{"id":"matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/15","paper_id":"matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny","number":"15","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":"styczen","level":null,"text":"Zadanie 15. (0-2)","answer":"Między 4 i 5","answer_text":"Zadanie 15. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Używanie prostych, dobrze znanych\nobiektów matematycznych,\ninterpretowanie pojęć matematycznych\ni operowanie obiektami matematycznymi.\nKLASY VII i VIII\nII. Pierwiastki. Uczeń:\n3) porównuje wartość wyrażenia\narytmetycznego zawierającego pierwiastki\nz daną liczbą wymierną oraz znajduje liczby\nwymierne większe lub mniejsze od takiej\nwartości […];\n5) mnoży i dzieli pierwiastki tego samego\nstopnia.\nZasady oceniania\n2 punkty - pełne rozwiązanie\npoprawny sposób wyznaczenia dwóch kolejnych liczb naturalnych, między którymi znajduje\nsię wartość podanego wyrażenia arytmetycznego, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy\nwynik liczbowy (4 oraz 5).\n1 punkt\npoprawny sposób obliczenia liczby 𝑎.\n0 punktów\nrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe rozwiązania ocenione na 2 punkty\nI sposób\nObliczymy wartość liczby 𝑎.\n𝑎= 2√3 ⋅√10\n√6\n= 2√3 ⋅√2 ⋅√5\n√2 ⋅√3\n= 2√5 = √20\nSzukamy dwóch kolejnych liczb naturalnych, takich że jedna jest mniejsza od √20, a druga\njest większa od √20.\n√16 < √20 < √25\n√16 = 4\n√25 = 5\nOdpowiedź: Liczba 𝑎 znajduje się na osi liczbowej między liczbami 4 oraz 5.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nII sposób\nObliczymy wartość liczby 𝑎.\n𝑎= 2√3 ⋅√10\n√6\n= 2√3 ⋅10\n√6\n= 2√30\n√6\n= 2√5\nSzacujemy wartość liczby √5.\n(2,2)2 = 4,84\n(2,3)2 = 5,29\nstąd 2,2 < √5 < 2,3\nWnioskujemy, że:\n4,4 < 2√5 < 4,6\nZatem szukane dwie kolejne liczby naturalne to 4 i 5.\nOdpowiedź: Liczba 𝑎 znajduje się na osi liczbowej między liczbami 4 oraz 5.","solution":"a=frac 2√(3)·√(10) √(6) =frac 2√(30) √(6) =2√(5)\n\nPonieważ 4<2√(5)<5 (bo 16<20<25 ), liczba a leży między 4 i 5 .\n\nOdpowiedź: 4Zadanie 15. (0-2)

","answer_text_html":"

Zadanie 15. (0-2)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Używanie prostych, dobrze znanych
\n

obiektów matematycznych,
interpretowanie pojęć matematycznych
i operowanie obiektami matematycznymi.
KLASY VII i VIII
II. Pierwiastki. Uczeń:

\n
  1. porównuje wartość wyrażenia
\n

arytmetycznego zawierającego pierwiastki
z daną liczbą wymierną oraz znajduje liczby
wymierne większe lub mniejsze od takiej
wartości […];

\n
  1. mnoży i dzieli pierwiastki tego samego
\n

stopnia.
Zasady oceniania
2 punkty - pełne rozwiązanie
poprawny sposób wyznaczenia dwóch kolejnych liczb naturalnych, między którymi znajduje
się wartość podanego wyrażenia arytmetycznego, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy
wynik liczbowy (4 oraz 5).
1 punkt
poprawny sposób obliczenia liczby 𝑎.
0 punktów
rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.
Przykładowe rozwiązania ocenione na 2 punkty
I sposób
Obliczymy wartość liczby 𝑎.
𝑎= 2√3 ⋅√10
√6
= 2√3 ⋅√2 ⋅√5
√2 ⋅√3
= 2√5 = √20
Szukamy dwóch kolejnych liczb naturalnych, takich że jedna jest mniejsza od √20, a druga
jest większa od √20.
√16 < √20 < √25
√16 = 4
√25 = 5
Odpowiedź: Liczba 𝑎 znajduje się na osi liczbowej między liczbami 4 oraz 5.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
II sposób
Obliczymy wartość liczby 𝑎.
𝑎= 2√3 ⋅√10
√6
= 2√3 ⋅10
√6
= 2√30
√6
= 2√5
Szacujemy wartość liczby √5.
(2,2)2 = 4,84
(2,3)2 = 5,29
stąd 2,2 < √5 < 2,3
Wnioskujemy, że:
4,4 < 2√5 < 4,6
Zatem szukane dwie kolejne liczby naturalne to 4 i 5.
Odpowiedź: Liczba 𝑎 znajduje się na osi liczbowej między liczbami 4 oraz 5.

","solutions":[{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

a=frac 2√(3)·√(10) √(6) =frac 2√(30) √(6) =2√(5)

\n

Ponieważ 4<2√(5)<5 (bo 16<20<25 ), liczba a leży między 4 i 5 .

\n

Odpowiedź: 4<a<5

"}]}