{"id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2026,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nPunkty 𝐴, 𝐵, 𝐶 oraz 𝐷 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑂. Punkt 𝐾 jest punktem\nprzecięcia cięciwy 𝐴𝐶 i średnicy 𝐵𝐷. Kąt 𝐶𝑂𝐵 jest prosty, a kąt 𝐴𝐾𝐷 ma miarę 78°\n(zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nMiara kąta ostrego 𝐵𝐷𝐴 jest równa\nA. 45°\nB. 51°\nC. 57°\nD. 78°\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝐷\n𝑂\n𝐾\n78°\n\nMMAP-P0_100\nPunkty A, B, C oraz D leżą na okręgu o środku w punkcie O. Punkt K jest punktem przecięcia cięciwy AC i średnicy BD. Kąt COB jest prosty, a kąt AKD ma miarę 78° (zobacz rysunek). [rysunek] Miara kąta ostrego BDA jest równa A. 45° B. 51° C. 57° D. 78°","answer":"C","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nVIII.5) stosuje własności kątów wpisanych\ni środkowych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"Kąt COB jest kątem środkowym i ma miarę 90^° , więc łuk CB ma miarę:\n\noverset frown CB =90^°\n\nKąt AKD jest kątem utworzonym przez przecinające się cięciwy. Jego miara jest równa połowie sumy miar odpowiednich łuków:\n\n78^°=(1)/(2) (overset frown AD +overset frown CB )\n\nPodstawiamy:\n\n78^°=(1)/(2) (overset frown AD +90^° )\n\n156^°=overset frown AD +90^°\n\noverset frown AD =66^°\n\nPonieważ BD jest średnicą, łuk BAD ma miarę 180^° . Zatem:\n\noverset frown BA =180^°-66^°=114^°\n\nKąt BDA jest kątem wpisanym opartym na łuku BA , więc:\n\n|∠ BDA|=(1)/(2)·114^°=57^°\n\nOdpowiedź: C. 57^°","image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/sol-20.svg","topics":"Kąty w okręgu, planimetria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"<p>Zadanie 20. (0-1)<br>Punkty 𝐴, 𝐵, 𝐶 oraz 𝐷 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑂. Punkt 𝐾 jest punktem<br>przecięcia cięciwy 𝐴𝐶 i średnicy 𝐵𝐷. Kąt 𝐶𝑂𝐵 jest prosty, a kąt 𝐴𝐾𝐷 ma miarę 78°<br>(zobacz rysunek).<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Miara kąta ostrego 𝐵𝐷𝐴 jest równa<br>A. 45°<br>B. 51°<br>C. 57°<br>D. 78°<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝐷<br>𝑂<br>𝐾<br>78°</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Punkty A, B, C oraz D leżą na okręgu o środku w punkcie O. Punkt K jest punktem przecięcia cięciwy AC i średnicy BD. Kąt COB jest prosty, a kąt AKD ma miarę 78° (zobacz rysunek). [rysunek] Miara kąta ostrego BDA jest równa A. 45° B. 51° C. 57° D. 78°</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 20. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Przeprowadzanie rozumowań, także</li></ol>\n<p>kilkuetapowych, podawanie argumentów<br>uzasadniających poprawność rozumowania,<br>odróżnianie dowodu od przykładu.<br>Zdający:<br>VIII.5) stosuje własności kątów wpisanych<br>i środkowych.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/sol-20.svg"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Kąt COB jest kątem środkowym i ma miarę 90^° , więc łuk CB ma miarę:</p>\n<p>overset frown CB =90^°</p>\n<p>Kąt AKD jest kątem utworzonym przez przecinające się cięciwy. Jego miara jest równa połowie sumy miar odpowiednich łuków:</p>\n<p>78^°=(1)/(2) (overset frown AD +overset frown CB )</p>\n<p>Podstawiamy:</p>\n<p>78^°=(1)/(2) (overset frown AD +90^° )</p>\n<p>156^°=overset frown AD +90^°</p>\n<p>overset frown AD =66^°</p>\n<p>Ponieważ BD jest średnicą, łuk BAD ma miarę 180^° . Zatem:</p>\n<p>overset frown BA =180^°-66^°=114^°</p>\n<p>Kąt BDA jest kątem wpisanym opartym na łuku BA , więc:</p>\n<p>|∠ BDA|=(1)/(2)·114^°=57^°</p>\n<p>Odpowiedź: C. 57^°</p>"}]}