Zadanie 24. (0-4)
W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) punkty 𝐴= (-3, 0) oraz 𝐶= (5, 6) są
końcami przekątnej kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷.
Kwadrat 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ jest obrazem kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 w symetrii osiowej względem osi 𝑂𝑦.
Wyznacz równanie okręgu opisanego na kwadracie 𝑨′𝑩′𝑪′𝑫′. Zapisz obliczenia.
24.
0-1-
2-3-4
MMAP-P0_100
\nMMAP-P0_100
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkty A=(-3,0) oraz C=(5,6) są końcami przekątnej kwadratu ABCD. Kwadrat A'B'C'D' jest obrazem kwadratu ABCD w symetrii osiowej względem osi Oy. Wyznacz równanie okręgu opisanego na kwadracie A'B'C'D'. Zapisz obliczenia.
Zadanie 24. (0-4)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.
rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach
nietypowych.
Zdający:
IX.3) oblicza odległość dwóch punktów
w układzie współrzędnych;
IX.4) posługuje się równaniem okręgu
(𝑥-𝑎)2 + (𝑦-𝑏)2 = 𝑟2;
IX.5) wyznacza obrazy okręgów
i wielokątów w symetriach osiowych
względem osi układu współrzędnych […].
Zasady oceniania
4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: (𝑥+ 1)2 + (𝑦-3)2 = 25.
3 pkt - obliczenie długości promienia (lub kwadratu długości promienia) oraz
współrzędnych środka okręgu opisanego na kwadracie 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′:
𝑟= 5 (lub 𝑟2 = 25), 𝑆′ = (-1, 3)
ALBO
(𝑥-1)2 + (𝑦-3)2 = 25.
2 pkt - obliczenie współrzędnych punktów 𝐴′ oraz 𝐶′ oraz długości promienia (lub
kwadratu długości promienia) okręgu opisanego na kwadracie 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′:
𝐴′ = (3, 0), 𝐶′ = (-5, 6), 𝑟= 5 (lub 𝑟2 = 25)
𝑆′ = (-1, 3),
ALBO
współrzędnych środka okręgu opisanego na kwadracie 𝐴𝐵𝐶𝐷:
𝑟= 5 (lub 𝑟2 = 25), 𝑆= (1, 3).
1 pkt - obliczenie współrzędnych punktów 𝐴′ oraz 𝐶′: 𝐴′ = (3, 0), 𝐶′ = (-5, 6)
ALBO
kwadracie 𝐴𝐵𝐶𝐷: 𝑟= 5 (lub 𝑟2 = 25),
ALBO
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Punkty 𝐴 oraz 𝐶 przekształcamy przez symetrię osiową względem osi 𝑂𝑦 i otrzymujemy
współrzędne punktów 𝐴′ oraz 𝐶′, które są końcami przekątnej kwadratu 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′:
𝐴′ = (3, 0) oraz 𝐶′ = (-5, 6)
Odcinek 𝐴′𝐶′ jest średnicą okręgu 𝒪′ opisanego na kwadracie 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′.
Obliczamy długość 𝑟 promienia okręgu 𝒪′:
𝑟= 1
2 ⋅|𝐴′𝐶′| = 1
2 ⋅√(-5 -3)2 + (6 -0)2 = 1
2 ⋅√64 + 36 = 1
2 ⋅10 = 5
Obliczamy współrzędne środka 𝑆′ odcinka 𝐴′𝐶′:
𝑆′ = (3 -5
2
, 0 + 6
2
) = (-1, 3)
Zapisujemy równanie okręgu 𝒪′:
(𝑥+ 1)2 + (𝑦-3)2 = 25
Sposób II
Odcinek 𝐴𝐶 jest średnicą okręgu 𝒪 opisanego na kwadracie 𝐴𝐵𝐶𝐷.
Obliczamy długość 𝑟 promienia okręgu 𝒪:
𝑟= 1
2 ⋅|𝐴𝐶| = 1
2 ⋅√(5 + 3)2 + (6 -0)2 = 1
2 ⋅√64 + 36 = 1
2 ⋅10 = 5
Obliczamy współrzędne środka 𝑆 odcinka 𝐴𝐶:
𝑆= (-3 + 5
2
, 0 + 6
2
) = (1, 3)
Zapisujemy równanie okręgu 𝒪:
(𝑥-1)2 + (𝑦-3)2 = 25
Okrąg 𝒪′ opisany na kwadracie 𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ jest obrazem okręgu 𝒪 w symetrii osiowej
względem osi 𝑂𝑦. Ta symetria przekształca każdy punkt 𝑃= (𝑥, 𝑦) leżący na okręgu 𝒪
na punkt 𝑃′ = (-𝑥, 𝑦) leżący na okręgu 𝒪′. Zatem okrąg 𝒪′ jest określony równaniem:
(-𝑥-1)2 + (𝑦-3)2 = 25
Stąd
(𝑥+ 1)2 + (𝑦-3)2 = 25
Próbny egzamin maturalny z matematyki na poziomie podstawowym - marzec 2026 r.
Dane są końce przekątnej kwadratu:
\nA=(-3,0), C=(5,6)
\nŚrodek okręgu opisanego na kwadracie ABCD jest środkiem przekątnej AC :
\nS= ((-3+5)/(2),(0+6)/(2) )
\nS=(1,3)
\nPromień okręgu jest równy połowie długości przekątnej AC .
\n|AC|=√((5-(-3))^2+(6-0)^2)
\n|AC|=√(8^2+6^2)
\n|AC|=√(64+36)=10
\nr=(10)/(2)=5
\nPo odbiciu kwadratu względem osi OY środek okręgu S=(1,3) przechodzi na punkt:
\nS'=(-1,3)
\nPromień nie zmienia się, więc:
\nr=5
\nRysunek pomocniczy przygotowany w GeoGebrze:
\nRównanie okręgu:
\n(x+1)^2+(y-3)^2=25
\nOdpowiedź: (x+1)^2+(y-3)^2=25
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 25$
"}]}