{"id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa","number":"5","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2026,"month":"marzec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-2)\nWykaż, że liczba 𝟐𝟓𝟎𝟏𝟒-𝟐𝟒𝟗𝟗𝟒 jest podzielna przez 𝟏𝟎 𝟎𝟎𝟎.\n5.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nWykaż, że liczba 2501^4 - 2499^4 jest podzielna przez 10000.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nI.2) przeprowadza proste dowody dotyczące\npodzielności liczb całkowitych i reszt\nz dzielenia […].\nII.1) stosuje wzory skróconego mnożenia\nna: […] 𝑎2 -𝑏2.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia 25014 -24994 do postaci\n(25012 -24992)(25012 + 24992).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nKorzystamy z własności działań na potęgach oraz ze wzoru na różnicę kwadratów\ni otrzymujemy:\n25014 -24994 = (25012)2 -(24992)2 = (25012 -24992)(25012 + 24992) =\n= (2501 -2499)(2501 + 2499)(25012 + 24992) =\n= 2 ⋅5000 ⋅(25012 + 24992) = 10000 ⋅(25012 + 24992)\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nLiczba 25012 + 24992 jest liczbą całkowitą, zatem liczba 25014 -24994 jest podzielna\nprzez 10 000.","solution":"Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów dwukrotnie:\n\n2501^4-2499^4=(2501^2-2499^2)(2501^2+2499^2)\n\nRozkładamy pierwszy nawias:\n\n2501^2-2499^2=(2501-2499)(2501+2499)\n\n=2·5000=10000\n\nZatem:\n\n2501^4-2499^4=10000(2501^2+2499^2)\n\nLiczba 2501^2+2499^2 jest liczbą całkowitą, więc całe wyrażenie jest iloczynem liczby 10000 i liczby całkowitej.\n\nWykazano, że liczba 2501^4-2499^4 jest podzielna przez 10000 .","image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/sol-5.svg","topics":"Dowody algebraiczne, algebra","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura próbna · marzec 2026 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"<p>Zadanie 5. (0-2)<br>Wykaż, że liczba 𝟐𝟓𝟎𝟏𝟒-𝟐𝟒𝟗𝟗𝟒 jest podzielna przez 𝟏𝟎 𝟎𝟎𝟎.<br>5.<br>0-1-2</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Wykaż, że liczba 2501^4 - 2499^4 jest podzielna przez 10000.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 5. (0-2)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Przeprowadzanie rozumowań, także</li></ol>\n<p>kilkuetapowych, podawanie argumentów<br>uzasadniających poprawność rozumowania,<br>odróżnianie dowodu od przykładu.<br>Zdający:<br>I.2) przeprowadza proste dowody dotyczące<br>podzielności liczb całkowitych i reszt<br>z dzielenia […].<br>II.1) stosuje wzory skróconego mnożenia<br>na: […] 𝑎2 -𝑏2.<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.<br>1 pkt - przekształcenie wyrażenia 25014 -24994 do postaci<br>(25012 -24992)(25012 + 24992).<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Korzystamy z własności działań na potęgach oraz ze wzoru na różnicę kwadratów<br>i otrzymujemy:<br>25014 -24994 = (25012)2 -(24992)2 = (25012 -24992)(25012 + 24992) =<br>= (2501 -2499)(2501 + 2499)(25012 + 24992) =<br>= 2 ⋅5000 ⋅(25012 + 24992) = 10000 ⋅(25012 + 24992)<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Liczba 25012 + 24992 jest liczbą całkowitą, zatem liczba 25014 -24994 jest podzielna<br>przez 10 000.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2026-marzec-probna-podstawowa/sol-5.svg"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów dwukrotnie:</p>\n<p>2501^4-2499^4=(2501^2-2499^2)(2501^2+2499^2)</p>\n<p>Rozkładamy pierwszy nawias:</p>\n<p>2501^2-2499^2=(2501-2499)(2501+2499)</p>\n<p>=2·5000=10000</p>\n<p>Zatem:</p>\n<p>2501^4-2499^4=10000(2501^2+2499^2)</p>\n<p>Liczba 2501^2+2499^2 jest liczbą całkowitą, więc całe wyrażenie jest iloczynem liczby 10000 i liczby całkowitej.</p>\n<p>Wykazano, że liczba 2501^4-2499^4 jest podzielna przez 10000 .</p>"}]}