{"id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa","number":"14","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2026,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-3)\nCiąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛= 3𝑛 + 9\n𝑛 + 1 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nWyznacz wszystkie wartości 𝒙, dla których trzywyrazowy ciąg\n(𝒂𝟓\n, 𝟐𝒙𝟐\n, 𝟑𝒙𝟐+ 𝟓)\njest arytmetyczny. Zapisz obliczenia.\n14.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-P0_100\nCiąg (a_n) jest określony wzorem a_n = 3n+9/n+1 dla każdej liczby naturalnej n≥1. Wyznacz wszystkie wartości x, dla których trzywyrazowy ciąg (a_5, 2x^2, 3x^2+5) jest arytmetyczny. Zapisz obliczenia.","answer":"x=-3 lub x=3","answer_text":"Zadanie 14. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVI.1) oblicza wyrazy ciągu określonego\nwzorem ogólnym;\nVI.7) wykorzystuje własności ciągów […]\narytmetycznych […] do rozwiązywania\nzadań […].\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥= -3 oraz 𝑥= 3.\n2 pkt - zapisanie równania z niewiadomą 𝑥, np.:\n4 + 3𝑥2 + 5\n2\n= 2𝑥2\n2𝑥2 -4 = 3𝑥2 + 5 -2𝑥2\nALBO\n- zapisanie układu dwóch niezależnych równań z niewiadomymi 𝑥 oraz 𝑟, np.\n2𝑥2 = 4 + 𝑟 oraz 3𝑥2 + 5 = 4 + 2𝑟.\n1 pkt - obliczenie piątego wyrazu ciągu (𝑎𝑛): 𝑎5 = 4,\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- zapisanie równania z dwiema niewiadomymi 𝑥 oraz 𝑎5, np.:\n𝑎5 + 3𝑥2 + 5\n2\n= 2𝑥2\n2𝑥2 -𝑎5 = 3𝑥2 + 5 -2𝑥2\nALBO\n- zapisanie układu dwóch niezależnych równań z niewiadomymi 𝑥, 𝑟 oraz 𝑎5 , np.\n2𝑥2 = 𝑎5 + 𝑟 oraz 3𝑥2 + 5 = 𝑎5 + 2𝑟.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nObliczamy piąty wyraz ciągu (𝑎𝑛):\n𝑎5 = 3 ⋅5 + 9\n5 + 1\n= 24\n6 = 4\nZ warunków zadania wynika, że liczby 4, 2𝑥2, 3𝑥2 + 5 są kolejnymi wyrazami ciągu\narytmetycznego. Z własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy:\n4 + 3𝑥2 + 5\n2\n= 2𝑥2\n3𝑥2 + 9 = 4𝑥2\n𝑥2 = 9\nZatem 𝑥= -3 lub 𝑥= 3.\nSposób II\nObliczamy piąty wyraz ciągu (𝑎𝑛):\n𝑎5 = 3 ⋅5 + 9\n5 + 1\n= 24\n6 = 4\nZ warunków zadania wynika, że liczby 4, 2𝑥2, 3𝑥2 + 5 są kolejnymi wyrazami ciągu\narytmetycznego. Z własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy:\n{ 2𝑥2 = 4 + 𝑟\n3𝑥2 + 5 = 4 + 2𝑟\ngdzie 𝑟 jest różnicą ciągu arytmetycznego.\nZ pierwszego z tych równań wyznaczamy 𝑟= 2𝑥2 -4 i podstawiamy w miejsce 𝑟 do\ndrugiego z równań. Stąd otrzymujemy:\n3𝑥2 + 5 = 4 + 2(2𝑥2 -4)\n3𝑥2 + 5 = 4 + 4𝑥2 -8\n𝑥2 = 9\nZatem 𝑥= -3 lub 𝑥= 3.\nPróbny egzamin maturalny z matematyki na poziomie podstawowym - marzec 2026 r.","solution":"Najpierw obliczamy wyraz a_5 :\n\na_n=(3n+9)/(n+1)\n\na_5=(3·5+9)/(5+1)\n\na_5=(24)/(6)=4\n\nCiąg:\n\n(a_5, 2x^2, 3x^2+5)\n\nma więc postać:\n\n(4, 2x^2, 3x^2+5)\n\nTrzywyrazowy ciąg jest arytmetyczny, gdy podwojony środkowy wyraz jest równy sumie wyrazów skrajnych:\n\n2·2x^2=4+(3x^2+5)\n\nRozwiązujemy równanie:\n\n4x^2=3x^2+9\n\nx^2=9\n\nx=-3 lub x=3\n\nOdpowiedź: x=-3 lub x=3","image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/sol-14.svg","topics":"Ciąg arytmetyczny, ciagi","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"<p>Zadanie 14. (0-3)<br>Ciąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛= 3𝑛 + 9<br>𝑛 + 1 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.<br>Wyznacz wszystkie wartości 𝒙, dla których trzywyrazowy ciąg<br>(𝒂𝟓<br>, 𝟐𝒙𝟐<br>, 𝟑𝒙𝟐+ 𝟓)<br>jest arytmetyczny. Zapisz obliczenia.<br>14.<br>0-1-<br>2-3</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n = 3n+9/n+1 dla każdej liczby naturalnej n≥1. Wyznacz wszystkie wartości x, dla których trzywyrazowy ciąg (a_5, 2x^2, 3x^2+5) jest arytmetyczny. Zapisz obliczenia.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 14. (0-3)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Stosowanie i tworzenie strategii przy</li></ol>\n<p>rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach<br>nietypowych.<br>Zdający:<br>VI.1) oblicza wyrazy ciągu określonego<br>wzorem ogólnym;<br>VI.7) wykorzystuje własności ciągów […]<br>arytmetycznych […] do rozwiązywania<br>zadań […].<br>Zasady oceniania<br>3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥= -3 oraz 𝑥= 3.<br>2 pkt - zapisanie równania z niewiadomą 𝑥, np.:<br>4 + 3𝑥2 + 5<br>2<br>= 2𝑥2<br>2𝑥2 -4 = 3𝑥2 + 5 -2𝑥2<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie układu dwóch niezależnych równań z niewiadomymi 𝑥 oraz 𝑟, np.</li></ul>\n<p>2𝑥2 = 4 + 𝑟 oraz 3𝑥2 + 5 = 4 + 2𝑟.<br>1 pkt - obliczenie piątego wyrazu ciągu (𝑎𝑛): 𝑎5 = 4,<br>ALBO<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>\n<ul><li>zapisanie równania z dwiema niewiadomymi 𝑥 oraz 𝑎5, np.:</li></ul>\n<p>𝑎5 + 3𝑥2 + 5<br>2<br>= 2𝑥2<br>2𝑥2 -𝑎5 = 3𝑥2 + 5 -2𝑥2<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie układu dwóch niezależnych równań z niewiadomymi 𝑥, 𝑟 oraz 𝑎5 , np.</li></ul>\n<p>2𝑥2 = 𝑎5 + 𝑟 oraz 3𝑥2 + 5 = 𝑎5 + 2𝑟.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Obliczamy piąty wyraz ciągu (𝑎𝑛):<br>𝑎5 = 3 ⋅5 + 9<br>5 + 1<br>= 24<br>6 = 4<br>Z warunków zadania wynika, że liczby 4, 2𝑥2, 3𝑥2 + 5 są kolejnymi wyrazami ciągu<br>arytmetycznego. Z własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy:<br>4 + 3𝑥2 + 5<br>2<br>= 2𝑥2<br>3𝑥2 + 9 = 4𝑥2<br>𝑥2 = 9<br>Zatem 𝑥= -3 lub 𝑥= 3.<br>Sposób II<br>Obliczamy piąty wyraz ciągu (𝑎𝑛):<br>𝑎5 = 3 ⋅5 + 9<br>5 + 1<br>= 24<br>6 = 4<br>Z warunków zadania wynika, że liczby 4, 2𝑥2, 3𝑥2 + 5 są kolejnymi wyrazami ciągu<br>arytmetycznego. Z własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy:<br>{ 2𝑥2 = 4 + 𝑟<br>3𝑥2 + 5 = 4 + 2𝑟<br>gdzie 𝑟 jest różnicą ciągu arytmetycznego.<br>Z pierwszego z tych równań wyznaczamy 𝑟= 2𝑥2 -4 i podstawiamy w miejsce 𝑟 do<br>drugiego z równań. Stąd otrzymujemy:<br>3𝑥2 + 5 = 4 + 2(2𝑥2 -4)<br>3𝑥2 + 5 = 4 + 4𝑥2 -8<br>𝑥2 = 9<br>Zatem 𝑥= -3 lub 𝑥= 3.<br>Próbny egzamin maturalny z matematyki na poziomie podstawowym - marzec 2026 r.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/sol-14.svg"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Najpierw obliczamy wyraz a_5 :</p>\n<p>a_n=(3n+9)/(n+1)</p>\n<p>a_5=(3·5+9)/(5+1)</p>\n<p>a_5=(24)/(6)=4</p>\n<p>Ciąg:</p>\n<p>(a_5, 2x^2, 3x^2+5)</p>\n<p>ma więc postać:</p>\n<p>(4, 2x^2, 3x^2+5)</p>\n<p>Trzywyrazowy ciąg jest arytmetyczny, gdy podwojony środkowy wyraz jest równy sumie wyrazów skrajnych:</p>\n<p>2·2x^2=4+(3x^2+5)</p>\n<p>Rozwiązujemy równanie:</p>\n<p>4x^2=3x^2+9</p>\n<p>x^2=9</p>\n<p>x=-3 lub x=3</p>\n<p>Odpowiedź: x=-3 lub x=3</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$x = -3$ oraz $x = 3$</p>"}]}