{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"6","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-3)\nZe zbioru ośmiu liczb {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} losujemy bez zwracania osiem razy po jednej\nliczbie. Wylosowane liczby ustawiamy w ciąg zgodnie z kolejnością losowania.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 polegającego na tym, że wylosowane liczby\nutworzą ciąg, w którym iloczyn każdych trzech kolejnych wyrazów będzie liczbą podzielną\nprzez 3. Wynik podaj w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n10.3) oblicza prawdopodobieństwa\nw prostych sytuacjach, stosując klasyczną\ndefinicję prawdopodobieństwa.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 1\n28 .\n2 pkt - wyznaczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych oraz wyznaczenie liczby\nwszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴, np.\n|Ω| = 8! oraz |𝐴| = 2 ⋅6!.\n1 pkt - wyznaczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych, np. |Ω| = 8!\nALBO\n- zapisanie, że trzecim i szóstym wyrazem ciągu, który jest zdarzeniem elementarnym\nsprzyjającym zdarzeniu 𝐴, musi być liczba podzielna przez 3,\nALBO\n- wyznaczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴,\nnp. |𝐴| = 2 ⋅6!.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisze, że trzecim i szóstym wyrazem ciągu, który jest zdarzeniem\nelementarnym sprzyjającym zdarzeniu 𝐴, musi być liczba podzielna przez 3, ale -\nobliczając liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu 𝐴 - zapisze |𝐴| = 6! (lub\n|𝐴| = 2 ⋅2 ⋅6!) oraz rozwiąże zadanie konsekwentnie do końca, to może otrzymać\n2 punkty.\n2. Jeżeli zdający zapisze |Ω| = (8\n2) (lub |Ω| = 8 ⋅7) bez stosownego komentarza i na tym\nzakończy, to otrzymuje 0 punktów.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie permutacje zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Jest to\nmodel klasyczny. Niech Ω oznacza zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych. Wówczas\n|Ω| = 8!.\nIloczyn trzech liczb całkowitych jest podzielny przez 3, gdy co najmniej jedna z tych liczb jest\npodzielna przez 3. Wobec tego, aby iloczyn trzech kolejnych wyrazów ciągu był liczbą\npodzielną przez 3, to jeden z tych trzech wyrazów musi być liczbą podzielną przez 3.\nW zbiorze {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} są dokładnie dwie liczby podzielne przez 3: 3 oraz 6.\nNiech ciąg (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, 𝑎5, 𝑎6, 𝑎7, 𝑎8) będzie zdarzeniem elementarnym, które sprzyja\nzdarzeniu 𝐴. W tym ciągu liczbowym znajdują się dokładnie dwie liczby podzielne przez 3:\n3 oraz 6. Zatem jedna z tych liczb znajduje się wśród wyrazów 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 (gdyż iloczyn\n𝑎1 ⋅𝑎2 ⋅𝑎3 jest podzielny przez 3), a druga z nich znajduje się wśród wyrazów 𝑎6, 𝑎7, 𝑎8\n(gdyż iloczyn 𝑎6 ⋅𝑎7 ⋅𝑎8 jest podzielny przez 3), więc wyrazy 𝑎4 oraz 𝑎5 nie są\npodzielne przez 3. Stąd i z tego, że iloczyny 𝑎3 ⋅𝑎4 ⋅𝑎5 oraz 𝑎4 ⋅𝑎5 ⋅𝑎6 są podzielne\nprzez 3, wynika, że wyrazy 𝑎3 oraz 𝑎6 muszą być podzielne przez 3, tj.\n{𝑎3, 𝑎6} = {3, 6}.\nJeżeli zdarzenie elementarne jest ciągiem, w którym trzecim i szóstym wyrazem są liczby 3\noraz 6, to iloczyn każdych trzech kolejnych wyrazów takiego ciągu jest liczbą podzielną\nprzez 3. Zatem takie zdarzenie elementarne sprzyja zdarzeniu 𝐴.\nDlatego zdarzeniu 𝐴 sprzyjają jedynie zdarzenia elementarne będące ciągami, których\ntrzecim oraz szóstym wyrazem są liczby 3 oraz 6. Liczba wszystkich takich ciągów jest\nrówna |𝐴| = 2 ⋅6!.\nObliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴:\n𝑃(𝐴) = |𝐴|\n|Ω| = 2 ⋅6!\n8!\n= 1\n28","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 6. (0-3)
Ze zbioru ośmiu liczb {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} losujemy bez zwracania osiem razy po jednej
liczbie. Wylosowane liczby ustawiamy w ciąg zgodnie z kolejnością losowania.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 polegającego na tym, że wylosowane liczby
utworzą ciąg, w którym iloczyn każdych trzech kolejnych wyrazów będzie liczbą podzielną
przez 3. Wynik podaj w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego.

\n

EMAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 6. (0-3)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Modelowanie matematyczne.
Zdający:
10.3) oblicza prawdopodobieństwa
w prostych sytuacjach, stosując klasyczną
definicję prawdopodobieństwa.
Zasady oceniania
3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 1
28 .
2 pkt - wyznaczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych oraz wyznaczenie liczby
wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴, np.
|Ω| = 8! oraz |𝐴| = 2 ⋅6!.
1 pkt - wyznaczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych, np. |Ω| = 8!
ALBO

\n\n

sprzyjającym zdarzeniu 𝐴, musi być liczba podzielna przez 3,
ALBO

\n\n

np. |𝐴| = 2 ⋅6!.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze, że trzecim i szóstym wyrazem ciągu, który jest zdarzeniem
\n

elementarnym sprzyjającym zdarzeniu 𝐴, musi być liczba podzielna przez 3, ale -
obliczając liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu 𝐴 - zapisze |𝐴| = 6! (lub
|𝐴| = 2 ⋅2 ⋅6!) oraz rozwiąże zadanie konsekwentnie do końca, to może otrzymać
2 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze |Ω| = (8
  2. (lub |Ω| = 8 ⋅7) bez stosownego komentarza i na tym
\n

zakończy, to otrzymuje 0 punktów.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Przykładowe pełne rozwiązanie
Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie permutacje zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Jest to
model klasyczny. Niech Ω oznacza zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych. Wówczas
|Ω| = 8!.
Iloczyn trzech liczb całkowitych jest podzielny przez 3, gdy co najmniej jedna z tych liczb jest
podzielna przez 3. Wobec tego, aby iloczyn trzech kolejnych wyrazów ciągu był liczbą
podzielną przez 3, to jeden z tych trzech wyrazów musi być liczbą podzielną przez 3.
W zbiorze {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} są dokładnie dwie liczby podzielne przez 3: 3 oraz 6.
Niech ciąg (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, 𝑎5, 𝑎6, 𝑎7, 𝑎8) będzie zdarzeniem elementarnym, które sprzyja
zdarzeniu 𝐴. W tym ciągu liczbowym znajdują się dokładnie dwie liczby podzielne przez 3:
3 oraz 6. Zatem jedna z tych liczb znajduje się wśród wyrazów 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3 (gdyż iloczyn
𝑎1 ⋅𝑎2 ⋅𝑎3 jest podzielny przez 3), a druga z nich znajduje się wśród wyrazów 𝑎6, 𝑎7, 𝑎8
(gdyż iloczyn 𝑎6 ⋅𝑎7 ⋅𝑎8 jest podzielny przez 3), więc wyrazy 𝑎4 oraz 𝑎5 nie są
podzielne przez 3. Stąd i z tego, że iloczyny 𝑎3 ⋅𝑎4 ⋅𝑎5 oraz 𝑎4 ⋅𝑎5 ⋅𝑎6 są podzielne
przez 3, wynika, że wyrazy 𝑎3 oraz 𝑎6 muszą być podzielne przez 3, tj.
{𝑎3, 𝑎6} = {3, 6}.
Jeżeli zdarzenie elementarne jest ciągiem, w którym trzecim i szóstym wyrazem są liczby 3
oraz 6, to iloczyn każdych trzech kolejnych wyrazów takiego ciągu jest liczbą podzielną
przez 3. Zatem takie zdarzenie elementarne sprzyja zdarzeniu 𝐴.
Dlatego zdarzeniu 𝐴 sprzyjają jedynie zdarzenia elementarne będące ciągami, których
trzecim oraz szóstym wyrazem są liczby 3 oraz 6. Liczba wszystkich takich ciągów jest
równa |𝐴| = 2 ⋅6!.
Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴:
𝑃(𝐴) = |𝐴|
|Ω| = 2 ⋅6!
8!
= 1
28

","solutions":[]}