{"id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2026,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-2)\nDany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 12.\nŚciana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze 30°.\nOblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.\n26.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nDany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 12. Ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze 30°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.","answer":"96√(3)","answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nX.3) rozpoznaje w […] ostrosłupach […]\nkąty między ścianami […];\nX.5) oblicza objętości […] ostrosłupów […]\nrównież z wykorzystaniem trygonometrii.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑉= 96√3 .\n1 pkt - obliczenie/zapisanie wysokości ostrosłupa: 𝐻= 2√3 .\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nKąt między ścianą boczną a płaszczyzną podstawy w ostrosłupie prawidłowym\nczworokątnym jest kątem między wysokością ściany bocznej poprowadzonej z wierzchołka\nostrosłupa do krawędzi podstawy a odcinkiem łączącym spodek wysokości ostrosłupa ze\nśrodkiem tej samej krawędzi podstawy.\nPrzyjmujemy oznaczenia jak na rysunku:\n𝐻 - wysokość ostrosłupa,\n𝑂 - spodek wysokość ostrosłupa,\n𝐸 - środek krawędzi 𝐴𝐵.\nZauważamy, że 𝐻> 0.\nPonieważ 𝑂 jest punktem przecięcia\nprzekątnych kwadratu, to |𝑂𝐸| = 6.\n30°\n6\n𝐻\n12\n𝑆\n𝐸\n𝑂\n𝐷\n𝐵\n𝐴\n𝐶\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nW trójkącie prostokątnym 𝑆𝑂𝐸 mamy\ntg 30° = |𝑆𝑂|\n|𝑂𝐸| = 𝐻\n6\nZatem\n𝐻= 6 ⋅tg 30° = 6 ⋅√3\n3 = 2√3\nObliczamy objętość 𝑉 ostrosłupa:\n𝑉= 1\n3 ⋅122 ⋅2√3 = 96√3","solution":"Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o boku 12 , więc pole podstawy wynosi:\n\nP_p=12^2=144\n\nW ostrosłupie prawidłowym czworokątnym środek podstawy leży w środku kwadratu.\n\nOdległość środka podstawy od środka boku podstawy wynosi:\n\n(12)/(2)=6\n\nKąt między ścianą boczną a podstawą ma miarę 30^° . W odpowiednim przekroju otrzymujemy trójkąt prostokątny, w którym:\n\ntg30^°=(h)/(6)\n\nObliczamy wysokość ostrosłupa:\n\nfrac √(3) 3 =(h)/(6)\n\nh=2√(3)\n\nObjętość ostrosłupa:\n\nV=(1)/(3)P_p h\n\nV=(1)/(3)·144·2√(3)\n\nV=96√(3)\n\nOdpowiedź: 96√(3)","image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/sol-26.svg","topics":"Graniastosłupy i ostrosłupy, stereometria","page_from":25,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"<p>Zadanie 26. (0-2)<br>Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 12.<br>Ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze 30°.<br>Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.<br>26.<br>0-1-2</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 12. Ściana boczna tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze 30°. Oblicz objętość tego ostrosłupa.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 26. (0-2)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Stosowanie i tworzenie strategii przy</li></ol>\n<p>rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach<br>nietypowych.<br>Zdający:<br>X.3) rozpoznaje w […] ostrosłupach […]<br>kąty między ścianami […];<br>X.5) oblicza objętości […] ostrosłupów […]<br>również z wykorzystaniem trygonometrii.<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑉= 96√3 .<br>1 pkt - obliczenie/zapisanie wysokości ostrosłupa: 𝐻= 2√3 .<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Kąt między ścianą boczną a płaszczyzną podstawy w ostrosłupie prawidłowym<br>czworokątnym jest kątem między wysokością ściany bocznej poprowadzonej z wierzchołka<br>ostrosłupa do krawędzi podstawy a odcinkiem łączącym spodek wysokości ostrosłupa ze<br>środkiem tej samej krawędzi podstawy.<br>Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku:<br>𝐻 - wysokość ostrosłupa,<br>𝑂 - spodek wysokość ostrosłupa,<br>𝐸 - środek krawędzi 𝐴𝐵.<br>Zauważamy, że 𝐻&gt; 0.<br>Ponieważ 𝑂 jest punktem przecięcia<br>przekątnych kwadratu, to |𝑂𝐸| = 6.<br>30°<br>6<br>𝐻<br>12<br>𝑆<br>𝐸<br>𝑂<br>𝐷<br>𝐵<br>𝐴<br>𝐶<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>W trójkącie prostokątnym 𝑆𝑂𝐸 mamy<br>tg 30° = |𝑆𝑂|<br>|𝑂𝐸| = 𝐻<br>6<br>Zatem<br>𝐻= 6 ⋅tg 30° = 6 ⋅√3<br>3 = 2√3<br>Obliczamy objętość 𝑉 ostrosłupa:<br>𝑉= 1<br>3 ⋅122 ⋅2√3 = 96√3</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/sol-26.svg"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o boku 12 , więc pole podstawy wynosi:</p>\n<p>P_p=12^2=144</p>\n<p>W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym środek podstawy leży w środku kwadratu.</p>\n<p>Odległość środka podstawy od środka boku podstawy wynosi:</p>\n<p>(12)/(2)=6</p>\n<p>Kąt między ścianą boczną a podstawą ma miarę 30^° . W odpowiednim przekroju otrzymujemy trójkąt prostokątny, w którym:</p>\n<p>tg30^°=(h)/(6)</p>\n<p>Obliczamy wysokość ostrosłupa:</p>\n<p>frac √(3) 3 =(h)/(6)</p>\n<p>h=2√(3)</p>\n<p>Objętość ostrosłupa:</p>\n<p>V=(1)/(3)P_p h</p>\n<p>V=(1)/(3)·144·2√(3)</p>\n<p>V=96√(3)</p>\n<p>Odpowiedź: 96√(3)</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$V = 96\\sqrt{3}$</p>"}]}