{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/13","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"13","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 13. (0-5)\nWyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru 𝑚, gdzie 𝑚≠0, dla których funkcja\nkwadratowa 𝑓 określona wzorem\n𝑓(𝑥) = 𝑚2 ⋅𝑥2 -2𝑚𝑥-𝑚+ 1\nma dwa różne miejsca zerowe 𝑥1 oraz 𝑥2 należące do przedziału (-2, 2).\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 13. (0-5)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n3.2R) rozwiązuje równania i nierówności\nliniowe i kwadratowe z parametrem.\n4.12) wykorzystuje własności funkcji\nkwadratowej liniowej i kwadratowej do\ninterpretacji zagadnień geometrycznych\n[…].\nZasady oceniania (dla sposobu I)\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (1, +∞).\n4 pkt - rozwiązanie pięciu warunków 1) - 5) określonych w kryterium za 1 punkt.\n3 pkt - rozwiązanie czterech spośród warunków 1) - 5) określonych w kryterium za 1 punkt.\n2 pkt - rozwiązanie trzech spośród warunków 1) - 5) określonych w kryterium za 1 punkt.\n1 pkt - zapisanie wszystkich warunków 1) - 5):\n1) 𝑓(𝑝) < 0 (lub 𝑞< 0, lub Δ > 0),\n2) 𝑝> -2,\n3) 𝑝< 2,\n4) 𝑓(-2) > 0,\n5) 𝑓(2) > 0,\nALBO\n- rozwiązanie jednego z warunków 1) - 5):\n1) 𝑓(𝑝) < 0 (lub 𝑞< 0, lub Δ > 0): 𝑚∈(0, +∞),\n2) 𝑝> -2: 𝑚∈(-∞, -1\n2) ∪(0, +∞),\n3) 𝑝< 2: 𝑚∈(-∞, 0) ∪(1\n2 , +∞),\n4) 𝑓(-2) > 0: 𝑚∈ℝ,\n5) 𝑓(2) > 0: 𝑚∈(-∞, 1\n4) ∪(1, +∞).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający rozwiązuje warunek ∆ ≥0, to za tę część rozwiązania otrzymuje\n0 punktów.\n2. Jeżeli zdający:\na) nie rozwiąże wszystkich warunków 1) - 5) określonych w kryterium za 1 punkt albo\nb) podczas rozwiązywania warunków 1) - 5) popełni błędy rachunkowe i otrzyma zbiory\nrozwiązań, których część wspólna jest zbiorem pustym, albo\nc) popełni błąd, który nie jest rachunkowy,\nto może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\nZasady oceniania (dla sposobu II)\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (1, +∞).\n4 pkt - rozwiązanie pięciu warunków I) - V) określonych w kryterium za 2 punkty\nALBO\n- spełnienie warunków I) oraz III), oraz IV), oraz zapisanie 𝑥1 < 𝑥2.\n3 pkt - spełnienie czterech spośród warunków I) - V) określonych w kryterium za 2 punkty\nALBO\n- spełnienie warunków I) oraz III), oraz zapisanie 𝑥1 < 𝑥2 ,\nALBO\n- spełnienie warunków I) oraz IV), oraz zapisanie 𝑥1 < 𝑥2 ,\nALBO\n- spełnienie warunków III) oraz IV), oraz zapisanie 𝑥1 < 𝑥2.\n2 pkt - spełnienie warunku I) i jednego z warunków II) - V):\nI) wyznaczenie wszystkich wartości parametru 𝑚, dla których funkcja 𝑓 ma\ndokładnie dwa miejsca zerowe oraz wyznaczenie miejsc zerowych 𝑥1 oraz 𝑥2\nfunkcji 𝑓 w zależności od 𝑚: 𝑚∈(0, +∞) i 𝑥1 = 1 - √𝑚\n𝑚\noraz 𝑥2 = 1+ √𝑚\n𝑚\n,\nII) rozwiązanie nierówności 𝑥1 < 2: 𝑚∈(1\n4 , +∞),\nIII) rozwiązanie nierówności -2 < 𝑥1 : 𝑚∈(0 , +∞),\nIV) rozwiązanie nierówności 𝑥2 < 2: 𝑚∈(1 , +∞),\nV) rozwiązanie nierówności -2 < 𝑥2 : 𝑚∈(0 , +∞),\nALBO\n- spełnienie trzech spośród warunków II) - V).\n1 pkt - wyznaczenie wszystkich wartości parametru 𝑚, dla których funkcja 𝑓 ma dokładnie\ndwa miejsca zerowe: 𝑚∈(0, +∞)\nALBO\n- wyznaczenie miejsc zerowych funkcji 𝑓 w zależności od 𝑚: 𝑥1 = 1 - √𝑚\n𝑚\noraz\n𝑥2 = 1+ √𝑚\n𝑚\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający rozwiązuje warunek ∆ ≥0, to za tę część rozwiązania otrzymuje\n0 punktów.\n2. Jeżeli zdający:\na) nie rozwiąże wszystkich warunków I) - V) określonych w kryterium za 1 punkt albo\nb) podczas rozwiązywania warunków I) - V) popełni błędy rachunkowe i otrzyma zbiory\nrozwiązań, których część wspólna jest zbiorem pustym, albo\nc) popełni błąd, który nie jest rachunkowy,\nto może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZasady oceniania (dla sposobu III)\n5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (1, +∞).\n4 pkt - rozwiązanie pięciu warunków A) - E) określonych w kryterium za 1 punkt.\n3 pkt - rozwiązanie czterech warunków spośród warunków A) - E) określonych w kryterium\nza 1 punkt.\n2 pkt - rozwiązanie trzech warunków spośród warunków A) - E) określonych w kryterium za\n1 punkt.\n1 pkt - zapisanie warunków A) - E):\nA) Δ > 0,\nB) 𝑥1 + 2 + 𝑥2 + 2 > 0,\nC) 𝑥1 ⋅𝑥2 + 2(𝑥1 + 𝑥2) + 4 > 0,\nD) 2 -𝑥1 + 2 -𝑥2 > 0,\nE) 𝑥1 ⋅𝑥2 -2(𝑥1 + 𝑥2) + 4 > 0,\nALBO\n- rozwiązanie jednego z warunków A) - E):\nA) Δ > 0: 𝑚∈(0, +∞),\nB) 𝑥1 + 2 + 𝑥2 + 2 > 0: 𝑚∈(-∞, -1\n2) ∪(0, +∞),\nC) 𝑥1 ⋅𝑥2 + 2(𝑥1 + 𝑥2) + 4 > 0: 𝑚≠0,\nD) 2 -𝑥1 + 2 -𝑥2 > 0: 𝑚∈(-∞, 0) ∪(1\n2 , +∞),\nE) 𝑥1 ⋅𝑥2 -2(𝑥1 + 𝑥2) + 4 > 0: 𝑚∈(-∞, 0) ∪(0, 1\n4) ∪(1, +∞).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający rozwiązuje warunek ∆ ≥0, to za tę część rozwiązania otrzymuje\n0 punktów.\n2. Jeżeli zdający:\na) nie rozwiąże wszystkich warunków A) - E) określonych w kryterium za 1 punkt albo\nb) podczas rozwiązywania warunków A) - E) popełni błędy rachunkowe i otrzyma zbiory\nrozwiązań, których część wspólna jest zbiorem pustym, albo\nc) popełni błąd, który nie jest rachunkowy,\nto może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I (poprzez interpretację geometryczną)\nPonieważ 𝑚≠0, więc współczynnik przy 𝑥2 jest dodatni. Zatem parabola, która jest\nwykresem funkcji 𝑓, ma ramiona skierowane ku górze.\nStąd funkcja 𝑓 ma dokładnie dwa miejsca zerowe należące do przedziału (-2, 2) tylko\nwtedy, gdy spełnione będą następujące warunki:\n1) 𝑓(𝑝) < 0 (lub 𝑞< 0, lub Δ > 0)\n2) 𝑝> -2\n3) 𝑝< 2\n4) 𝑓(-2) > 0\n5) 𝑓(2) > 0.\nRozwiązujemy warunek 1):\n𝑓(𝑝) < 0\n𝑓( 1\n𝑚) < 0\n𝑚2 ⋅( 1\n𝑚)\n2\n-2𝑚⋅1\n𝑚-𝑚+ 1 < 0\n-𝑚< 0 ∧ 𝑚≠0\n𝑚∈(0, +∞)\nWarunki 2) oraz 3) można rozwiązać za pomocą nierówności podwójnej:\n𝑝∈(-2, 2)\n-2 < --2𝑚\n2𝑚2 < 2\n-2 < 1\n𝑚< 2\n1\n|𝑚| < 2\n|𝑚| > 1\n2 ∧ 𝑚≠0\n𝑚∈(-∞, -1\n2) ∪(1\n2 , +∞)\nRozwiązujemy warunek 4):\n𝑓(-2) > 0\n𝑚2 ⋅(-2)2 -2𝑚⋅(-2) -𝑚+ 1 > 0\n4𝑚2 + 3𝑚+ 1 > 0\n(2𝑚+ 3\n4)\n2\n+ 7\n16 > 0\n𝑚∈ℝ\nRozwiązujemy warunek 5):\n𝑓(2) > 0\n𝑚2 ⋅22 -2𝑚⋅2 -𝑚+ 1 > 0\n4𝑚2 -5𝑚+ 1 > 0\n4(𝑚-1) (𝑚-1\n4) > 0\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑚∈(-∞, 1\n4) ∪(1, +∞)\nWyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚, które jednocześnie spełniają warunki 1) - 5)\noraz 𝑚≠0: 𝑚∈(1, +∞).\nFunkcja 𝑓 ma dwa różne miejsca zerowe należące do przedziału (-2, 2) tylko wtedy, gdy\n𝑚∈(1, +∞).\nSposób II (poprzez wyznaczenie miejsc zerowych)\nPrzy 𝑚≠0 funkcja 𝑓 ma dokładnie dwa miejsca zerowe 𝑥1 , 𝑥2 należące do przedziału\n(-2, 2), gdy spełnione są następujące warunki:\nI) Δ > 0\nII) 𝑥1 < 2\nIII) -2 < 𝑥1\nIV) 𝑥2 < 2\nV) -2 < 𝑥2 .\nRozwiązujemy nierówność 𝑏2 -4𝑎𝑐> 0:\n(-2𝑚)2 -4 ⋅𝑚2 ⋅(-𝑚+ 1) > 0\n4𝑚3 > 0\n𝑚∈(0, +∞)\nWtedy miejsca zerowe są równe:\n𝑥1 = 2𝑚-2𝑚⋅√𝑚\n2𝑚2\n= 1 -√𝑚\n𝑚\noraz\n𝑥2 = 2𝑚+ 2𝑚⋅√𝑚\n2𝑚2\n= 1 + √𝑚\n𝑚\nRozwiązujemy nierówność -2 < 𝑥1 < 2:\n-2 < 1 -√𝑚\n𝑚\n< 2\n(-2𝑚< 1 -√𝑚 ∧ 𝑚> 0) ∧ (1 -√𝑚< 2𝑚 ∧ 𝑚> 0)\n(2𝑚-√𝑚+ 1 > 0 ∧ 𝑚> 0) ∧ (2𝑚+ √𝑚-1 > 0 ∧ 𝑚> 0)\n(2 (√𝑚-1\n4)\n2\n+ 7\n8 > 0 ∧ 𝑚> 0) ∧ (2(√𝑚+ 1) (√𝑚-1\n2) > 0 ∧ 𝑚> 0)\n𝑚> 0 ∧ ((√𝑚< -1 ∨ √𝑚> 1\n2) ∧ 𝑚> 0)\n𝑚> 0 ∧ (𝑚> 1\n4 ∧ 𝑚> 0)\n𝑚∈(1\n4 , +∞)\nRozwiązujemy nierówność -2 < 𝑥2 < 2:\n-2 < 1 + √𝑚\n𝑚\n< 2\n(-2𝑚< 1 + √𝑚 ∧ 𝑚> 0) ∧ (1 + √𝑚< 2𝑚 ∧ 𝑚> 0)\n(2𝑚+ √𝑚+ 1 > 0 ∧ 𝑚> 0) ∧ (2𝑚-√𝑚-1 > 0 ∧ 𝑚> 0)\n(2 (√𝑚+ 1\n4)\n2\n+ 7\n8 > 0 ∧ 𝑚> 0) ∧ (2(√𝑚-1) (√𝑚+ 1\n2) > 0 ∧ 𝑚> 0)\n𝑚> 0 ∧ ((√𝑚< -1\n2 ∨ √𝑚> 1) ∧ 𝑚> 0)\n𝑚> 0 ∧ (𝑚> 1 ∧ 𝑚> 0)\n𝑚∈(1, +∞)\nWyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚, które jednocześnie spełniają warunki I) - V)\noraz 𝑚≠0: 𝑚∈(1, +∞).\nFunkcja 𝑓 ma dwa różne miejsca zerowe należące do przedziału (-2, 2) tylko wtedy, gdy\n𝑚∈(1, +∞).\nUwaga.\nWszystkie wartości 𝑚, dla których funkcja 𝑓 ma dokładnie dwa miejsca zerowe oraz te\nmiejsca zerowe, można wyznaczyć również następująco.\n𝑓(𝑥) = 𝑚2𝑥2 -2𝑚𝑥-𝑚+ 1\n𝑓(𝑥) = (𝑚𝑥-1)2 -𝑚\n(𝑚𝑥-1)2 -𝑚= 0\n(𝑚𝑥-1)2 = 𝑚\nDla 𝑚≤0 to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, natomiast dla 𝑚> 0\notrzymujemy:\n𝑚𝑥-1 = -√𝑚 ∨ 𝑚𝑥-1 = √𝑚\n𝑥1 = 1 -√𝑚\n𝑚\n∨ 𝑥2 = 1 + √𝑚\n𝑚\nZatem funkcja 𝑓 ma dokładnie dwa miejsca zerowe tylko wtedy, gdy 𝑚∈(0 + ∞).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób III (poprzez wzory Viète’a)\nPrzy 𝑚≠0 funkcja 𝑓 ma dokładnie dwa miejsca zerowe 𝑥1 , 𝑥2 należące do przedziału\n(-2, 2), gdy spełnione są następujące warunki:\nΔ > 0 ∧ 0 < 2 -𝑥1 ∧ 0 < 2 -𝑥2 ∧ 0 < 𝑥1 + 2 ∧ 0 < 𝑥2 + 2\nLiczby 2 -𝑥1 oraz 2 -𝑥2 są dodatnie tylko wówczas, gdy ich suma i iloczyn są dodatnie.\nLiczby 𝑥1 + 2 oraz 𝑥2 + 2 są dodatnie tylko wówczas, gdy ich suma i iloczyn są dodatnie.\nZatem przy 𝑚≠0 funkcja 𝑓 ma dokładnie dwa miejsca zerowe 𝑥1 , 𝑥2 należące do\nprzedziału (-2, 2) tylko wówczas, gdy spełnione są poniższe warunki:\nA) Δ > 0\nB) 𝑥1 + 2 + 𝑥2 + 2 > 0\nC) 𝑥1 ⋅𝑥2 + 2(𝑥1 + 𝑥2) + 4 > 0\nD) 2 -𝑥1 + 2 -𝑥2 > 0\nE) 𝑥1 ⋅𝑥2 -2(𝑥1 + 𝑥2) + 4 > 0.\nRozwiązujemy warunek A), tj. nierówność 𝑏2 -4𝑎𝑐> 0:\n(-2𝑚)2 -4 ⋅𝑚2 ⋅(-𝑚+ 1) > 0\n4𝑚3 > 0\n𝑚∈(0, +∞)\nRozwiązujemy warunek B), stosując wzory Viète’a:\n𝑥1 + 2 + 𝑥2 + 2 > 0\n2𝑚\n𝑚2 + 4 > 0\n4𝑚2 + 2𝑚> 0 ∧ 𝑚≠0\n2𝑚(2𝑚+ 1) > 0 ∧ 𝑚≠0\n𝑚∈(-∞, -1\n2) ∪(0, +∞)\nRozwiązujemy warunek C), stosując wzory Viète’a:\n𝑥1 ⋅𝑥2 + 2(𝑥1 + 𝑥2) + 4 > 0\n-𝑚+ 1\n𝑚2\n+ 2 ⋅2𝑚\n𝑚2 + 4 > 0\n-𝑚+ 1 + 4𝑚+ 4𝑚2 > 0 ∧ 𝑚≠0\n4𝑚2 + 3𝑚+ 1 > 0 ∧ 𝑚≠0\n(2𝑚+ 3\n4)\n2\n+ 7\n16 > 0 ∧ 𝑚≠0\n𝑚≠0\nRozwiązujemy warunek D), stosując wzory Viète’a:\n2 -𝑥1 + 2 -𝑥2 > 0\n4 -2𝑚\n𝑚2 > 0\n4𝑚2 -2𝑚> 0 ∧ 𝑚≠0\n2𝑚(2𝑚-1) > 0 ∧ 𝑚≠0\n𝑚∈(-∞, 0) ∪(1\n2 , +∞)\nRozwiązujemy warunek E), stosując wzory Viète’a:\n𝑥1 ⋅𝑥2 -2(𝑥1 + 𝑥2) + 4 > 0\n-𝑚+ 1\n𝑚2\n-2 ⋅2𝑚\n𝑚2 + 4 > 0\n-𝑚+ 1 -4𝑚+ 4𝑚2 > 0 ∧ 𝑚≠0\n4𝑚2 -5𝑚+ 1 > 0 ∧ 𝑚≠0\n(4𝑚-1)(𝑚-1) > 0 ∧ 𝑚≠0\n𝑚∈(-∞, 0) ∪(0, 1\n4) ∪(1, +∞)\nWyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚, które jednocześnie spełniają warunki A) - E)\noraz 𝑚≠0: 𝑚∈(1, +∞).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 13. (0-5)<br>Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru 𝑚, gdzie 𝑚≠0, dla których funkcja<br>kwadratowa 𝑓 określona wzorem<br>𝑓(𝑥) = 𝑚2 ⋅𝑥2 -2𝑚𝑥-𝑚+ 1<br>ma dwa różne miejsca zerowe 𝑥1 oraz 𝑥2 należące do przedziału (-2, 2).</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 13. (0-5)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>IV. Użycie i tworzenie strategii.<br>Zdający:<br>3.2R) rozwiązuje równania i nierówności<br>liniowe i kwadratowe z parametrem.<br>4.12) wykorzystuje własności funkcji<br>kwadratowej liniowej i kwadratowej do<br>interpretacji zagadnień geometrycznych<br>[…].<br>Zasady oceniania (dla sposobu I)<br>5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (1, +∞).<br>4 pkt - rozwiązanie pięciu warunków 1) - 5) określonych w kryterium za 1 punkt.<br>3 pkt - rozwiązanie czterech spośród warunków 1) - 5) określonych w kryterium za 1 punkt.<br>2 pkt - rozwiązanie trzech spośród warunków 1) - 5) określonych w kryterium za 1 punkt.<br>1 pkt - zapisanie wszystkich warunków 1) - 5):</p>\n<ol><li>𝑓(𝑝) &lt; 0 (lub 𝑞&lt; 0, lub Δ &gt; 0),</li><li>𝑝&gt; -2,</li><li>𝑝&lt; 2,</li><li>𝑓(-2) &gt; 0,</li><li>𝑓(2) &gt; 0,</li></ol>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>rozwiązanie jednego z warunków 1) - 5):</li></ul>\n<ol><li>𝑓(𝑝) &lt; 0 (lub 𝑞&lt; 0, lub Δ &gt; 0): 𝑚∈(0, +∞),</li><li>𝑝&gt; -2: 𝑚∈(-∞, -1</li><li>∪(0, +∞),</li><li>𝑝&lt; 2: 𝑚∈(-∞, 0) ∪(1</li></ol>\n<p>2 , +∞),</p>\n<ol><li>𝑓(-2) &gt; 0: 𝑚∈ℝ,</li><li>𝑓(2) &gt; 0: 𝑚∈(-∞, 1</li><li>∪(1, +∞).</li></ol>\n<p>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający rozwiązuje warunek ∆ ≥0, to za tę część rozwiązania otrzymuje</li></ol>\n<p>0 punktów.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający:</li></ol>\n<p>a) nie rozwiąże wszystkich warunków 1) - 5) określonych w kryterium za 1 punkt albo<br>b) podczas rozwiązywania warunków 1) - 5) popełni błędy rachunkowe i otrzyma zbiory<br>rozwiązań, których część wspólna jest zbiorem pustym, albo<br>c) popełni błąd, który nie jest rachunkowy,<br>to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.<br>Zasady oceniania (dla sposobu II)<br>5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (1, +∞).<br>4 pkt - rozwiązanie pięciu warunków I) - V) określonych w kryterium za 2 punkty<br>ALBO</p>\n<ul><li>spełnienie warunków I) oraz III), oraz IV), oraz zapisanie 𝑥1 &lt; 𝑥2.</li></ul>\n<p>3 pkt - spełnienie czterech spośród warunków I) - V) określonych w kryterium za 2 punkty<br>ALBO</p>\n<ul><li>spełnienie warunków I) oraz III), oraz zapisanie 𝑥1 &lt; 𝑥2 ,</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>spełnienie warunków I) oraz IV), oraz zapisanie 𝑥1 &lt; 𝑥2 ,</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>spełnienie warunków III) oraz IV), oraz zapisanie 𝑥1 &lt; 𝑥2.</li></ul>\n<p>2 pkt - spełnienie warunku I) i jednego z warunków II) - V):<br>I) wyznaczenie wszystkich wartości parametru 𝑚, dla których funkcja 𝑓 ma<br>dokładnie dwa miejsca zerowe oraz wyznaczenie miejsc zerowych 𝑥1 oraz 𝑥2<br>funkcji 𝑓 w zależności od 𝑚: 𝑚∈(0, +∞) i 𝑥1 = 1 - √𝑚<br>𝑚<br>oraz 𝑥2 = 1+ √𝑚<br>𝑚<br>,<br>II) rozwiązanie nierówności 𝑥1 &lt; 2: 𝑚∈(1<br>4 , +∞),<br>III) rozwiązanie nierówności -2 &lt; 𝑥1 : 𝑚∈(0 , +∞),<br>IV) rozwiązanie nierówności 𝑥2 &lt; 2: 𝑚∈(1 , +∞),<br>V) rozwiązanie nierówności -2 &lt; 𝑥2 : 𝑚∈(0 , +∞),<br>ALBO</p>\n<ul><li>spełnienie trzech spośród warunków II) - V).</li></ul>\n<p>1 pkt - wyznaczenie wszystkich wartości parametru 𝑚, dla których funkcja 𝑓 ma dokładnie<br>dwa miejsca zerowe: 𝑚∈(0, +∞)<br>ALBO</p>\n<ul><li>wyznaczenie miejsc zerowych funkcji 𝑓 w zależności od 𝑚: 𝑥1 = 1 - √𝑚</li></ul>\n<p>𝑚<br>oraz<br>𝑥2 = 1+ √𝑚<br>𝑚<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający rozwiązuje warunek ∆ ≥0, to za tę część rozwiązania otrzymuje</li></ol>\n<p>0 punktów.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający:</li></ol>\n<p>a) nie rozwiąże wszystkich warunków I) - V) określonych w kryterium za 1 punkt albo<br>b) podczas rozwiązywania warunków I) - V) popełni błędy rachunkowe i otrzyma zbiory<br>rozwiązań, których część wspólna jest zbiorem pustym, albo<br>c) popełni błąd, który nie jest rachunkowy,<br>to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Zasady oceniania (dla sposobu III)<br>5 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (1, +∞).<br>4 pkt - rozwiązanie pięciu warunków A) - E) określonych w kryterium za 1 punkt.<br>3 pkt - rozwiązanie czterech warunków spośród warunków A) - E) określonych w kryterium<br>za 1 punkt.<br>2 pkt - rozwiązanie trzech warunków spośród warunków A) - E) określonych w kryterium za<br>1 punkt.<br>1 pkt - zapisanie warunków A) - E):<br>A) Δ &gt; 0,<br>B) 𝑥1 + 2 + 𝑥2 + 2 &gt; 0,<br>C) 𝑥1 ⋅𝑥2 + 2(𝑥1 + 𝑥2) + 4 &gt; 0,<br>D) 2 -𝑥1 + 2 -𝑥2 &gt; 0,<br>E) 𝑥1 ⋅𝑥2 -2(𝑥1 + 𝑥2) + 4 &gt; 0,<br>ALBO</p>\n<ul><li>rozwiązanie jednego z warunków A) - E):</li></ul>\n<p>A) Δ &gt; 0: 𝑚∈(0, +∞),<br>B) 𝑥1 + 2 + 𝑥2 + 2 &gt; 0: 𝑚∈(-∞, -1</p>\n<ol><li>∪(0, +∞),</li></ol>\n<p>C) 𝑥1 ⋅𝑥2 + 2(𝑥1 + 𝑥2) + 4 &gt; 0: 𝑚≠0,<br>D) 2 -𝑥1 + 2 -𝑥2 &gt; 0: 𝑚∈(-∞, 0) ∪(1<br>2 , +∞),<br>E) 𝑥1 ⋅𝑥2 -2(𝑥1 + 𝑥2) + 4 &gt; 0: 𝑚∈(-∞, 0) ∪(0, 1</p>\n<ol><li>∪(1, +∞).</li></ol>\n<p>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający rozwiązuje warunek ∆ ≥0, to za tę część rozwiązania otrzymuje</li></ol>\n<p>0 punktów.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający:</li></ol>\n<p>a) nie rozwiąże wszystkich warunków A) - E) określonych w kryterium za 1 punkt albo<br>b) podczas rozwiązywania warunków A) - E) popełni błędy rachunkowe i otrzyma zbiory<br>rozwiązań, których część wspólna jest zbiorem pustym, albo<br>c) popełni błąd, który nie jest rachunkowy,<br>to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I (poprzez interpretację geometryczną)<br>Ponieważ 𝑚≠0, więc współczynnik przy 𝑥2 jest dodatni. Zatem parabola, która jest<br>wykresem funkcji 𝑓, ma ramiona skierowane ku górze.<br>Stąd funkcja 𝑓 ma dokładnie dwa miejsca zerowe należące do przedziału (-2, 2) tylko<br>wtedy, gdy spełnione będą następujące warunki:</p>\n<ol><li>𝑓(𝑝) &lt; 0 (lub 𝑞&lt; 0, lub Δ &gt; 0)</li><li>𝑝&gt; -2</li><li>𝑝&lt; 2</li><li>𝑓(-2) &gt; 0</li><li>𝑓(2) &gt; 0.</li></ol>\n<p>Rozwiązujemy warunek 1):<br>𝑓(𝑝) &lt; 0<br>𝑓( 1<br>𝑚) &lt; 0<br>𝑚2 ⋅( 1<br>𝑚)<br>2<br>-2𝑚⋅1<br>𝑚-𝑚+ 1 &lt; 0<br>-𝑚&lt; 0 ∧ 𝑚≠0<br>𝑚∈(0, +∞)<br>Warunki 2) oraz 3) można rozwiązać za pomocą nierówności podwójnej:<br>𝑝∈(-2, 2)<br>-2 &lt; --2𝑚<br>2𝑚2 &lt; 2<br>-2 &lt; 1<br>𝑚&lt; 2<br>1<br>|𝑚| &lt; 2<br>|𝑚| &gt; 1<br>2 ∧ 𝑚≠0<br>𝑚∈(-∞, -1</p>\n<ol><li>∪(1</li></ol>\n<p>2 , +∞)<br>Rozwiązujemy warunek 4):<br>𝑓(-2) &gt; 0<br>𝑚2 ⋅(-2)2 -2𝑚⋅(-2) -𝑚+ 1 &gt; 0<br>4𝑚2 + 3𝑚+ 1 &gt; 0<br>(2𝑚+ 3<br>4)<br>2</p>\n<ul><li>7</li></ul>\n<p>16 &gt; 0<br>𝑚∈ℝ<br>Rozwiązujemy warunek 5):<br>𝑓(2) &gt; 0<br>𝑚2 ⋅22 -2𝑚⋅2 -𝑚+ 1 &gt; 0<br>4𝑚2 -5𝑚+ 1 &gt; 0<br>4(𝑚-1) (𝑚-1</p>\n<ol><li>&gt; 0</li></ol>\n<p>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>𝑚∈(-∞, 1</p>\n<ol><li>∪(1, +∞)</li></ol>\n<p>Wyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚, które jednocześnie spełniają warunki 1) - 5)<br>oraz 𝑚≠0: 𝑚∈(1, +∞).<br>Funkcja 𝑓 ma dwa różne miejsca zerowe należące do przedziału (-2, 2) tylko wtedy, gdy<br>𝑚∈(1, +∞).<br>Sposób II (poprzez wyznaczenie miejsc zerowych)<br>Przy 𝑚≠0 funkcja 𝑓 ma dokładnie dwa miejsca zerowe 𝑥1 , 𝑥2 należące do przedziału<br>(-2, 2), gdy spełnione są następujące warunki:<br>I) Δ &gt; 0<br>II) 𝑥1 &lt; 2<br>III) -2 &lt; 𝑥1<br>IV) 𝑥2 &lt; 2<br>V) -2 &lt; 𝑥2 .<br>Rozwiązujemy nierówność 𝑏2 -4𝑎𝑐&gt; 0:<br>(-2𝑚)2 -4 ⋅𝑚2 ⋅(-𝑚+ 1) &gt; 0<br>4𝑚3 &gt; 0<br>𝑚∈(0, +∞)<br>Wtedy miejsca zerowe są równe:<br>𝑥1 = 2𝑚-2𝑚⋅√𝑚<br>2𝑚2<br>= 1 -√𝑚<br>𝑚<br>oraz<br>𝑥2 = 2𝑚+ 2𝑚⋅√𝑚<br>2𝑚2<br>= 1 + √𝑚<br>𝑚<br>Rozwiązujemy nierówność -2 &lt; 𝑥1 &lt; 2:<br>-2 &lt; 1 -√𝑚<br>𝑚<br>&lt; 2<br>(-2𝑚&lt; 1 -√𝑚 ∧ 𝑚&gt; 0) ∧ (1 -√𝑚&lt; 2𝑚 ∧ 𝑚&gt; 0)<br>(2𝑚-√𝑚+ 1 &gt; 0 ∧ 𝑚&gt; 0) ∧ (2𝑚+ √𝑚-1 &gt; 0 ∧ 𝑚&gt; 0)<br>(2 (√𝑚-1<br>4)<br>2</p>\n<ul><li>7</li></ul>\n<p>8 &gt; 0 ∧ 𝑚&gt; 0) ∧ (2(√𝑚+ 1) (√𝑚-1</p>\n<ol><li>&gt; 0 ∧ 𝑚&gt; 0)</li></ol>\n<p>𝑚&gt; 0 ∧ ((√𝑚&lt; -1 ∨ √𝑚&gt; 1</p>\n<ol><li>∧ 𝑚&gt; 0)</li></ol>\n<p>𝑚&gt; 0 ∧ (𝑚&gt; 1<br>4 ∧ 𝑚&gt; 0)<br>𝑚∈(1<br>4 , +∞)<br>Rozwiązujemy nierówność -2 &lt; 𝑥2 &lt; 2:<br>-2 &lt; 1 + √𝑚<br>𝑚<br>&lt; 2<br>(-2𝑚&lt; 1 + √𝑚 ∧ 𝑚&gt; 0) ∧ (1 + √𝑚&lt; 2𝑚 ∧ 𝑚&gt; 0)<br>(2𝑚+ √𝑚+ 1 &gt; 0 ∧ 𝑚&gt; 0) ∧ (2𝑚-√𝑚-1 &gt; 0 ∧ 𝑚&gt; 0)<br>(2 (√𝑚+ 1<br>4)<br>2</p>\n<ul><li>7</li></ul>\n<p>8 &gt; 0 ∧ 𝑚&gt; 0) ∧ (2(√𝑚-1) (√𝑚+ 1</p>\n<ol><li>&gt; 0 ∧ 𝑚&gt; 0)</li></ol>\n<p>𝑚&gt; 0 ∧ ((√𝑚&lt; -1<br>2 ∨ √𝑚&gt; 1) ∧ 𝑚&gt; 0)<br>𝑚&gt; 0 ∧ (𝑚&gt; 1 ∧ 𝑚&gt; 0)<br>𝑚∈(1, +∞)<br>Wyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚, które jednocześnie spełniają warunki I) - V)<br>oraz 𝑚≠0: 𝑚∈(1, +∞).<br>Funkcja 𝑓 ma dwa różne miejsca zerowe należące do przedziału (-2, 2) tylko wtedy, gdy<br>𝑚∈(1, +∞).<br>Uwaga.<br>Wszystkie wartości 𝑚, dla których funkcja 𝑓 ma dokładnie dwa miejsca zerowe oraz te<br>miejsca zerowe, można wyznaczyć również następująco.<br>𝑓(𝑥) = 𝑚2𝑥2 -2𝑚𝑥-𝑚+ 1<br>𝑓(𝑥) = (𝑚𝑥-1)2 -𝑚<br>(𝑚𝑥-1)2 -𝑚= 0<br>(𝑚𝑥-1)2 = 𝑚<br>Dla 𝑚≤0 to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, natomiast dla 𝑚&gt; 0<br>otrzymujemy:<br>𝑚𝑥-1 = -√𝑚 ∨ 𝑚𝑥-1 = √𝑚<br>𝑥1 = 1 -√𝑚<br>𝑚<br>∨ 𝑥2 = 1 + √𝑚<br>𝑚<br>Zatem funkcja 𝑓 ma dokładnie dwa miejsca zerowe tylko wtedy, gdy 𝑚∈(0 + ∞).<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Sposób III (poprzez wzory Viète’a)<br>Przy 𝑚≠0 funkcja 𝑓 ma dokładnie dwa miejsca zerowe 𝑥1 , 𝑥2 należące do przedziału<br>(-2, 2), gdy spełnione są następujące warunki:<br>Δ &gt; 0 ∧ 0 &lt; 2 -𝑥1 ∧ 0 &lt; 2 -𝑥2 ∧ 0 &lt; 𝑥1 + 2 ∧ 0 &lt; 𝑥2 + 2<br>Liczby 2 -𝑥1 oraz 2 -𝑥2 są dodatnie tylko wówczas, gdy ich suma i iloczyn są dodatnie.<br>Liczby 𝑥1 + 2 oraz 𝑥2 + 2 są dodatnie tylko wówczas, gdy ich suma i iloczyn są dodatnie.<br>Zatem przy 𝑚≠0 funkcja 𝑓 ma dokładnie dwa miejsca zerowe 𝑥1 , 𝑥2 należące do<br>przedziału (-2, 2) tylko wówczas, gdy spełnione są poniższe warunki:<br>A) Δ &gt; 0<br>B) 𝑥1 + 2 + 𝑥2 + 2 &gt; 0<br>C) 𝑥1 ⋅𝑥2 + 2(𝑥1 + 𝑥2) + 4 &gt; 0<br>D) 2 -𝑥1 + 2 -𝑥2 &gt; 0<br>E) 𝑥1 ⋅𝑥2 -2(𝑥1 + 𝑥2) + 4 &gt; 0.<br>Rozwiązujemy warunek A), tj. nierówność 𝑏2 -4𝑎𝑐&gt; 0:<br>(-2𝑚)2 -4 ⋅𝑚2 ⋅(-𝑚+ 1) &gt; 0<br>4𝑚3 &gt; 0<br>𝑚∈(0, +∞)<br>Rozwiązujemy warunek B), stosując wzory Viète’a:<br>𝑥1 + 2 + 𝑥2 + 2 &gt; 0<br>2𝑚<br>𝑚2 + 4 &gt; 0<br>4𝑚2 + 2𝑚&gt; 0 ∧ 𝑚≠0<br>2𝑚(2𝑚+ 1) &gt; 0 ∧ 𝑚≠0<br>𝑚∈(-∞, -1</p>\n<ol><li>∪(0, +∞)</li></ol>\n<p>Rozwiązujemy warunek C), stosując wzory Viète’a:<br>𝑥1 ⋅𝑥2 + 2(𝑥1 + 𝑥2) + 4 &gt; 0<br>-𝑚+ 1<br>𝑚2</p>\n<ul><li>2 ⋅2𝑚</li></ul>\n<p>𝑚2 + 4 &gt; 0<br>-𝑚+ 1 + 4𝑚+ 4𝑚2 &gt; 0 ∧ 𝑚≠0<br>4𝑚2 + 3𝑚+ 1 &gt; 0 ∧ 𝑚≠0<br>(2𝑚+ 3<br>4)<br>2</p>\n<ul><li>7</li></ul>\n<p>16 &gt; 0 ∧ 𝑚≠0<br>𝑚≠0<br>Rozwiązujemy warunek D), stosując wzory Viète’a:<br>2 -𝑥1 + 2 -𝑥2 &gt; 0<br>4 -2𝑚<br>𝑚2 &gt; 0<br>4𝑚2 -2𝑚&gt; 0 ∧ 𝑚≠0<br>2𝑚(2𝑚-1) &gt; 0 ∧ 𝑚≠0<br>𝑚∈(-∞, 0) ∪(1<br>2 , +∞)<br>Rozwiązujemy warunek E), stosując wzory Viète’a:<br>𝑥1 ⋅𝑥2 -2(𝑥1 + 𝑥2) + 4 &gt; 0<br>-𝑚+ 1<br>𝑚2<br>-2 ⋅2𝑚<br>𝑚2 + 4 &gt; 0<br>-𝑚+ 1 -4𝑚+ 4𝑚2 &gt; 0 ∧ 𝑚≠0<br>4𝑚2 -5𝑚+ 1 &gt; 0 ∧ 𝑚≠0<br>(4𝑚-1)(𝑚-1) &gt; 0 ∧ 𝑚≠0<br>𝑚∈(-∞, 0) ∪(0, 1</p>\n<ol><li>∪(1, +∞)</li></ol>\n<p>Wyznaczamy wszystkie wartości parametru 𝑚, które jednocześnie spełniają warunki A) - E)<br>oraz 𝑚≠0: 𝑚∈(1, +∞).<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[]}