{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"14","points":6,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (0-6)\nW czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 są dane: |𝐴𝐵| = 9, |𝐴𝐷| = 10 oraz |∡𝐵𝐴𝐷| = 60°. W ten\nczworokąt wpisano okrąg oraz na tym czworokącie opisano okrąg (zobacz rysunek).\nOblicz długości boków 𝐵𝐶 i 𝐶𝐷 oraz pole czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷.\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n9\n10\n60°\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 14. (0-6)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n7.1R) stosuje twierdzenia charakteryzujące\nczworokąty wpisane w okrąg i czworokąty\nopisane na okręgu.\nZasady oceniania\n6 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: |𝐵𝐶| = 5 i |𝐶𝐷| = 6 oraz\n𝑃= 30√3.\n5 pkt - obliczenie długości boków 𝐵𝐶 oraz 𝐶𝐷: |𝐵𝐶| = 5 oraz |𝐶𝐷| = 6.\n4 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą (długością boku 𝐵𝐶 lub długością boku\n𝐶𝐷), np.\n91 = |𝐵𝐶|2 + (|𝐵𝐶| + 1)2 -2 ⋅|𝐵𝐶| ⋅(|𝐵𝐶| + 1) ⋅cos 120°,\n91 = (|𝐵𝐶| + 1 + 1\n2 ⋅|𝐵𝐶|)\n2\n+ (√3\n2 ⋅|𝐵𝐶|)\n2\nALBO\n- zapisanie układu równań z dwiema niewiadomymi (długościami boków 𝐵𝐶 i 𝐶𝐷),\nnp. {\n9 + |𝐶𝐷| = 10 + |𝐵𝐶|\n(√91)\n2 = |𝐵𝐶|2 + |𝐶𝐷|2 -2 ⋅|𝐵𝐶| ⋅|𝐶𝐷| ⋅cos 120°\n3 pkt - spełnienie wszystkich warunków 1) - 3) określonych w kryterium za 1 punkt\nALBO\n- spełnienie warunków 1) i 2) określonych w kryterium za 1 punkt oraz zastosowanie\ntwierdzenia cosinusów do trójkąta 𝐵𝐶𝐷 i zapisanie równania\n|𝐵𝐷|2 = |𝐵𝐶|2 + |𝐶𝐷|2 -2 ⋅|𝐵𝐶| ⋅|𝐶𝐷| ⋅cos|∡𝐵𝐶𝐷|,\nALBO\n- spełnienie warunków 2) i 3) określonych w kryterium za 1 punkt oraz zastosowanie\ntwierdzenia cosinusów do trójkąta 𝐵𝐶𝐷 i zapisanie równania\n|𝐵𝐷|2 = |𝐵𝐶|2 + |𝐶𝐷|2 -2 ⋅|𝐵𝐶| ⋅|𝐶𝐷| ⋅cos|∡𝐵𝐶𝐷|.\n2 pkt - spełnienie dwóch spośród warunków 1) - 3) określonych w kryterium za 1 punkt.\n1 pkt - spełnienie jednego z warunków 1) - 3):\n1) zastosowanie twierdzenia o czworokącie opisanym na okręgu i zapisanie\nzależności między długością boku 𝐵𝐶 a długością boku 𝐶𝐷 czworokąta, np.\n9 + |𝐶𝐷| = 10 + |𝐵𝐶|,\n2) zapisanie jednego z dwóch równań: |𝐵𝐷|2 = 92 + 102 -2 ⋅9 ⋅10 ⋅cos 60° lub\n|𝐵𝐷|2 = (\n√3\n2 ⋅10)\n2\n+ (9 -5)2,\n3) zastosowanie twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg i obliczenie miary kąta\n𝐵𝐶𝐷: 120°.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli jedynym błędem zdającego jest:\na) błędne zastosowanie twierdzenia cosinusów albo\nb) błędne zastosowanie wzoru redukcyjnego, albo\nc) błędne zastosowanie twierdzenia o czworokącie opisanym na okręgu (tj. zapisanie\nzwiązku 9 ⋅|𝐶𝐷| = 10 ⋅|𝐵𝐶| lub 10 + |𝐶𝐷| = 9 + |𝐵𝐶|), albo\nd) błędne zastosowanie własności miarowych trójkąta prostokątnego o kątach ostrych\n30° i 60°, albo\ne) błędna interpretacja obliczonej długości jednego z dwóch szukanych boków\nczworokąta,\nale zdający realizuje poprawnie strategię rozwiązania zadania, to może otrzymać co\nnajwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\nJeżeli zdający popełni dodatkowo błędy rachunkowe, to może otrzymać co najwyżej\n3 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmijmy następujące oznaczenia: 𝑥= |𝐵𝐶|, 𝑦= |𝐶𝐷|, 𝑑= |𝐵𝐷| (zobacz rysunek).\nNa czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest opisany okrąg, więc 60° + |∡𝐵𝐶𝐷| = 180°, czyli\n|∡𝐵𝐶𝐷| = 120°.\nW czworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest wpisany okrąg, więc 9 + 𝑦= 10 + 𝑥, czyli 𝑦= 𝑥+ 1.\nStosujemy twierdzenie cosinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐷 i otrzymujemy\n𝑑2 = 92 + 102 -2 ⋅9 ⋅10 ⋅cos 60°\nStosujemy twierdzenie cosinusów do trójkąta 𝐵𝐶𝐷 i otrzymujemy:\n𝑑2 = 𝑥2 + 𝑦2 -2 ⋅𝑥⋅𝑦⋅cos 120°\n𝑑2 = 𝑥2 + (𝑥+ 1)2 + 2𝑥(𝑥+ 1) ⋅1\n2\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n9\n10\n60°\n𝑥\n𝑦\n𝑑\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZatem:\n92 + 102 -2 ⋅9 ⋅10 ⋅cos 60° = 𝑥2 + (𝑥+ 1)2 + 2𝑥(𝑥+ 1) ⋅1\n2\n0 = 3𝑥2 + 3𝑥-90\n0 = 𝑥2 + 𝑥-30\n𝑥= 5 ∨ 𝑥= -6 ∉(0, +∞)\nStąd |𝐵𝐶| = 5 i |𝐶𝐷| = |𝐵𝐶| + 1 = 6.\nPole czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest sumą pól trójkątów 𝐴𝐵𝐷 i 𝐵𝐶𝐷.\nObliczamy pole 𝑃 czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷:\n𝑃= 1\n2 ⋅9 ⋅10 ⋅sin 60° + 1\n2 ⋅5 ⋅6 ⋅sin 120° = 45 ⋅√3\n2 + 15 ⋅√3\n2 = 30√3","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 14. (0-6)
W czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 są dane: |𝐴𝐵| = 9, |𝐴𝐷| = 10 oraz |∡𝐵𝐴𝐷| = 60°. W ten
czworokąt wpisano okrąg oraz na tym czworokącie opisano okrąg (zobacz rysunek).
Oblicz długości boków 𝐵𝐶 i 𝐶𝐷 oraz pole czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷.
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
9
10
60°

\n

EMAP-R0_100

\n

EMAP-R0_100

\n

EMAP-R0_100

\n

EMAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 14. (0-6)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Zdający:
7.1R) stosuje twierdzenia charakteryzujące
czworokąty wpisane w okrąg i czworokąty
opisane na okręgu.
Zasady oceniania
6 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: |𝐵𝐶| = 5 i |𝐶𝐷| = 6 oraz
𝑃= 30√3.
5 pkt - obliczenie długości boków 𝐵𝐶 oraz 𝐶𝐷: |𝐵𝐶| = 5 oraz |𝐶𝐷| = 6.
4 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą (długością boku 𝐵𝐶 lub długością boku
𝐶𝐷), np.
91 = |𝐵𝐶|2 + (|𝐵𝐶| + 1)2 -2 ⋅|𝐵𝐶| ⋅(|𝐵𝐶| + 1) ⋅cos 120°,
91 = (|𝐵𝐶| + 1 + 1
2 ⋅|𝐵𝐶|)
2

\n\n

2 ⋅|𝐵𝐶|)
2
ALBO

\n\n

np. {
9 + |𝐶𝐷| = 10 + |𝐵𝐶|
(√91)
2 = |𝐵𝐶|2 + |𝐶𝐷|2 -2 ⋅|𝐵𝐶| ⋅|𝐶𝐷| ⋅cos 120°
3 pkt - spełnienie wszystkich warunków 1) - 3) określonych w kryterium za 1 punkt
ALBO

\n\n

twierdzenia cosinusów do trójkąta 𝐵𝐶𝐷 i zapisanie równania
|𝐵𝐷|2 = |𝐵𝐶|2 + |𝐶𝐷|2 -2 ⋅|𝐵𝐶| ⋅|𝐶𝐷| ⋅cos|∡𝐵𝐶𝐷|,
ALBO

\n\n

twierdzenia cosinusów do trójkąta 𝐵𝐶𝐷 i zapisanie równania
|𝐵𝐷|2 = |𝐵𝐶|2 + |𝐶𝐷|2 -2 ⋅|𝐵𝐶| ⋅|𝐶𝐷| ⋅cos|∡𝐵𝐶𝐷|.
2 pkt - spełnienie dwóch spośród warunków 1) - 3) określonych w kryterium za 1 punkt.
1 pkt - spełnienie jednego z warunków 1) - 3):

\n
  1. zastosowanie twierdzenia o czworokącie opisanym na okręgu i zapisanie
\n

zależności między długością boku 𝐵𝐶 a długością boku 𝐶𝐷 czworokąta, np.
9 + |𝐶𝐷| = 10 + |𝐵𝐶|,

\n
  1. zapisanie jednego z dwóch równań: |𝐵𝐷|2 = 92 + 102 -2 ⋅9 ⋅10 ⋅cos 60° lub
\n

|𝐵𝐷|2 = (
√3
2 ⋅10)
2

\n\n
  1. zastosowanie twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg i obliczenie miary kąta
\n

𝐵𝐶𝐷: 120°.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:
a) błędne zastosowanie twierdzenia cosinusów albo
b) błędne zastosowanie wzoru redukcyjnego, albo
c) błędne zastosowanie twierdzenia o czworokącie opisanym na okręgu (tj. zapisanie
związku 9 ⋅|𝐶𝐷| = 10 ⋅|𝐵𝐶| lub 10 + |𝐶𝐷| = 9 + |𝐵𝐶|), albo
d) błędne zastosowanie własności miarowych trójkąta prostokątnego o kątach ostrych
30° i 60°, albo
e) błędna interpretacja obliczonej długości jednego z dwóch szukanych boków
czworokąta,
ale zdający realizuje poprawnie strategię rozwiązania zadania, to może otrzymać co
najwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.
Jeżeli zdający popełni dodatkowo błędy rachunkowe, to może otrzymać co najwyżej
3 punkty za całe rozwiązanie, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Przyjmijmy następujące oznaczenia: 𝑥= |𝐵𝐶|, 𝑦= |𝐶𝐷|, 𝑑= |𝐵𝐷| (zobacz rysunek).
Na czworokącie 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest opisany okrąg, więc 60° + |∡𝐵𝐶𝐷| = 180°, czyli
|∡𝐵𝐶𝐷| = 120°.
W czworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest wpisany okrąg, więc 9 + 𝑦= 10 + 𝑥, czyli 𝑦= 𝑥+ 1.
Stosujemy twierdzenie cosinusów do trójkąta 𝐴𝐵𝐷 i otrzymujemy
𝑑2 = 92 + 102 -2 ⋅9 ⋅10 ⋅cos 60°
Stosujemy twierdzenie cosinusów do trójkąta 𝐵𝐶𝐷 i otrzymujemy:
𝑑2 = 𝑥2 + 𝑦2 -2 ⋅𝑥⋅𝑦⋅cos 120°
𝑑2 = 𝑥2 + (𝑥+ 1)2 + 2𝑥(𝑥+ 1) ⋅1
2
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
9
10
60°
𝑥
𝑦
𝑑
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Zatem:
92 + 102 -2 ⋅9 ⋅10 ⋅cos 60° = 𝑥2 + (𝑥+ 1)2 + 2𝑥(𝑥+ 1) ⋅1
2
0 = 3𝑥2 + 3𝑥-90
0 = 𝑥2 + 𝑥-30
𝑥= 5 ∨ 𝑥= -6 ∉(0, +∞)
Stąd |𝐵𝐶| = 5 i |𝐶𝐷| = |𝐵𝐶| + 1 = 6.
Pole czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest sumą pól trójkątów 𝐴𝐵𝐷 i 𝐵𝐶𝐷.
Obliczamy pole 𝑃 czworokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷:
𝑃= 1
2 ⋅9 ⋅10 ⋅sin 60° + 1
2 ⋅5 ⋅6 ⋅sin 120° = 45 ⋅√3
2 + 15 ⋅√3
2 = 30√3

","solutions":[]}