{"id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa","number":"12","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2026,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-3)\nFunkcja kwadratowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = -16𝑥2 + 40𝑥+ 11.\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) wykresem funkcji 𝑓 jest parabola\no wierzchołku w punkcie 𝐶. Ta parabola przecina oś 𝑂𝑥 w punktach 𝐴 oraz 𝐵.\nOblicz pole trójkąta 𝑨𝑩𝑪. Zapisz obliczenia.\n12.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-P0_100\nFunkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=-16x² + 40x + 11. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykresem funkcji f jest parabola o wierzchołku w punkcie C. Ta parabola przecina oś Ox w punktach A oraz B. Oblicz pole trójkąta ABC. Zapisz obliczenia.","answer":"54","answer_text":"Zadanie 12. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nV.7) szkicuje wykres funkcji kwadratowej\nzadanej wzorem;\nV.11) wykorzystuje własności funkcji […]\nkwadratowej do interpretacji zagadnień\ngeometrycznych […].\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑃𝐴𝐵𝐶= 54.\n2 pkt - obliczenie rzędnej punktu 𝐶 oraz obliczenie miejsc zerowych funkcji 𝑓: 𝑞= 36,\n𝑥1 = 11\n4 , 𝑥2 = -1\n4\n1 pkt - obliczenie rzędnej punktu 𝐶: 𝑞= 36\nALBO\n- obliczenie miejsc zerowych funkcji 𝑓: 𝑥1 = 11\n4 , 𝑥2 = -1\n4\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZauważmy, że trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest równoramienny. Podstawą tego trójkąta jest odcinek 𝐴𝐵,\nnatomiast wysokością jest odcinek, którego długość jest równa rzędnej punktu 𝐶.\nObliczamy wyróżnik trójmianu -16𝑥2 + 40𝑥+ 11:\nΔ = 402 -4 ⋅(-16) ⋅11 = 1600 + 704 = 2304\nObliczamy miejsca zerowe funkcji 𝑓:\n𝑥1 = -40 -√2304\n2 ⋅(-16)\n= -88\n-32 = 11\n4\n𝑥2 = -40 + √2304\n2 ⋅(-16)\n8\n-32 = -1\n4\nObliczamy długość podstawy 𝐴𝐵 trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n|𝐴𝐵| = 11\n4 -(-1\n4) = 12\n4 = 3\nKorzystamy ze wzoru na drugą współrzędną wierzchołka paraboli i obliczamy rzędną punktu\n𝐶= (𝑝, 𝑞):\n𝑞= -2304\n4 ⋅(-16) = -2304\n-64\n= 36\nPróbny egzamin maturalny z matematyki na poziomie podstawowym - marzec 2026 r.\nObliczamy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n𝑃𝐴𝐵𝐶= 1\n2 ⋅3 ⋅36 = 54","solution":"Funkcja kwadratowa jest określona wzorem:\n\nf(x)=-16x^2+40x+11\n\nObliczamy współrzędną x wierzchołka:\n\nx_C=(-b)/(2a)\n\nx_C=(-40)/(2·(-16))=(40)/(32)=(5)/(4)\n\nObliczamy współrzędną y wierzchołka:\n\ny_C=f ((5)/(4) )\n\ny_C=-16·(25)/(16)+40·(5)/(4)+11\n\ny_C=-25+50+11=36\n\nWysokość trójkąta ABC jest więc równa 36 .\n\nObliczamy miejsca zerowe funkcji:\n\n-16x^2+40x+11=0\n\nΔ=40^2-4·(-16)·11=1600+704=2304\n\n√(Δ)=48\n\nx_1=(-40-48)/(-32)=(88)/(32)=(11)/(4)\n\nx_2=(-40+48)/(-32)=-(8)/(32)=-(1)/(4)\n\nDługość podstawy AB :\n\n|AB|=(11)/(4)- (-(1)/(4) )=(12)/(4)=3\n\nPole trójkąta:\n\nP=(1)/(2)·3·36=54\n\nOdpowiedź: 54","image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/sol-12.svg","topics":"Funkcja kwadratowa, funkcje","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"<p>Zadanie 12. (0-3)<br>Funkcja kwadratowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = -16𝑥2 + 40𝑥+ 11.<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) wykresem funkcji 𝑓 jest parabola<br>o wierzchołku w punkcie 𝐶. Ta parabola przecina oś 𝑂𝑥 w punktach 𝐴 oraz 𝐵.<br>Oblicz pole trójkąta 𝑨𝑩𝑪. Zapisz obliczenia.<br>12.<br>0-1-<br>2-3</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=-16x² + 40x + 11. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykresem funkcji f jest parabola o wierzchołku w punkcie C. Ta parabola przecina oś Ox w punktach A oraz B. Oblicz pole trójkąta ABC. Zapisz obliczenia.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 12. (0-3)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Stosowanie i tworzenie strategii przy</li></ol>\n<p>rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach<br>nietypowych.<br>Zdający:<br>V.7) szkicuje wykres funkcji kwadratowej<br>zadanej wzorem;<br>V.11) wykorzystuje własności funkcji […]<br>kwadratowej do interpretacji zagadnień<br>geometrycznych […].<br>Zasady oceniania<br>3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑃𝐴𝐵𝐶= 54.<br>2 pkt - obliczenie rzędnej punktu 𝐶 oraz obliczenie miejsc zerowych funkcji 𝑓: 𝑞= 36,<br>𝑥1 = 11<br>4 , 𝑥2 = -1<br>4<br>1 pkt - obliczenie rzędnej punktu 𝐶: 𝑞= 36<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie miejsc zerowych funkcji 𝑓: 𝑥1 = 11</li></ul>\n<p>4 , 𝑥2 = -1<br>4<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Zauważmy, że trójkąt 𝐴𝐵𝐶 jest równoramienny. Podstawą tego trójkąta jest odcinek 𝐴𝐵,<br>natomiast wysokością jest odcinek, którego długość jest równa rzędnej punktu 𝐶.<br>Obliczamy wyróżnik trójmianu -16𝑥2 + 40𝑥+ 11:<br>Δ = 402 -4 ⋅(-16) ⋅11 = 1600 + 704 = 2304<br>Obliczamy miejsca zerowe funkcji 𝑓:<br>𝑥1 = -40 -√2304<br>2 ⋅(-16)<br>= -88<br>-32 = 11<br>4<br>𝑥2 = -40 + √2304<br>2 ⋅(-16)<br>8<br>-32 = -1<br>4<br>Obliczamy długość podstawy 𝐴𝐵 trójkąta 𝐴𝐵𝐶:<br>|𝐴𝐵| = 11<br>4 -(-1</p>\n<ol><li>= 12</li></ol>\n<p>4 = 3<br>Korzystamy ze wzoru na drugą współrzędną wierzchołka paraboli i obliczamy rzędną punktu<br>𝐶= (𝑝, 𝑞):<br>𝑞= -2304<br>4 ⋅(-16) = -2304<br>-64<br>= 36<br>Próbny egzamin maturalny z matematyki na poziomie podstawowym - marzec 2026 r.<br>Obliczamy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶:<br>𝑃𝐴𝐵𝐶= 1<br>2 ⋅3 ⋅36 = 54</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/sol-12.svg"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Funkcja kwadratowa jest określona wzorem:</p>\n<p>f(x)=-16x^2+40x+11</p>\n<p>Obliczamy współrzędną x wierzchołka:</p>\n<p>x_C=(-b)/(2a)</p>\n<p>x_C=(-40)/(2·(-16))=(40)/(32)=(5)/(4)</p>\n<p>Obliczamy współrzędną y wierzchołka:</p>\n<p>y_C=f ((5)/(4) )</p>\n<p>y_C=-16·(25)/(16)+40·(5)/(4)+11</p>\n<p>y_C=-25+50+11=36</p>\n<p>Wysokość trójkąta ABC jest więc równa 36 .</p>\n<p>Obliczamy miejsca zerowe funkcji:</p>\n<p>-16x^2+40x+11=0</p>\n<p>Δ=40^2-4·(-16)·11=1600+704=2304</p>\n<p>√(Δ)=48</p>\n<p>x_1=(-40-48)/(-32)=(88)/(32)=(11)/(4)</p>\n<p>x_2=(-40+48)/(-32)=-(8)/(32)=-(1)/(4)</p>\n<p>Długość podstawy AB :</p>\n<p>|AB|=(11)/(4)- (-(1)/(4) )=(12)/(4)=3</p>\n<p>Pole trójkąta:</p>\n<p>P=(1)/(2)·3·36=54</p>\n<p>Odpowiedź: 54</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$P_{ABC} = 54$</p>"}]}