{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"7","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-3)\nWykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej dodatniej liczby\nrzeczywistej 𝑦 prawdziwa jest nierówność\n1\n𝑥+ 1\n𝑦≤𝑥\n𝑦2 + 𝑦\n𝑥2\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n2.1R) używa wzorów skróconego mnożenia\nna (𝑎± 𝑏)3 oraz 𝑎3 ± 𝑏3.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania, tj.:\nprzekształcenie nierówności 1\n𝑥+ 1\n𝑦≤𝑥\n𝑦2 + 𝑦\n𝑥2 do postaci (𝑥-𝑦)2 ≥0 (lub do\npostaci (𝑥-𝑦)2\n𝑥2𝑦2\n≥0) i zapisanie, że kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest\nnieujemny\nALBO\nprzekształcenie nierówności 1\n𝑥+ 1\n𝑦≤𝑥\n𝑦2 + 𝑦\n𝑥2 do postaci (𝑥+ 𝑦)(𝑥-𝑦)2 ≥0\n(lub do postaci (𝑥 + 𝑦)(𝑥 - 𝑦)2\n𝑥2𝑦2\n≥0) oraz uzasadnienie, że dla liczb dodatnich\n𝑥, 𝑦 nierówność (𝑥+ 𝑦)(𝑥-𝑦)2 ≥0 (lub nierówność (𝑥 + 𝑦)(𝑥 - 𝑦)2\n𝑥2𝑦2\n≥0)\njest prawdziwa,\nALBO\nobliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji 𝑓 oraz uzasadnienie, że funkcja\n𝑓 osiąga wartość najmniejszą dla 𝑥= 𝑦 i obliczenie 𝑓(𝑦).\n2 pkt - przekształcenie nierówności 1\n𝑥+ 1\n𝑦≤𝑥\n𝑦2 + 𝑦\n𝑥2 do postaci 𝑥2 -2𝑥𝑦+ 𝑦2 ≥0 (lub\ndo postaci 𝑥2 - 2𝑥𝑦 + 𝑦2\n𝑥2𝑦2\n≥0)\nALBO\n- przekształcenie nierówności 1\n𝑥+ 1\n𝑦≤𝑥\n𝑦2 + 𝑦\n𝑥2 do postaci (𝑥+ 𝑦)(𝑥-𝑦)2 ≥0 (lub\ndo postaci (𝑥 + 𝑦)(𝑥 - 𝑦)2\n𝑥2𝑦2\n≥0),\nALBO\n- obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji 𝑓: 𝑥= 𝑦.\n1 pkt - przekształcenie nierówności do postaci 𝑊(𝑥, 𝑦) ≥0 (lub do postaci\n𝑊(𝑥,𝑦)\n𝑥2𝑦2 ≥0), gdzie 𝑊 jest wielomianem zmiennych 𝑥 oraz 𝑦, np.:\n𝑥3 + 𝑦3 -𝑥𝑦2 -𝑥2𝑦≥0, 𝑥3 + 𝑦3 -𝑥𝑦(𝑥+ 𝑦) ≥0, 𝑥3 + 𝑦3 - 𝑥𝑦2 - 𝑥2𝑦\n𝑥2𝑦2\n≥0\nALBO\n- przekształcenie nierówności do postaci (𝑥 + 𝑦)(𝑥2 - 𝑥𝑦 + 𝑦2)\n𝑥2𝑦2\n≥𝑥 + 𝑦\n𝑥𝑦 ,\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- rozważenie funkcji 𝑓(𝑥) = 𝑥\n𝑦2 + 𝑦\n𝑥2 - 1\n𝑥-1\n𝑦 zmiennej dodatniej 𝑥 z parametrem\n𝑦> 0 oraz wyznaczenie pochodnej tej funkcji, np. 𝑓′(𝑥) = 1\n𝑦2 -2𝑦\n𝑥3 + 1\n𝑥2 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości 𝑥 i 𝑦,\nto otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający przekształci nierówność do postaci (𝑥2 -𝑦2)(𝑥-𝑦) ≥0, a następnie\nuzasadni prawdziwość tej nierówności w przypadku, gdy 𝑥> 𝑦 oraz w przypadku, gdy\n𝑥< 𝑦, a pominie przypadek 𝑥= 𝑦, to otrzymuje 2 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I (suma sześcianów)\nZ założenia 𝑥> 0 oraz 𝑦> 0, więc 𝑥2𝑦2 > 0. Mnożymy obie strony nierówności\n1\n𝑥+ 1\n𝑦≤𝑥\n𝑦2 + 𝑦\n𝑥2 przez 𝑥2𝑦2 i otrzymujemy\n𝑥𝑦2 + 𝑦𝑥2 ≤𝑥3 + 𝑦3\nStosujemy wzór na sumę sześcianów oraz kwadrat różnicy i dostajemy:\n𝑥𝑦(𝑥+ 𝑦) ≤(𝑥+ 𝑦)(𝑥2 -𝑥𝑦+ 𝑦2)\n0 ≤(𝑥+ 𝑦)(𝑥2 -2𝑥𝑦+ 𝑦2)\n0 ≤(𝑥+ 𝑦)(𝑥-𝑦)2\nPonieważ (𝑥+ 𝑦) jest dodatnie jako suma dwóch liczb dodatnich 𝑥 oraz 𝑦, a ponadto\n(𝑥-𝑦)2 jest nieujemne jako kwadrat liczby rzeczywistej (𝑥-𝑦), więc (𝑥+ 𝑦)(𝑥-𝑦)2\njest nieujemne jako iloczyn liczby dodatniej i nieujemnej. Zatem nierówność\n0 ≤(𝑥+ 𝑦)(𝑥-𝑦)2 jest prawdziwa dla każdej liczby dodatniej 𝑥 i dla każdej liczby\ndodatniej 𝑦. To oznacza, że dla każdej liczby dodatniej 𝑥 i każdej liczby dodatniej 𝑦\nnierówność 1\n𝑥+ 1\n𝑦≤𝑥\n𝑦2 + 𝑦\n𝑥2 jest również prawdziwa.\nTo należało wykazać.\nSposób II (grupowanie)\nZ założenia 𝑥> 0 oraz 𝑦> 0, więc 𝑥2𝑦2 > 0. Mnożymy obie strony nierówności\n1\n𝑥+ 1\n𝑦≤𝑥\n𝑦2 + 𝑦\n𝑥2 przez 𝑥2𝑦2 oraz stosujemy wzór na różnicę kwadratów i otrzymujemy\nkolejno:\n𝑥𝑦2 + 𝑦𝑥2 ≤𝑥3 + 𝑦3\n0 ≤𝑥3 -𝑥𝑦2 + 𝑦3 -𝑦𝑥2\n0 ≤𝑥(𝑥2 -𝑦2) + 𝑦(𝑦2 -𝑥2)\n0 ≤(𝑥-𝑦)(𝑥2 -𝑦2)\n0 ≤(𝑥-𝑦)2(𝑥+ 𝑦)\nPonieważ (𝑥+ 𝑦) jest dodatnie jako suma dwóch liczb dodatnich 𝑥 oraz 𝑦, a ponadto\n(𝑥-𝑦)2 jest nieujemne jako kwadrat liczby rzeczywistej (𝑥-𝑦), więc (𝑥+ 𝑦)(𝑥-𝑦)2\njest nieujemne jako iloczyn liczby dodatniej i nieujemnej. Zatem nierówność\n0 ≤(𝑥+ 𝑦)(𝑥-𝑦)2 jest prawdziwa dla każdej liczby dodatniej 𝑥 i dla każdej liczby\ndodatniej 𝑦. To oznacza, że dla każdej liczby dodatniej 𝑥 i każdej liczby dodatniej 𝑦\nnierówność 1\n𝑥+ 1\n𝑦≤𝑥\n𝑦2 + 𝑦\n𝑥2 jest również prawdziwa.\nTo należało wykazać.\nSposób III\nZ założenia wynika, że 𝑥≠0 i 𝑦≠0, więc przekształcamy równoważnie nierówność\n1\n𝑥+ 1\n𝑦≤𝑥\n𝑦2 + 𝑦\n𝑥2 , rozszerzając odpowiednie ułamki i stosując wzór na różnicę kwadratów:\n0 ≤𝑥\n𝑦2 + 𝑦\n𝑥2 -1\n𝑥-1\n𝑦\n0 ≤\n𝑥3\n𝑥2𝑦2 + 𝑦3\n𝑥2𝑦2 -𝑦2𝑥\n𝑥2𝑦2 -𝑥2𝑦\n𝑥2𝑦2\n0 ≤𝑥3 + 𝑦3 -𝑦2𝑥-𝑥2𝑦\n𝑥2𝑦2\n0 ≤𝑥(𝑥2 -𝑦2) + 𝑦(𝑦2 -𝑥2)\n𝑥2𝑦2\n0 ≤(𝑥-𝑦)(𝑥2 -𝑦2)\n𝑥2𝑦2\n0 ≤(𝑥-𝑦)2(𝑥+ 𝑦)\n𝑥2𝑦2\nPonieważ:\n(𝑥+ 𝑦) jest dodatnie jako suma dwóch liczb dodatnich 𝑥 oraz 𝑦\n(𝑥-𝑦)2 jest nieujemne jako kwadrat liczby rzeczywistej (𝑥-𝑦)\n𝑥2𝑦2 jest dodatnie jako iloczyn kwadratów liczb dodatnich 𝑥 oraz 𝑦,\nwięc\n(𝑥 - 𝑦)2(𝑥 + 𝑦)\n𝑥2𝑦2\njest nieujemne jako iloraz liczby nieujemnej (𝑥-𝑦)2(𝑥+ 𝑦) i liczby\ndodatniej 𝑥2𝑦2. Zatem nierówność 0 ≤\n(𝑥 - 𝑦)2(𝑥 + 𝑦)\n𝑥2𝑦2\njest prawdziwa dla każdej liczby\ndodatniej 𝑥 i dla każdej liczby dodatniej 𝑦. To oznacza, że dla każdej liczby dodatniej 𝑥\ni każdej liczby dodatniej 𝑦 nierówność 1\n𝑥+ 1\n𝑦≤𝑥\n𝑦2 + 𝑦\n𝑥2 jest również prawdziwa.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nTo należało wykazać.\nSposób IV (badanie funkcji)\nRozważmy funkcję 𝑓(𝑥) = 𝑥\n𝑦2 + 𝑦\n𝑥2 - 1\n𝑥-1\n𝑦 zmiennej dodatniej 𝑥 z parametrem 𝑦> 0.\nWyznaczamy pochodną funkcji 𝑓:\n𝑓′(𝑥) = 1\n𝑦2 -2𝑦\n𝑥3 + 1\n𝑥2\n𝑓′(𝑥) = 𝑥3 -2𝑦3 + 𝑥𝑦2\n𝑥3𝑦2\n𝑓′(𝑥) = 𝑥3 -𝑦3 + 𝑥𝑦2 -𝑦3\n𝑥3𝑦2\n𝑓′(𝑥) = (𝑥-𝑦)(𝑥2 + 𝑥𝑦+ 𝑦2) + 𝑦2(𝑥-𝑦)\n𝑥3𝑦2\n𝑓′(𝑥) = (𝑥-𝑦)(𝑥2 + 𝑥𝑦+ 2𝑦2)\n𝑥3𝑦2\nPonieważ 𝑥> 0 oraz 𝑦> 0, więc 𝑥2 + 𝑥𝑦+ 2𝑦2 > 0 i 𝑥3𝑦2 > 0. Zatem:\n𝑓′(𝑥) = 0 tylko dla 𝑥= 𝑦\n𝑓′(𝑥) > 0 w przedziale (𝑦, +∞)\n𝑓′(𝑥) < 0 w przedziale (0, 𝑦).\nStąd funkcja 𝑓 jest malejąca w przedziale (0, 𝑦] i jest rosnąca w przedziale [𝑦, +∞).\nZatem funkcja 𝑓 osiąga wartość najmniejszą dla 𝑥= 𝑦. Ponieważ\n𝑓(𝑦) = 𝑦\n𝑦2 + 𝑦\n𝑦2 - 1\n𝑦-1\n𝑦= 0, więc\n𝑥\n𝑦2 + 𝑦\n𝑥2 -1\n𝑥-1\n𝑦≥0\nczyli\n1\n𝑥+ 1\n𝑦≤𝑥\n𝑦2 + 𝑦\n𝑥2\ndla każdej liczby dodatniej 𝑥 i dla każdej liczby dodatniej 𝑦.\nTo należało wykazać.","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 7. (0-3)
Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej dodatniej liczby
rzeczywistej 𝑦 prawdziwa jest nierówność
1
𝑥+ 1
𝑦≤𝑥
𝑦2 + 𝑦
𝑥2

\n

EMAP-R0_100

\n

EMAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 7. (0-3)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
V. Rozumowanie i argumentacja.
Zdający:
2.1R) używa wzorów skróconego mnożenia
na (𝑎± 𝑏)3 oraz 𝑎3 ± 𝑏3.
Zasady oceniania
3 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania, tj.:
przekształcenie nierówności 1
𝑥+ 1
𝑦≤𝑥
𝑦2 + 𝑦
𝑥2 do postaci (𝑥-𝑦)2 ≥0 (lub do
postaci (𝑥-𝑦)2
𝑥2𝑦2
≥0) i zapisanie, że kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest
nieujemny
ALBO
przekształcenie nierówności 1
𝑥+ 1
𝑦≤𝑥
𝑦2 + 𝑦
𝑥2 do postaci (𝑥+ 𝑦)(𝑥-𝑦)2 ≥0
(lub do postaci (𝑥 + 𝑦)(𝑥 - 𝑦)2
𝑥2𝑦2
≥0) oraz uzasadnienie, że dla liczb dodatnich
𝑥, 𝑦 nierówność (𝑥+ 𝑦)(𝑥-𝑦)2 ≥0 (lub nierówność (𝑥 + 𝑦)(𝑥 - 𝑦)2
𝑥2𝑦2
≥0)
jest prawdziwa,
ALBO
obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji 𝑓 oraz uzasadnienie, że funkcja
𝑓 osiąga wartość najmniejszą dla 𝑥= 𝑦 i obliczenie 𝑓(𝑦).
2 pkt - przekształcenie nierówności 1
𝑥+ 1
𝑦≤𝑥
𝑦2 + 𝑦
𝑥2 do postaci 𝑥2 -2𝑥𝑦+ 𝑦2 ≥0 (lub
do postaci 𝑥2 - 2𝑥𝑦 + 𝑦2
𝑥2𝑦2
≥0)
ALBO

\n\n

𝑥+ 1
𝑦≤𝑥
𝑦2 + 𝑦
𝑥2 do postaci (𝑥+ 𝑦)(𝑥-𝑦)2 ≥0 (lub
do postaci (𝑥 + 𝑦)(𝑥 - 𝑦)2
𝑥2𝑦2
≥0),
ALBO

\n\n

1 pkt - przekształcenie nierówności do postaci 𝑊(𝑥, 𝑦) ≥0 (lub do postaci
𝑊(𝑥,𝑦)
𝑥2𝑦2 ≥0), gdzie 𝑊 jest wielomianem zmiennych 𝑥 oraz 𝑦, np.:
𝑥3 + 𝑦3 -𝑥𝑦2 -𝑥2𝑦≥0, 𝑥3 + 𝑦3 -𝑥𝑦(𝑥+ 𝑦) ≥0, 𝑥3 + 𝑦3 - 𝑥𝑦2 - 𝑥2𝑦
𝑥2𝑦2
≥0
ALBO

\n\n

𝑥2𝑦2
≥𝑥 + 𝑦
𝑥𝑦 ,
ALBO
Zasady oceniania rozwiązań zadań

\n\n

𝑦2 + 𝑦
𝑥2 - 1
𝑥-1
𝑦 zmiennej dodatniej 𝑥 z parametrem
𝑦> 0 oraz wyznaczenie pochodnej tej funkcji, np. 𝑓′(𝑥) = 1
𝑦2 -2𝑦
𝑥3 + 1
𝑥2 .
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość nierówności jedynie dla wybranych wartości 𝑥 i 𝑦,
\n

to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający przekształci nierówność do postaci (𝑥2 -𝑦2)(𝑥-𝑦) ≥0, a następnie
\n

uzasadni prawdziwość tej nierówności w przypadku, gdy 𝑥> 𝑦 oraz w przypadku, gdy
𝑥< 𝑦, a pominie przypadek 𝑥= 𝑦, to otrzymuje 2 punkty.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I (suma sześcianów)
Z założenia 𝑥> 0 oraz 𝑦> 0, więc 𝑥2𝑦2 > 0. Mnożymy obie strony nierówności
1
𝑥+ 1
𝑦≤𝑥
𝑦2 + 𝑦
𝑥2 przez 𝑥2𝑦2 i otrzymujemy
𝑥𝑦2 + 𝑦𝑥2 ≤𝑥3 + 𝑦3
Stosujemy wzór na sumę sześcianów oraz kwadrat różnicy i dostajemy:
𝑥𝑦(𝑥+ 𝑦) ≤(𝑥+ 𝑦)(𝑥2 -𝑥𝑦+ 𝑦2)
0 ≤(𝑥+ 𝑦)(𝑥2 -2𝑥𝑦+ 𝑦2)
0 ≤(𝑥+ 𝑦)(𝑥-𝑦)2
Ponieważ (𝑥+ 𝑦) jest dodatnie jako suma dwóch liczb dodatnich 𝑥 oraz 𝑦, a ponadto
(𝑥-𝑦)2 jest nieujemne jako kwadrat liczby rzeczywistej (𝑥-𝑦), więc (𝑥+ 𝑦)(𝑥-𝑦)2
jest nieujemne jako iloczyn liczby dodatniej i nieujemnej. Zatem nierówność
0 ≤(𝑥+ 𝑦)(𝑥-𝑦)2 jest prawdziwa dla każdej liczby dodatniej 𝑥 i dla każdej liczby
dodatniej 𝑦. To oznacza, że dla każdej liczby dodatniej 𝑥 i każdej liczby dodatniej 𝑦
nierówność 1
𝑥+ 1
𝑦≤𝑥
𝑦2 + 𝑦
𝑥2 jest również prawdziwa.
To należało wykazać.
Sposób II (grupowanie)
Z założenia 𝑥> 0 oraz 𝑦> 0, więc 𝑥2𝑦2 > 0. Mnożymy obie strony nierówności
1
𝑥+ 1
𝑦≤𝑥
𝑦2 + 𝑦
𝑥2 przez 𝑥2𝑦2 oraz stosujemy wzór na różnicę kwadratów i otrzymujemy
kolejno:
𝑥𝑦2 + 𝑦𝑥2 ≤𝑥3 + 𝑦3
0 ≤𝑥3 -𝑥𝑦2 + 𝑦3 -𝑦𝑥2
0 ≤𝑥(𝑥2 -𝑦2) + 𝑦(𝑦2 -𝑥2)
0 ≤(𝑥-𝑦)(𝑥2 -𝑦2)
0 ≤(𝑥-𝑦)2(𝑥+ 𝑦)
Ponieważ (𝑥+ 𝑦) jest dodatnie jako suma dwóch liczb dodatnich 𝑥 oraz 𝑦, a ponadto
(𝑥-𝑦)2 jest nieujemne jako kwadrat liczby rzeczywistej (𝑥-𝑦), więc (𝑥+ 𝑦)(𝑥-𝑦)2
jest nieujemne jako iloczyn liczby dodatniej i nieujemnej. Zatem nierówność
0 ≤(𝑥+ 𝑦)(𝑥-𝑦)2 jest prawdziwa dla każdej liczby dodatniej 𝑥 i dla każdej liczby
dodatniej 𝑦. To oznacza, że dla każdej liczby dodatniej 𝑥 i każdej liczby dodatniej 𝑦
nierówność 1
𝑥+ 1
𝑦≤𝑥
𝑦2 + 𝑦
𝑥2 jest również prawdziwa.
To należało wykazać.
Sposób III
Z założenia wynika, że 𝑥≠0 i 𝑦≠0, więc przekształcamy równoważnie nierówność
1
𝑥+ 1
𝑦≤𝑥
𝑦2 + 𝑦
𝑥2 , rozszerzając odpowiednie ułamki i stosując wzór na różnicę kwadratów:
0 ≤𝑥
𝑦2 + 𝑦
𝑥2 -1
𝑥-1
𝑦
0 ≤
𝑥3
𝑥2𝑦2 + 𝑦3
𝑥2𝑦2 -𝑦2𝑥
𝑥2𝑦2 -𝑥2𝑦
𝑥2𝑦2
0 ≤𝑥3 + 𝑦3 -𝑦2𝑥-𝑥2𝑦
𝑥2𝑦2
0 ≤𝑥(𝑥2 -𝑦2) + 𝑦(𝑦2 -𝑥2)
𝑥2𝑦2
0 ≤(𝑥-𝑦)(𝑥2 -𝑦2)
𝑥2𝑦2
0 ≤(𝑥-𝑦)2(𝑥+ 𝑦)
𝑥2𝑦2
Ponieważ:
(𝑥+ 𝑦) jest dodatnie jako suma dwóch liczb dodatnich 𝑥 oraz 𝑦
(𝑥-𝑦)2 jest nieujemne jako kwadrat liczby rzeczywistej (𝑥-𝑦)
𝑥2𝑦2 jest dodatnie jako iloczyn kwadratów liczb dodatnich 𝑥 oraz 𝑦,
więc
(𝑥 - 𝑦)2(𝑥 + 𝑦)
𝑥2𝑦2
jest nieujemne jako iloraz liczby nieujemnej (𝑥-𝑦)2(𝑥+ 𝑦) i liczby
dodatniej 𝑥2𝑦2. Zatem nierówność 0 ≤
(𝑥 - 𝑦)2(𝑥 + 𝑦)
𝑥2𝑦2
jest prawdziwa dla każdej liczby
dodatniej 𝑥 i dla każdej liczby dodatniej 𝑦. To oznacza, że dla każdej liczby dodatniej 𝑥
i każdej liczby dodatniej 𝑦 nierówność 1
𝑥+ 1
𝑦≤𝑥
𝑦2 + 𝑦
𝑥2 jest również prawdziwa.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
To należało wykazać.
Sposób IV (badanie funkcji)
Rozważmy funkcję 𝑓(𝑥) = 𝑥
𝑦2 + 𝑦
𝑥2 - 1
𝑥-1
𝑦 zmiennej dodatniej 𝑥 z parametrem 𝑦> 0.
Wyznaczamy pochodną funkcji 𝑓:
𝑓′(𝑥) = 1
𝑦2 -2𝑦
𝑥3 + 1
𝑥2
𝑓′(𝑥) = 𝑥3 -2𝑦3 + 𝑥𝑦2
𝑥3𝑦2
𝑓′(𝑥) = 𝑥3 -𝑦3 + 𝑥𝑦2 -𝑦3
𝑥3𝑦2
𝑓′(𝑥) = (𝑥-𝑦)(𝑥2 + 𝑥𝑦+ 𝑦2) + 𝑦2(𝑥-𝑦)
𝑥3𝑦2
𝑓′(𝑥) = (𝑥-𝑦)(𝑥2 + 𝑥𝑦+ 2𝑦2)
𝑥3𝑦2
Ponieważ 𝑥> 0 oraz 𝑦> 0, więc 𝑥2 + 𝑥𝑦+ 2𝑦2 > 0 i 𝑥3𝑦2 > 0. Zatem:
𝑓′(𝑥) = 0 tylko dla 𝑥= 𝑦
𝑓′(𝑥) > 0 w przedziale (𝑦, +∞)
𝑓′(𝑥) < 0 w przedziale (0, 𝑦).
Stąd funkcja 𝑓 jest malejąca w przedziale (0, 𝑦] i jest rosnąca w przedziale [𝑦, +∞).
Zatem funkcja 𝑓 osiąga wartość najmniejszą dla 𝑥= 𝑦. Ponieważ
𝑓(𝑦) = 𝑦
𝑦2 + 𝑦
𝑦2 - 1
𝑦-1
𝑦= 0, więc
𝑥
𝑦2 + 𝑦
𝑥2 -1
𝑥-1
𝑦≥0
czyli
1
𝑥+ 1
𝑦≤𝑥
𝑦2 + 𝑦
𝑥2
dla każdej liczby dodatniej 𝑥 i dla każdej liczby dodatniej 𝑦.
To należało wykazać.

","solutions":[]}