{"id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"9","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-4)\nDany jest ciąg arytmetyczny (𝑎𝑛) o skończonej liczbie wyrazów. Liczba wyrazów tego ciągu\njest większa od 6. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy 1, a ostatni wyraz tego ciągu jest\nrówny (-2025). Drugi, trzeci i szósty wyraz tego ciągu tworzą - w podanej kolejności - ciąg\ngeometryczny.\nOblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛).\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na sumę\n𝑛 początkowych wyrazów ciągu\narytmetycznego;\n5.4) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na sumę\n𝑛 początkowych wyrazów ciągu\ngeometrycznego.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (-1 026 168).\n3 pkt - obliczenie liczby 𝑛 wyrazów ciągu arytmetycznego: 𝑛= 1014.\n2 pkt - rozwiązanie równania z jedną niewiadomą 𝑟: 𝑟= 0 oraz 𝑟= -2\nALBO\n- obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛) spełniającej warunki zadania:\n𝑟= -2,\nALBO\n- rozwiązanie równania z jedną niewiadomą 𝑞: 𝑞= 1 oraz 𝑞= 3,\nALBO\n- obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego (𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎6) spełniającego warunki\nzadania: 𝑞= 3,\nALBO\n- obliczenie/zapisanie, że ciąg (𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎6) nie jest stały i rozwiązanie równania\nz jedną niewiadomą 𝑎2: 𝑎2 = -1,\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑛, np.\n(1 + 2 ⋅-2026\n𝑛 - 1)\n2\n= (1 + -2026\n𝑛 - 1) (1 + 5 ⋅-2026\n𝑛 - 1)\n1 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑟, np. (1 + 2𝑟)2 = (1 + 𝑟)(1 + 5𝑟)\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑞, np. 3𝑞-3 = 𝑞2 -𝑞,\nALBO\n- zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎2 , np. 𝑎2 = 1 + 2𝑎2 (dla sposobu III),\nALBO\n- wyznaczenie różnicy ciągu (𝑎𝑛) w zależności od liczby 𝑛 wyrazów ciągu\narytmetycznego (𝑎𝑛): 𝑟= -2026\n𝑛 - 1 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z ciągiem geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów\nza całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający stosuje błędny wzór na 𝑛-ty wyraz ciągu arytmetycznego, to może otrzymać\nco najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe i otrzyma wartość 𝑛, która nie jest liczbą\nnaturalną, to może otrzymać 2 punkty za całe rozwiązanie (traktujemy to jak obliczenie\nliczby wyrazów ciągu arytmetycznego z błędem rachunkowym). Zdający nie otrzymuje\npunktu za obliczenie sumy wyrazów ciągu arytmetycznego.\n4. a) Jeżeli zdający przyjmie, że 𝑟= -2 i sprawdzi rachunkiem, że ta wartość spełnia\nwarunki zadania, ale nie uzasadni, że jest to jedyna wartość 𝑟 spełniająca warunki\nzadania, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za obliczenie 𝑛\noraz za obliczenie sumy).\nb) Jeżeli zdający przyjmie bez uzasadnienia, że 𝑟= -2 i na tym opiera swoje\nrozwiązanie, to otrzymuje 0 punktów.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nNiech 𝑟 oznacza różnicę ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛). Ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu\narytmetycznego i własności ciągu geometrycznego otrzymujemy: 𝑎2 = 1 + 𝑟,\n𝑎3 = 1 + 2𝑟, 𝑎6 = 1 + 5𝑟 oraz (𝑎3)2 = 𝑎2 ⋅𝑎6 . Stąd i z warunków zadania dostajemy:\n(𝑎3)2 = 𝑎2 ⋅𝑎6\n(1 + 2𝑟)2 = (1 + 𝑟)(1 + 5𝑟)\n0 = 2𝑟+ 𝑟2\n0 = 𝑟(2 + 𝑟)\n𝑟= 0 ∨ 𝑟= -2\nDla 𝑟= 0 warunki zadania nie są spełnione, ponieważ pierwszy i ostatni wyraz ciągu\narytmetycznego (𝑎𝑛) nie są równe.\nDla 𝑟= -2 otrzymujemy 𝑎2 = -1, 𝑎3 = -3, 𝑎6 = -9. Ciąg (-1, -3, -9) jest\ngeometryczny, więc warunki zadania są spełnione.\nObliczamy liczbę 𝑛 wyrazów ciągu (𝑎𝑛):\n-2025 = 1 + (𝑛-1) ⋅(-2)\n𝑛= 1014\nObliczamy sumę 𝑆1014 wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛):\n𝑆1014 = 1 + (-2025)\n2\n⋅1014 = -1 026 168\nSposób II\nNiech 𝑟 oznacza różnicę ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛). Niech 𝑞 oznacza iloraz ciągu\ngeometrycznego (𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎6). Ciąg arytmetyczny (𝑎𝑛) jest malejący, więc ciąg\n(𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎6) nie jest stały. Zatem 𝑞≠1 oraz 𝑎2 ≠0. Ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu\ngeometrycznego i własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy: 𝑎3 = 𝑎2 ⋅𝑞, 𝑎6 = 𝑎2 ⋅𝑞2\noraz 3(𝑎3 -𝑎2) = 𝑎6 -𝑎3 . Stąd i z warunków zadania dostajemy:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n3(𝑎3 -𝑎2) = 𝑎6 -𝑎3\n3𝑎2 ⋅𝑞-3𝑎2 = 𝑎2 ⋅𝑞2 -𝑎2 ⋅𝑞\n0 = 𝑎2 ⋅(𝑞2 -4𝑞+ 3)\n𝑎2 = 0 ∨ 𝑞2 -4𝑞+ 3 = 0\n𝑎2 = 0 ∨ 𝑞= 1 ∨ 𝑞= 3\nDla 𝑎2 = 0 oraz dla 𝑞= 1 warunki zadania nie są spełnione, czyli 𝑞= 3. Zatem\n𝑎3 = 3𝑎2 , 𝑎6 = 9𝑎2 .\nKorzystamy z własności ciągu arytmetycznego i obliczamy 𝑎2:\n𝑎1 + 𝑎3\n2\n= 𝑎2\n1 + 3𝑎2\n2\n= 𝑎2\n𝑎2 = -1\nPonieważ 𝑎1 = 1 i 𝑎2 = -1, więc różnica ciągu arytmetycznego jest równa (-2).\nObliczamy liczbę 𝑛 wyrazów ciągu (𝑎𝑛):\n-2025 = 1 + (𝑛-1) ⋅(-2)\n𝑛= 1014\nObliczamy sumę 𝑆1014 wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛):\n𝑆1014 = 1 + (-2025)\n2\n⋅1014 = -1 026 168\nSposób III\nNiech 𝑟 oznacza różnicę ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛). Ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu\narytmetycznego i własności ciągu geometrycznego otrzymujemy: 𝑎3 = 𝑎2 + 𝑟,\n𝑎6 = 𝑎2 + 4𝑟 oraz (𝑎3)2 = 𝑎2 ⋅𝑎6 . Stąd i z warunków zadania dostajemy:\n(𝑎3)2 = 𝑎2 ⋅𝑎6\n(𝑎2 + 𝑟)2 = 𝑎2 ⋅(𝑎2 + 4𝑟)\n𝑎2\n2 + 2𝑎2𝑟+ 𝑟2 = 𝑎2\n2 + 4𝑎2𝑟\n0 = 𝑟(2𝑎2 -𝑟)\n𝑟= 0 ∨ 𝑟= 2𝑎2\nDla 𝑟= 0 warunki zadania nie są spełnione, ponieważ pierwszy i ostatni wyraz ciągu\narytmetycznego (𝑎𝑛) nie są równe.\nDla 𝑟= 2𝑎2 otrzymujemy 𝑎2 = 1 + 2𝑎2 . Stąd 𝑎2 = -1, więc 𝑟= -2. Zatem 𝑎3 = -3\noraz 𝑎6 = -9. Ciąg (-1, -3, -9) jest geometryczny, więc warunki zadania są spełnione.\nObliczamy liczbę 𝑛 wyrazów ciągu (𝑎𝑛):\n-2025 = 1 + (𝑛-1) ⋅(-2)\n𝑛= 1014\nObliczamy sumę 𝑆1014 wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛):\n𝑆1014 = 1 + (-2025)\n2\n⋅1014 = -1 026 168\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2026-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 9. (0-4)<br>Dany jest ciąg arytmetyczny (𝑎𝑛) o skończonej liczbie wyrazów. Liczba wyrazów tego ciągu<br>jest większa od 6. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy 1, a ostatni wyraz tego ciągu jest<br>równy (-2025). Drugi, trzeci i szósty wyraz tego ciągu tworzą - w podanej kolejności - ciąg<br>geometryczny.<br>Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛).</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>\n<p>EMAP-R0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 9. (0-4)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>III. Modelowanie matematyczne.<br>Zdający:<br>5.3) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na sumę<br>𝑛 początkowych wyrazów ciągu<br>arytmetycznego;<br>5.4) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz i na sumę<br>𝑛 początkowych wyrazów ciągu<br>geometrycznego.<br>Zasady oceniania<br>4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (-1 026 168).<br>3 pkt - obliczenie liczby 𝑛 wyrazów ciągu arytmetycznego: 𝑛= 1014.<br>2 pkt - rozwiązanie równania z jedną niewiadomą 𝑟: 𝑟= 0 oraz 𝑟= -2<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛) spełniającej warunki zadania:</li></ul>\n<p>𝑟= -2,<br>ALBO</p>\n<ul><li>rozwiązanie równania z jedną niewiadomą 𝑞: 𝑞= 1 oraz 𝑞= 3,</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego (𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎6) spełniającego warunki</li></ul>\n<p>zadania: 𝑞= 3,<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie/zapisanie, że ciąg (𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎6) nie jest stały i rozwiązanie równania</li></ul>\n<p>z jedną niewiadomą 𝑎2: 𝑎2 = -1,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑛, np.</li></ul>\n<p>(1 + 2 ⋅-2026<br>𝑛 - 1)<br>2<br>= (1 + -2026<br>𝑛 - 1) (1 + 5 ⋅-2026<br>𝑛 - 1)<br>1 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑟, np. (1 + 2𝑟)2 = (1 + 𝑟)(1 + 5𝑟)<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑞, np. 3𝑞-3 = 𝑞2 -𝑞,</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎2 , np. 𝑎2 = 1 + 2𝑎2 (dla sposobu III),</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>wyznaczenie różnicy ciągu (𝑎𝑛) w zależności od liczby 𝑛 wyrazów ciągu</li></ul>\n<p>arytmetycznego (𝑎𝑛): 𝑟= -2026<br>𝑛 - 1 .<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający myli ciąg arytmetyczny z ciągiem geometrycznym, to otrzymuje 0 punktów</li></ol>\n<p>za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający stosuje błędny wzór na 𝑛-ty wyraz ciągu arytmetycznego, to może otrzymać</li></ol>\n<p>co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe i otrzyma wartość 𝑛, która nie jest liczbą</li></ol>\n<p>naturalną, to może otrzymać 2 punkty za całe rozwiązanie (traktujemy to jak obliczenie<br>liczby wyrazów ciągu arytmetycznego z błędem rachunkowym). Zdający nie otrzymuje<br>punktu za obliczenie sumy wyrazów ciągu arytmetycznego.</p>\n<ol><li>a) Jeżeli zdający przyjmie, że 𝑟= -2 i sprawdzi rachunkiem, że ta wartość spełnia</li></ol>\n<p>warunki zadania, ale nie uzasadni, że jest to jedyna wartość 𝑟 spełniająca warunki<br>zadania, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za obliczenie 𝑛<br>oraz za obliczenie sumy).<br>b) Jeżeli zdający przyjmie bez uzasadnienia, że 𝑟= -2 i na tym opiera swoje<br>rozwiązanie, to otrzymuje 0 punktów.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Niech 𝑟 oznacza różnicę ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛). Ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu<br>arytmetycznego i własności ciągu geometrycznego otrzymujemy: 𝑎2 = 1 + 𝑟,<br>𝑎3 = 1 + 2𝑟, 𝑎6 = 1 + 5𝑟 oraz (𝑎3)2 = 𝑎2 ⋅𝑎6 . Stąd i z warunków zadania dostajemy:<br>(𝑎3)2 = 𝑎2 ⋅𝑎6<br>(1 + 2𝑟)2 = (1 + 𝑟)(1 + 5𝑟)<br>0 = 2𝑟+ 𝑟2<br>0 = 𝑟(2 + 𝑟)<br>𝑟= 0 ∨ 𝑟= -2<br>Dla 𝑟= 0 warunki zadania nie są spełnione, ponieważ pierwszy i ostatni wyraz ciągu<br>arytmetycznego (𝑎𝑛) nie są równe.<br>Dla 𝑟= -2 otrzymujemy 𝑎2 = -1, 𝑎3 = -3, 𝑎6 = -9. Ciąg (-1, -3, -9) jest<br>geometryczny, więc warunki zadania są spełnione.<br>Obliczamy liczbę 𝑛 wyrazów ciągu (𝑎𝑛):<br>-2025 = 1 + (𝑛-1) ⋅(-2)<br>𝑛= 1014<br>Obliczamy sumę 𝑆1014 wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛):<br>𝑆1014 = 1 + (-2025)<br>2<br>⋅1014 = -1 026 168<br>Sposób II<br>Niech 𝑟 oznacza różnicę ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛). Niech 𝑞 oznacza iloraz ciągu<br>geometrycznego (𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎6). Ciąg arytmetyczny (𝑎𝑛) jest malejący, więc ciąg<br>(𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎6) nie jest stały. Zatem 𝑞≠1 oraz 𝑎2 ≠0. Ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu<br>geometrycznego i własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy: 𝑎3 = 𝑎2 ⋅𝑞, 𝑎6 = 𝑎2 ⋅𝑞2<br>oraz 3(𝑎3 -𝑎2) = 𝑎6 -𝑎3 . Stąd i z warunków zadania dostajemy:<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>3(𝑎3 -𝑎2) = 𝑎6 -𝑎3<br>3𝑎2 ⋅𝑞-3𝑎2 = 𝑎2 ⋅𝑞2 -𝑎2 ⋅𝑞<br>0 = 𝑎2 ⋅(𝑞2 -4𝑞+ 3)<br>𝑎2 = 0 ∨ 𝑞2 -4𝑞+ 3 = 0<br>𝑎2 = 0 ∨ 𝑞= 1 ∨ 𝑞= 3<br>Dla 𝑎2 = 0 oraz dla 𝑞= 1 warunki zadania nie są spełnione, czyli 𝑞= 3. Zatem<br>𝑎3 = 3𝑎2 , 𝑎6 = 9𝑎2 .<br>Korzystamy z własności ciągu arytmetycznego i obliczamy 𝑎2:<br>𝑎1 + 𝑎3<br>2<br>= 𝑎2<br>1 + 3𝑎2<br>2<br>= 𝑎2<br>𝑎2 = -1<br>Ponieważ 𝑎1 = 1 i 𝑎2 = -1, więc różnica ciągu arytmetycznego jest równa (-2).<br>Obliczamy liczbę 𝑛 wyrazów ciągu (𝑎𝑛):<br>-2025 = 1 + (𝑛-1) ⋅(-2)<br>𝑛= 1014<br>Obliczamy sumę 𝑆1014 wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛):<br>𝑆1014 = 1 + (-2025)<br>2<br>⋅1014 = -1 026 168<br>Sposób III<br>Niech 𝑟 oznacza różnicę ciągu arytmetycznego (𝑎𝑛). Ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu<br>arytmetycznego i własności ciągu geometrycznego otrzymujemy: 𝑎3 = 𝑎2 + 𝑟,<br>𝑎6 = 𝑎2 + 4𝑟 oraz (𝑎3)2 = 𝑎2 ⋅𝑎6 . Stąd i z warunków zadania dostajemy:<br>(𝑎3)2 = 𝑎2 ⋅𝑎6<br>(𝑎2 + 𝑟)2 = 𝑎2 ⋅(𝑎2 + 4𝑟)<br>𝑎2<br>2 + 2𝑎2𝑟+ 𝑟2 = 𝑎2<br>2 + 4𝑎2𝑟<br>0 = 𝑟(2𝑎2 -𝑟)<br>𝑟= 0 ∨ 𝑟= 2𝑎2<br>Dla 𝑟= 0 warunki zadania nie są spełnione, ponieważ pierwszy i ostatni wyraz ciągu<br>arytmetycznego (𝑎𝑛) nie są równe.<br>Dla 𝑟= 2𝑎2 otrzymujemy 𝑎2 = 1 + 2𝑎2 . Stąd 𝑎2 = -1, więc 𝑟= -2. Zatem 𝑎3 = -3<br>oraz 𝑎6 = -9. Ciąg (-1, -3, -9) jest geometryczny, więc warunki zadania są spełnione.<br>Obliczamy liczbę 𝑛 wyrazów ciągu (𝑎𝑛):<br>-2025 = 1 + (𝑛-1) ⋅(-2)<br>𝑛= 1014<br>Obliczamy sumę 𝑆1014 wszystkich wyrazów ciągu (𝑎𝑛):<br>𝑆1014 = 1 + (-2025)<br>2<br>⋅1014 = -1 026 168<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[]}