7</li></ol>\n<p>3 ∨ cos (𝛼</p>\n<ol><li>= -√7</li></ol>\n<p>3<br>Ponieważ 𝛼&lt; 180°, więc cos (𝛼</p>\n<ol><li>=</li></ol>\n<p>√7<br>3 .<br>Ponieważ |∡𝐹𝐶𝑆| = 90° -𝛼<br>2 , więc |∡𝐶𝐵𝐷| = 𝛼<br>2 . Zatem:<br>𝑥<br>𝑎= cos (𝛼<br>2)<br>𝑆<br>𝛽<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐷<br>𝐸<br>𝐹<br>𝑥<br>𝑏<br>𝑎<br>𝛼<br>𝑥= 3√6 ⋅√7<br>3<br>𝑥= √42<br>Stosujemy twierdzenie cosinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐷 i obliczamy cos 𝛽:<br>𝑎2 = 𝑥2 + 𝑥2 -2 ⋅𝑥⋅𝑥⋅cos 𝛽<br>(3√6)<br>2 = 2 ⋅42 -2 ⋅42 cos 𝛽<br>cos 𝛽= 5<br>14<br>Sposób II (poprzez krawędź boczną)<br>Obliczamy promień 𝑅 okręgu opisanego na podstawie 𝐴𝐵𝐶:<br>2𝜋𝑅= 6√2𝜋<br>𝑅= 3√2<br>Obliczamy długość krawędzi podstawy:<br>𝑎√3<br>3<br>= 3√2<br>𝑎= 3√6<br>Stosujemy twierdzenie cosinusów do trójkąta 𝐵𝐶𝑆 i obliczamy długość krawędzi bocznej:<br>(3√6)<br>2 = 𝑏2 + 𝑏2 -2𝑏⋅𝑏⋅cos 𝛼<br>54 = 2𝑏2 -2𝑏2 ⋅5<br>9<br>𝑏= 9√3<br>2<br>Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta 𝐵𝐹𝑆 i obliczamy wysokość 𝑆𝐹 ściany<br>bocznej 𝐵𝐶𝑆:<br>|𝑆𝐹| = √𝑏2 -(𝑎<br>2)<br>2<br>|𝑆𝐹| = √(9√3<br>2 )<br>2<br>-(3√6<br>2 )<br>2<br>= 3√21<br>2<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Korzystamy z podobieństwa trójkątów 𝐶𝐷𝐵 oraz 𝐵𝐹𝑆 i obliczamy długość 𝐵𝐷:<br>𝑥<br>𝑎=<br>|𝑆𝐹|<br>𝑏<br>𝑥= 𝑎⋅|𝑆𝐹|<br>𝑏<br>𝑥= 3√6 ⋅<br>3√21<br>2<br>9√3<br>2<br>= √42<br>Stosujemy twierdzenie cosinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐷 i obliczamy cos 𝛽:<br>𝑎2 = 𝑥2 + 𝑥2 -2 ⋅𝑥⋅𝑥⋅cos 𝛽<br>(3√6)<br>2 = 2 ⋅42 -2 ⋅42 cos 𝛽<br>cos 𝛽= 5<br>14<br>Sposób III (poprzez sin (𝛽<br>2))<br>Obliczamy promień 𝑅 okręgu opisanego na podstawie 𝐴𝐵𝐶:<br>2𝜋𝑅= 6√2𝜋<br>𝑅= 3√2<br>Obliczamy długość krawędzi podstawy:<br>𝑎√3<br>3<br>= 3√2<br>𝑎= 3√6<br>Stosujemy wzór na cosinus podwojonego kąta i obliczamy cos (𝛼<br>2):<br>cos 𝛼= 2 cos2 (𝛼</p>\n<ol><li>-1</li></ol>\n<p>5<br>9 = 2 cos2 (𝛼</p>\n<ol><li>-1</li></ol>\n<p>cos (𝛼</p>\n<ol><li>= √7</li></ol>\n<p>3 ∨ cos (𝛼</p>\n<ol><li>= -√7</li></ol>\n<p>3<br>Ponieważ 𝛼&lt; 180°, więc cos (𝛼</p>\n<ol><li>=</li></ol>\n<p>√7<br>3 .<br>Ponieważ |∡𝐹𝐶𝑆| = 90° -𝛼<br>2 , więc |∡𝐶𝐵𝐷| = 𝛼<br>2 i 𝑥<br>𝑎= cos (𝛼<br>2). Stąd i ze związku<br>|𝐸𝐵|<br>𝑥<br>= sin (𝛽</p>\n<ol><li>otrzymujemy:</li></ol>\n<p>|𝐸𝐵|<br>𝑎<br>= cos (𝛼</p>\n<ol><li>⋅sin (𝛽</li></ol>\n<p>2)<br>1<br>2 = √7<br>3 ⋅sin (𝛽<br>2)<br>sin (𝛽</p>\n<ol><li>=</li></ol>\n<p>3<br>2√7<br>Obliczamy cos 𝛽:<br>cos 𝛽= 1 -2 sin2 (𝛽<br>2)<br>cos 𝛽= 1 -2 ⋅( 3<br>2√7<br>)<br>2<br>cos 𝛽= 5<br>14<br>Sposób IV<br>Stosujemy twierdzenie cosinusów do trójkąta 𝐵𝐷𝐴 i otrzymujemy:<br>𝑎2 = 𝑥2 + 𝑥2 -2𝑥⋅𝑥⋅cos 𝛽<br>𝑎2 = 2𝑥2(1 -cos 𝛽)<br>Z trójkąta prostokątnego 𝐵𝐷𝑆 otrzymujemy 𝑥<br>𝑏= sin 𝛼, więc 𝑥= 𝑏⋅sin 𝛼 i dlatego<br>𝑎2 = 2𝑏2 ⋅sin2 𝛼⋅(1 -cos 𝛽)<br>Stosujemy twierdzenie cosinusów do trójkąta 𝐵𝐶𝑆 i otrzymujemy:<br>𝑎2 = 𝑏2 + 𝑏2 -2𝑏⋅𝑏⋅cos 𝛼<br>𝑎2 = 2𝑏2(1 -cos 𝛼)<br>Stąd i z zależności 𝑎2 = 2𝑏2 ⋅sin2 𝛼⋅(1 -cos 𝛽) otrzymujemy:<br>2𝑏2 ⋅sin2 𝛼⋅(1 -cos 𝛽) = 2𝑏2(1 -cos 𝛼)<br>1 -cos 𝛽= 1 -cos 𝛼<br>sin2 𝛼<br>1 -cos 𝛽= 1 -cos 𝛼<br>1 -cos2 𝛼<br>1 -cos 𝛽=<br>1<br>1 + cos 𝛼<br>cos 𝛽=<br>cos 𝛼<br>1 + cos 𝛼<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>cos 𝛽=<br>5<br>9<br>1 +<br>5<br>9<br>= 5<br>14<br>Obliczamy promień 𝑅 okręgu opisanego na podstawie 𝐴𝐵𝐶:<br>2𝜋𝑅= 6√2𝜋<br>𝑅= 3√2<br>Obliczamy długość krawędzi podstawy:<br>𝑎√3<br>3<br>= 3√2<br>𝑎= 3√6</p>","solutions":[]}