{"id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa","number":"17","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2026,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-2)\nKąt o mierze 𝛼 jest rozwarty oraz sin 𝛼= 1\n√3\nOblicz wartość wyrażenia 𝟑𝐬𝐢𝐧𝜶\n𝐭𝐠𝜶\n. Zapisz obliczenia.\n17.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nKąt o mierze α jest rozwarty oraz sinα = 1/√3. Oblicz wartość wyrażenia 3 sinα / tgα. Zapisz obliczenia.","answer":"-√(6)","answer_text":"Zadanie 17. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVII.2) korzysta z wzorów\nsin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1, tg 𝛼= sin𝛼\ncos𝛼 .\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (-√6).\n1 pkt - obliczenie cosinusa kąta o mierze 𝛼: cos 𝛼= -\n√6\n3\nALBO\n- obliczenie tangensa kąta o mierze 𝛼: tg 𝛼= -\n√2\n2\nALBO\n- przekształcenie wyrażenia 3sin𝛼\ntg𝛼 do postaci 3 cos 𝛼.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nKorzystamy z jedynki trygonometrycznej i obliczamy cos 𝛼:\n( 1\n√3\n)\n2\n+ cos2 𝛼= 1\n1\n3 + cos2 𝛼= 1\ncos2 𝛼= 2\n3\nPonieważ kąt o mierze 𝛼 jest rozwarty, to cos 𝛼< 0. Zatem\ncos 𝛼= -√2\n3 = -√2\n√3\n⋅√3\n√3\n= -√6\n3\nKorzystamy ze związku między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta i obliczamy\nwartość wyrażenia 3sin𝛼\ntg𝛼 :\n3 sin 𝛼\ntg 𝛼\n= 3 sin 𝛼⋅1\ntg 𝛼= 3 sin 𝛼⋅cos 𝛼\nsin 𝛼= 3 cos 𝛼= 3 ⋅(-√6\n3 ) = -√6\nPróbny egzamin maturalny z matematyki na poziomie podstawowym - marzec 2026 r.","solution":"Kąt α jest rozwarty, więc:\n\ncosα<0\n\nKorzystamy z jedynki trygonometrycznej:\n\nsin^2α+cos^2α=1\n\n(frac 1 √(3) )^2+cos^2α=1\n\n(1)/(3)+cos^2α=1\n\ncos^2α=(2)/(3)\n\nPonieważ kąt jest rozwarty, wybieramy wartość ujemną:\n\ncosα=-√((2)/(3))\n\nObliczamy tangens:\n\ntgα=(sinα)/(cosα)\nfrac frac 1 √(3) -√((2)/(3))\n-frac 1 √(2)\n\nObliczamy wartość wyrażenia:\n\n(3sinα)/(tgα)\nfrac 3·frac 1 √(3) -frac 1 √(2)\n\n=-frac 3√(2) √(3)\n\n=-√(6)\n\nOdpowiedź: -√(6)","image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/sol-17.svg","topics":"Trygonometria","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"<p>Zadanie 17. (0-2)<br>Kąt o mierze 𝛼 jest rozwarty oraz sin 𝛼= 1<br>√3<br>Oblicz wartość wyrażenia 𝟑𝐬𝐢𝐧𝜶<br>𝐭𝐠𝜶<br>. Zapisz obliczenia.<br>17.<br>0-1-2</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Kąt o mierze α jest rozwarty oraz sinα = 1/√3. Oblicz wartość wyrażenia 3 sinα / tgα. Zapisz obliczenia.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 17. (0-2)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>VII.2) korzysta z wzorów<br>sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1, tg 𝛼= sin𝛼<br>cos𝛼 .<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (-√6).<br>1 pkt - obliczenie cosinusa kąta o mierze 𝛼: cos 𝛼= -<br>√6<br>3<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie tangensa kąta o mierze 𝛼: tg 𝛼= -</li></ul>\n<p>√2<br>2<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie wyrażenia 3sin𝛼</li></ul>\n<p>tg𝛼 do postaci 3 cos 𝛼.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Korzystamy z jedynki trygonometrycznej i obliczamy cos 𝛼:<br>( 1<br>√3<br>)<br>2</p>\n<ul><li>cos2 𝛼= 1</li></ul>\n<p>1<br>3 + cos2 𝛼= 1<br>cos2 𝛼= 2<br>3<br>Ponieważ kąt o mierze 𝛼 jest rozwarty, to cos 𝛼&lt; 0. Zatem<br>cos 𝛼= -√2<br>3 = -√2<br>√3<br>⋅√3<br>√3<br>= -√6<br>3<br>Korzystamy ze związku między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta i obliczamy<br>wartość wyrażenia 3sin𝛼<br>tg𝛼 :<br>3 sin 𝛼<br>tg 𝛼<br>= 3 sin 𝛼⋅1<br>tg 𝛼= 3 sin 𝛼⋅cos 𝛼<br>sin 𝛼= 3 cos 𝛼= 3 ⋅(-√6<br>3 ) = -√6<br>Próbny egzamin maturalny z matematyki na poziomie podstawowym - marzec 2026 r.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/sol-17.svg"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Kąt α jest rozwarty, więc:</p>\n<p>cosα&lt;0</p>\n<p>Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:</p>\n<p>sin^2α+cos^2α=1</p>\n<p>(frac 1 √(3) )^2+cos^2α=1</p>\n<p>(1)/(3)+cos^2α=1</p>\n<p>cos^2α=(2)/(3)</p>\n<p>Ponieważ kąt jest rozwarty, wybieramy wartość ujemną:</p>\n<p>cosα=-√((2)/(3))</p>\n<p>Obliczamy tangens:</p>\n<p>tgα=(sinα)/(cosα)<br>frac frac 1 √(3) -√((2)/(3))<br>-frac 1 √(2)</p>\n<p>Obliczamy wartość wyrażenia:</p>\n<p>(3sinα)/(tgα)<br>frac 3·frac 1 √(3) -frac 1 √(2)</p>\n<p>=-frac 3√(2) √(3)</p>\n<p>=-√(6)</p>\n<p>Odpowiedź: -√(6)</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$-\\sqrt{6}$</p>"}]}