{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"12","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-5)\nW układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (1, -1) oraz 𝐵= (4, 0) są wierzchołkami\ntrójkąta 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐶𝐴| = |𝐶𝐵|. Jedno z ramion trójkąta 𝐴𝐵𝐶 zawiera się w prostej\no równaniu 𝑥+ 2𝑦-4 = 0. Na boku 𝐴𝐶 tego trójkąta obrano taki punkt 𝑀, że\n|𝐴𝑀| ∶|𝑀𝐶| = 1 ∶4.\nWyznacz równanie okręgu, który ma środek w punkcie 𝑀 i przechodzi przez punkt 𝐶.\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (0-5)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n8.3) wyznacza równanie prostej, która jest\nrównoległa lub prostopadła do prostej danej\nw postaci kierunkowej i przechodzi przez\ndany punkt.\n8.7R) oblicza współrzędne oraz długość\nwektora; dodaje i odejmuje wektory oraz\nmnoży je przez liczbę. Interpretuje\ngeometrycznie działania na wektorach.\nZasady oceniania (dla sposobu I)\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (𝑥-6\n5)\n2\n+ (𝑦+ 3\n5)\n2\n= 16\n5 .\n4 pkt - obliczenie współrzędnych punktów 𝐶 oraz 𝑀: 𝐶= (2, 1) oraz 𝑀= (6\n5 , -3\n5)\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝐶 oraz długości odcinka 𝑀𝐶: 𝐶= (2, 1)\noraz |𝑀𝐶| = 4\n√5 .\n3 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐶: 𝐶= (2, 1)\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą (pierwszą lub drugą współrzędną punktu 𝐶),\noraz wyznaczenie współrzędnych punktu 𝑀 w zależności od współrzędnych\npunktów 𝐴 oraz 𝐶, np. 6𝑥𝐶+ 2 ⋅(-1\n2 𝑥𝐶+ 2) -14 = 0 oraz\n𝑥𝑀= 1\n5 (𝑥𝐶-𝑥𝐴) + 𝑥𝐴 oraz 𝑦𝑀= 1\n5 (𝑦𝐶-𝑦𝐴) + 𝑦𝐴 .\n2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą (pierwszą lub drugą współrzędną punktu 𝐶),\nnp. 6𝑥𝐶+ 2 ⋅(-1\n2 𝑥𝐶+ 2) -14 = 0, 6(4 -2𝑦𝐶) + 2𝑦𝐶-14 = 0\nALBO\n- wyznaczenie równania stopnia pierwszego symetralnej boku 𝐴𝐵 trójkąta oraz\nwyznaczenie współrzędnych punktu 𝑀 w zależności od współrzędnych punktów 𝐴\noraz 𝐶, np.\n6𝑥+ 2𝑦-14 = 0 oraz 𝑥𝑀= 1\n5 (𝑥𝐶-𝑥𝐴) + 𝑥𝐴 oraz 𝑦𝑀= 1\n5 (𝑦𝐶-𝑦𝐴) + 𝑦𝐴 .\n1 pkt - wyznaczenie równania stopnia pierwszego symetralnej boku 𝐴𝐵 trójkąta, np.\n6𝑥+ 2𝑦-14 = 0\nALBO\n- zapisanie współrzędnych punktu 𝐶 w zależności od jednej zmiennej, np.\n𝐶= (𝑥𝐶 , -1\n2 𝑥𝐶+ 2),\nALBO\n- wyznaczenie współrzędnych punktu 𝑀 w zależności od współrzędnych punktów 𝐴\noraz 𝐶, np. 𝑥𝑀= 1\n5 (𝑥𝐶-𝑥𝐴) + 𝑥𝐴 oraz 𝑦𝑀= 1\n5 (𝑦𝐶-𝑦𝐴) + 𝑦𝐴 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisze współrzędne punktu 𝐶= (2, 1) oraz uzasadni (np. rachunkowo),\nże ten punkt spełnia warunki zadania, to za tę część rozwiązania otrzymuje 3 punkty.\nJeżeli zdający takiego uzasadnienia nie zapisze, to za tę część rozwiązania otrzymuje\n0 punktów.\n2. a) Jeżeli zdający przyjmuje |𝐴𝑀| ∶|𝑀𝐶| = 4 ∶1, to może otrzymać co najwyżej 4 punkty\nza całe rozwiązanie.\nb) Jeżeli zdający przyjmuje stosunek |𝐴𝑀| ∶|𝑀𝐶| inny niż 1 ∶4 lub 4 ∶1, to może\notrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający przyjmie bez uzasadnienia, że prosta 𝐴𝐶 jest prostopadła do prostej 𝐵𝐶,\nto może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za zapisanie\nwspółrzędnych punktu 𝐶 w zależności od jednej zmiennej lub wyznaczenie/obliczenie\nwspółrzędnych punktu 𝑀 w zależności od współrzędnych punktów 𝐴 oraz 𝐶, oraz\n1 punkt za konsekwentne rozwiązanie zadania do końca).\nZasady oceniania (dla sposobu II)\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (𝑥-6\n5)\n2\n+ (𝑦+ 3\n5)\n2\n= 16\n5 .\n4 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝑀 oraz współrzędnych wektora 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (lub\nwspółrzędnych wektora 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ): 𝑀= (6\n5 , -3\n5) oraz 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [1\n5 , 2\n5] (lub\n𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [4\n5 , 8\n5]).\n3 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐷 oraz wyznaczenie równania prostej 𝑀𝐸:\n𝐷= (13\n10 , -9\n10) oraz np. 𝑦= -1\n2 (𝑥-8\n5) -4\n5\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝐸 oraz wyznaczenie równania prostej 𝑀𝐷:\n𝐸= (8\n5 , -4\n5) oraz np. 𝑦= -3 (𝑥-13\n10) -9\n10 .\n2 pkt - obliczenie współrzędnych punktów 𝐷 oraz 𝐸: 𝐷= (13\n10 , -9\n10) oraz\n𝐸= (8\n5 , -4\n5)\nALBO\n- wyznaczenie równania prostej 𝑀𝐷, np. 𝑦= -3 (𝑥-13\n10) -9\n10 ,\nALBO\n- wyznaczenie równania prostej 𝑀𝐸, np. 𝑦= -1\n2 (𝑥-8\n5) -4\n5 .\n1 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐷: 𝐷= (13\n10 , -9\n10)\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝐸: 𝐸= (8\n5 , -4\n5).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZauważmy, że punkt 𝐴 nie leży na prostej 𝑥+ 2𝑦-4 = 0, natomiast punkt 𝐵 leży na tej\nprostej. Zatem w tej prostej zawiera się ramię 𝐵𝐶 trójkąta 𝐴𝐵𝐶.\nNiech 𝐶= (𝑥𝐶 , 𝑦𝐶). Wówczas 𝑦𝐶= -1\n2 𝑥𝐶+ 2. Ponieważ |𝐶𝐴| = |𝐶𝐵|, więc\n|𝐶𝐴|2 = |𝐶𝐵|2\n(1 -𝑥𝐶)2 + (-1 -𝑦𝐶)2 = (4 -𝑥𝐶)2 + (0 -𝑦𝐶)2\n1 -2𝑥𝐶+ 𝑥𝐶\n2 + 1 + 2𝑦𝐶+ 𝑦𝐶\n2 = 16 -8𝑥𝐶+ 𝑥𝐶\n2 + 𝑦𝐶\n2\n6𝑥𝐶+ 2𝑦𝐶-14 = 0\n6𝑥𝐶+ 2 ⋅(-1\n2 𝑥𝐶+ 2) -14 = 0\n𝑥𝐶= 2\nZatem 𝐶= (2, 1).\nNiech 𝑀= (𝑥𝑀 , 𝑦𝑀). Z warunków zadania wynika, że 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1\n5 ⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ . Obliczamy\nwspółrzędne punktu 𝑀:\n[𝑥𝑀-1, 𝑦𝑀-(-1)] = 1\n5 ⋅[2 -1,1 -(-1)]\n𝑥𝑀-1 = 1\n5 ∧ 𝑦𝑀+ 1 = 2\n5\nZatem 𝑀= (6\n5 , -3\n5).\n1\n2\n3\n4\n-1\n-2\n5\n0\n𝑥\n-5\n-4\n-3\n1\n2\n3\n4\n𝑦\n5\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n𝑥+ 2𝑦-4 = 0\n𝐴\n𝐵\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nObliczamy kwadrat promienia okręgu, który przechodzi przez punkt 𝐶 i ma środek\nw punkcie 𝑀:\n|𝑀𝐶|2 = (2 -6\n5)\n2\n+ (1 + 3\n5)\n2\n= 80\n25 = 16\n5\nRównanie okręgu, który przechodzi przez punkt 𝐶 i ma środek w punkcie 𝑀, ma postać\n(𝑥-6\n5)\n2\n+ (𝑦+ 3\n5)\n2\n= 16\n5\nSposób II\nNiech 𝐷= (𝑥𝐷 , 𝑦𝐷) będzie punktem przecięcia prostej 𝐴𝐵 z prostą, która jest prostopadła\ndo 𝐴𝐵 i przechodzi przez punkt 𝑀.\nNiech 𝐸= (𝑥𝐸 , 𝑦𝐸) będzie punktem przecięcia prostej 𝐴𝐵 z prostą, która jest równoległa\ndo 𝐵𝐶 i przechodzi przez punkt 𝑀.\nZauważmy, że punkt 𝐴 nie leży na prostej 𝑥+ 2𝑦-4 = 0, natomiast punkt 𝐵 leży na tej\nprostej. Zatem w tej prostej zawiera się ramię 𝐵𝐶 trójkąta 𝐴𝐵𝐶.\nZ warunków zadania oraz twierdzenia Talesa otrzymujemy:\n𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ = 1\n5 ⋅𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗\n[𝑥𝐸-1, 𝑦𝐸-(-1)] = 1\n5 ⋅[4 -1,0 -(-1)]\n𝑥𝐸-1 = 3\n5 ∧ 𝑦𝐸+ 1 = 1\n5\nStąd 𝐸= (8\n5 , -4\n5).\nZatem prosta 𝑀𝐸 ma równanie 𝑦= -1\n2 (𝑥-8\n5) -4\n5 , czyli 𝑦= -1\n2 𝑥.\n𝐷\n𝐴\n𝐵\n𝐸\n𝐶\n𝑀\n𝑀𝐸∥𝐵𝐶\n𝑀𝐷⊥𝐴𝐵\n𝑥+ 2𝑦-4 = 0\nPonieważ 𝑀𝐸∥𝐵𝐶, więc trójkąt 𝐴𝑀𝐸 jest równoramienny i |𝐴𝑀| = |𝑀𝐸|. Stąd prosta\n𝑀𝐷 jest symetralną odcinka 𝐴𝐸. Zatem punkt 𝐷 dzieli odcinek 𝐴𝐵 w stosunku 1 ∶9\n(licząc od punktu 𝐴). Obliczamy współrzędne punktu 𝐷:\n𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 1\n10 ⋅𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗\n[𝑥𝐷-1, 𝑦𝐷-(-1)] = 1\n10 ⋅[4 -1,0 -(-1)]\n𝑥𝐷-1 = 3\n10 ∧ 𝑦𝐷+ 1 = 1\n10\nStąd 𝐷= (13\n10 , -9\n10).\nWspółczynnik kierunkowy 𝑎𝐴𝐵 prostej 𝐴𝐵 jest równy 𝑎𝐴𝐵= 0-(-1)\n4 - 1\n= 1\n3 , więc prosta\n𝑀𝐷 ma równanie 𝑦= -3 (𝑥-13\n10) -9\n10 , czyli 𝑦= -3𝑥+ 3.\nObliczamy współrzędne punktu 𝑀:\n-1\n2 𝑥= -3𝑥+ 3\n𝑥= 6\n5\nStąd 𝑀= (6\n5 , -3\n5).\nZ warunków zadania\n𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 4 ⋅𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 4 ⋅[6\n5 -1, -3\n5 -(-1)] = [4\n5 , 8\n5]\nObliczamy kwadrat promienia okręgu, który przechodzi przez punkt 𝐶 i ma środek\nw punkcie 𝑀:\n|𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |\n2 = (4\n5)\n2\n+ (8\n5)\n2\n= 16\n5\nRównanie okręgu, który przechodzi przez punkt 𝐶 i ma środek w punkcie 𝑀, ma postać\n(𝑥-6\n5)\n2\n+ (𝑦+ 3\n5)\n2\n= 16\n5\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 12. (0-5)
W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (1, -1) oraz 𝐵= (4, 0) są wierzchołkami
trójkąta 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐶𝐴| = |𝐶𝐵|. Jedno z ramion trójkąta 𝐴𝐵𝐶 zawiera się w prostej
o równaniu 𝑥+ 2𝑦-4 = 0. Na boku 𝐴𝐶 tego trójkąta obrano taki punkt 𝑀, że
|𝐴𝑀| ∶|𝑀𝐶| = 1 ∶4.
Wyznacz równanie okręgu, który ma środek w punkcie 𝑀 i przechodzi przez punkt 𝐶.

\n

EMAP-R0_100

\n

EMAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 12. (0-5)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Zdający:
8.3) wyznacza równanie prostej, która jest
równoległa lub prostopadła do prostej danej
w postaci kierunkowej i przechodzi przez
dany punkt.
8.7R) oblicza współrzędne oraz długość
wektora; dodaje i odejmuje wektory oraz
mnoży je przez liczbę. Interpretuje
geometrycznie działania na wektorach.
Zasady oceniania (dla sposobu I)
5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (𝑥-6
5)
2

\n\n

5)
2
= 16
5 .
4 pkt - obliczenie współrzędnych punktów 𝐶 oraz 𝑀: 𝐶= (2, 1) oraz 𝑀= (6
5 , -3
5)
ALBO

\n\n

oraz |𝑀𝐶| = 4
√5 .
3 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐶: 𝐶= (2, 1)
ALBO

\n\n

oraz wyznaczenie współrzędnych punktu 𝑀 w zależności od współrzędnych
punktów 𝐴 oraz 𝐶, np. 6𝑥𝐶+ 2 ⋅(-1
2 𝑥𝐶+ 2) -14 = 0 oraz
𝑥𝑀= 1
5 (𝑥𝐶-𝑥𝐴) + 𝑥𝐴 oraz 𝑦𝑀= 1
5 (𝑦𝐶-𝑦𝐴) + 𝑦𝐴 .
2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą (pierwszą lub drugą współrzędną punktu 𝐶),
np. 6𝑥𝐶+ 2 ⋅(-1
2 𝑥𝐶+ 2) -14 = 0, 6(4 -2𝑦𝐶) + 2𝑦𝐶-14 = 0
ALBO

\n\n

wyznaczenie współrzędnych punktu 𝑀 w zależności od współrzędnych punktów 𝐴
oraz 𝐶, np.
6𝑥+ 2𝑦-14 = 0 oraz 𝑥𝑀= 1
5 (𝑥𝐶-𝑥𝐴) + 𝑥𝐴 oraz 𝑦𝑀= 1
5 (𝑦𝐶-𝑦𝐴) + 𝑦𝐴 .
1 pkt - wyznaczenie równania stopnia pierwszego symetralnej boku 𝐴𝐵 trójkąta, np.
6𝑥+ 2𝑦-14 = 0
ALBO

\n\n

𝐶= (𝑥𝐶 , -1
2 𝑥𝐶+ 2),
ALBO

\n\n

oraz 𝐶, np. 𝑥𝑀= 1
5 (𝑥𝐶-𝑥𝐴) + 𝑥𝐴 oraz 𝑦𝑀= 1
5 (𝑦𝐶-𝑦𝐴) + 𝑦𝐴 .
Zasady oceniania rozwiązań zadań
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze współrzędne punktu 𝐶= (2, 1) oraz uzasadni (np. rachunkowo),
\n

że ten punkt spełnia warunki zadania, to za tę część rozwiązania otrzymuje 3 punkty.
Jeżeli zdający takiego uzasadnienia nie zapisze, to za tę część rozwiązania otrzymuje
0 punktów.

\n
  1. a) Jeżeli zdający przyjmuje |𝐴𝑀| ∶|𝑀𝐶| = 4 ∶1, to może otrzymać co najwyżej 4 punkty
\n

za całe rozwiązanie.
b) Jeżeli zdający przyjmuje stosunek |𝐴𝑀| ∶|𝑀𝐶| inny niż 1 ∶4 lub 4 ∶1, to może
otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający przyjmie bez uzasadnienia, że prosta 𝐴𝐶 jest prostopadła do prostej 𝐵𝐶,
\n

to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za zapisanie
współrzędnych punktu 𝐶 w zależności od jednej zmiennej lub wyznaczenie/obliczenie
współrzędnych punktu 𝑀 w zależności od współrzędnych punktów 𝐴 oraz 𝐶, oraz
1 punkt za konsekwentne rozwiązanie zadania do końca).
Zasady oceniania (dla sposobu II)
5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (𝑥-6
5)
2

\n\n

5)
2
= 16
5 .
4 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝑀 oraz współrzędnych wektora 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (lub
współrzędnych wektora 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ): 𝑀= (6
5 , -3

\n
  1. oraz 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [1
\n

5 , 2
5] (lub
𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [4
5 , 8
5]).
3 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐷 oraz wyznaczenie równania prostej 𝑀𝐸:
𝐷= (13
10 , -9

\n
  1. oraz np. 𝑦= -1
\n

2 (𝑥-8

\n
  1. -4
\n

5
ALBO

\n\n

𝐸= (8
5 , -4

\n
  1. oraz np. 𝑦= -3 (𝑥-13
  2. -9
\n

10 .
2 pkt - obliczenie współrzędnych punktów 𝐷 oraz 𝐸: 𝐷= (13
10 , -9

\n
  1. oraz
\n

𝐸= (8
5 , -4
5)
ALBO

\n\n
  1. -9
\n

10 ,
ALBO

\n\n

2 (𝑥-8

\n
  1. -4
\n

5 .
1 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐷: 𝐷= (13
10 , -9
10)
ALBO

\n\n

5 , -4
5).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Zauważmy, że punkt 𝐴 nie leży na prostej 𝑥+ 2𝑦-4 = 0, natomiast punkt 𝐵 leży na tej
prostej. Zatem w tej prostej zawiera się ramię 𝐵𝐶 trójkąta 𝐴𝐵𝐶.
Niech 𝐶= (𝑥𝐶 , 𝑦𝐶). Wówczas 𝑦𝐶= -1
2 𝑥𝐶+ 2. Ponieważ |𝐶𝐴| = |𝐶𝐵|, więc
|𝐶𝐴|2 = |𝐶𝐵|2
(1 -𝑥𝐶)2 + (-1 -𝑦𝐶)2 = (4 -𝑥𝐶)2 + (0 -𝑦𝐶)2
1 -2𝑥𝐶+ 𝑥𝐶
2 + 1 + 2𝑦𝐶+ 𝑦𝐶
2 = 16 -8𝑥𝐶+ 𝑥𝐶
2 + 𝑦𝐶
2
6𝑥𝐶+ 2𝑦𝐶-14 = 0
6𝑥𝐶+ 2 ⋅(-1
2 𝑥𝐶+ 2) -14 = 0
𝑥𝐶= 2
Zatem 𝐶= (2, 1).
Niech 𝑀= (𝑥𝑀 , 𝑦𝑀). Z warunków zadania wynika, że 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1
5 ⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ . Obliczamy
współrzędne punktu 𝑀:
[𝑥𝑀-1, 𝑦𝑀-(-1)] = 1
5 ⋅[2 -1,1 -(-1)]
𝑥𝑀-1 = 1
5 ∧ 𝑦𝑀+ 1 = 2
5
Zatem 𝑀= (6
5 , -3
5).
1
2
3
4
-1
-2
5
0
𝑥
-5
-4
-3
1
2
3
4
𝑦
5
-1
-2
-3
-4
-5
𝑥+ 2𝑦-4 = 0
𝐴
𝐵
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Obliczamy kwadrat promienia okręgu, który przechodzi przez punkt 𝐶 i ma środek
w punkcie 𝑀:
|𝑀𝐶|2 = (2 -6
5)
2

\n\n

5)
2
= 80
25 = 16
5
Równanie okręgu, który przechodzi przez punkt 𝐶 i ma środek w punkcie 𝑀, ma postać
(𝑥-6
5)
2

\n\n

5)
2
= 16
5
Sposób II
Niech 𝐷= (𝑥𝐷 , 𝑦𝐷) będzie punktem przecięcia prostej 𝐴𝐵 z prostą, która jest prostopadła
do 𝐴𝐵 i przechodzi przez punkt 𝑀.
Niech 𝐸= (𝑥𝐸 , 𝑦𝐸) będzie punktem przecięcia prostej 𝐴𝐵 z prostą, która jest równoległa
do 𝐵𝐶 i przechodzi przez punkt 𝑀.
Zauważmy, że punkt 𝐴 nie leży na prostej 𝑥+ 2𝑦-4 = 0, natomiast punkt 𝐵 leży na tej
prostej. Zatem w tej prostej zawiera się ramię 𝐵𝐶 trójkąta 𝐴𝐵𝐶.
Z warunków zadania oraz twierdzenia Talesa otrzymujemy:
𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ = 1
5 ⋅𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
[𝑥𝐸-1, 𝑦𝐸-(-1)] = 1
5 ⋅[4 -1,0 -(-1)]
𝑥𝐸-1 = 3
5 ∧ 𝑦𝐸+ 1 = 1
5
Stąd 𝐸= (8
5 , -4
5).
Zatem prosta 𝑀𝐸 ma równanie 𝑦= -1
2 (𝑥-8

\n
  1. -4
\n

5 , czyli 𝑦= -1
2 𝑥.
𝐷
𝐴
𝐵
𝐸
𝐶
𝑀
𝑀𝐸∥𝐵𝐶
𝑀𝐷⊥𝐴𝐵
𝑥+ 2𝑦-4 = 0
Ponieważ 𝑀𝐸∥𝐵𝐶, więc trójkąt 𝐴𝑀𝐸 jest równoramienny i |𝐴𝑀| = |𝑀𝐸|. Stąd prosta
𝑀𝐷 jest symetralną odcinka 𝐴𝐸. Zatem punkt 𝐷 dzieli odcinek 𝐴𝐵 w stosunku 1 ∶9
(licząc od punktu 𝐴). Obliczamy współrzędne punktu 𝐷:
𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ = 1
10 ⋅𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗
[𝑥𝐷-1, 𝑦𝐷-(-1)] = 1
10 ⋅[4 -1,0 -(-1)]
𝑥𝐷-1 = 3
10 ∧ 𝑦𝐷+ 1 = 1
10
Stąd 𝐷= (13
10 , -9
10).
Współczynnik kierunkowy 𝑎𝐴𝐵 prostej 𝐴𝐵 jest równy 𝑎𝐴𝐵= 0-(-1)
4 - 1
= 1
3 , więc prosta
𝑀𝐷 ma równanie 𝑦= -3 (𝑥-13

\n
  1. -9
\n

10 , czyli 𝑦= -3𝑥+ 3.
Obliczamy współrzędne punktu 𝑀:
-1
2 𝑥= -3𝑥+ 3
𝑥= 6
5
Stąd 𝑀= (6
5 , -3
5).
Z warunków zadania
𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 4 ⋅𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 4 ⋅[6
5 -1, -3
5 -(-1)] = [4
5 , 8
5]
Obliczamy kwadrat promienia okręgu, który przechodzi przez punkt 𝐶 i ma środek
w punkcie 𝑀:
|𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
2 = (4
5)
2

\n\n

5)
2
= 16
5
Równanie okręgu, który przechodzi przez punkt 𝐶 i ma środek w punkcie 𝑀, ma postać
(𝑥-6
5)
2

\n\n

5)
2
= 16
5
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[]}