{"id":"matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad/19","paper_id":"matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny","number":"19","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2026,"month":"styczen","level":null,"text":"Zadanie 19. (0-3)","answer":"9 , 6 cm","answer_text":"Zadanie 19. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie modelu matematycznego\ndo prostej sytuacji oraz budowanie go\nw różnych kontekstach, także\nw kontekście praktycznym.\nKLASY IV-VI\nIX. Wielokąty koła i okręgi. Uczeń:\n5) zna najważniejsze własności […] rombu\n[…].\nKLASY VII i VIII\nVIII. Własności figur geometrycznych na\npłaszczyźnie. Uczeń:\n7) zna i stosuje w sytuacjach praktycznych\ntwierdzenie Pitagorasa (bez twierdzenia\nodwrotnego).\nIX. Wielokąty. Uczeń:\n2) stosuje wzory na pole […] rombu […].\nZasady oceniania\n3 punkty - pełne rozwiązanie\npoprawny sposób obliczenia wysokości rombu poprowadzonej z wierzchołka 𝐷 na bok 𝐴𝐵,\nprawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik liczbowy (9,6 cm).\n2 punkty\npoprawny sposób obliczenia pola rombu.\n1 punkt\n• poprawny sposób obliczenia połowy długości przekątnej 𝐴𝐶\nLUB\n• ustalenie, np. zapisanie na rysunku połowy długości przekątnej 𝐴𝐶 (8 cm).\n0 punktów\nrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.\nPróbny egzamin ósmoklasisty z matematyki - styczeń 2026 r.\nPrzykładowe rozwiązania ocenione na 3 punkty\nI sposób\nZaznaczymy na rysunku przekątną 𝐴𝐶 i oznaczymy połowę długości tej przekątnej jako 𝑥.\nSkorzystamy z twierdzenia Pitagorasa, aby obliczyć 𝑥:\n62 + 𝑥2 = 102\n𝑥2 = 64\n𝑥= √64\n𝑥= 8 (cm)\nPołowa długości przekątnej 𝐴𝐶 jest równa 8 cm, zatem przekątna 𝐴𝐶 ma długość 16 cm.\nObliczymy pole rombu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Skorzystamy ze wzoru z przekątnymi rombu:\n𝑃= |𝐵𝐷| ⋅|𝐴𝐶|\n2\n𝑃= 12 ⋅16\n2\n= 96 (cm2)\nObliczymy wysokość rombu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Skorzystamy ze wzoru na pole z uwzględnieniem\nwysokości rombu:\n𝑃= 𝑎⋅ℎ\nℎ= 𝑃\n𝑎\nℎ= 96\n10 = 9,6 (cm)\nOdpowiedź: Wysokość rombu 𝐴𝐵𝐶𝐷 poprowadzona z wierzchołka 𝐷 na bok 𝐴𝐵 jest\nrówna 9,6 cm.\nII sposób\nPrzekątna 𝐵𝐷 dzieli romb 𝐴𝐵𝐶𝐷 na dwa trójkąty przystające 𝐴𝐵𝐷 i 𝐵𝐶𝐷.\nZauważymy, że połowa długości przekątnej 𝐴𝐶 rombu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest wysokością opuszczoną\nna bok 𝐵𝐷 trójkąta 𝐴𝐵𝐷 i trójkąta 𝐵𝐶𝐷.\nObliczymy wysokość trójkąta 𝐴𝐵𝐷 (połowę długości przekątnej 𝐴𝐶). Skorzystamy\nz twierdzenia Pitagorasa:\n𝐴\n𝐶\n𝐵\n𝐷\n10 cm\n𝑥\n𝐴\n𝐶\n𝐵\n𝐷\n10 cm\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n62 + (1\n2 |𝐴𝐶|)\n2\n= 102\n(1\n2 |𝐴𝐶|)\n2\n= 64\n1\n2 |𝐴𝐶| = √64\n1\n2 |𝐴𝐶| = 8\nObliczymy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐷:\n𝑃𝐴𝐵𝐷= 1\n2 ⋅1\n2 |𝐴𝐶| ⋅|𝐵𝐷|\n𝑃𝐴𝐵𝐷= 1\n2 ⋅8 ⋅12 = 48 (cm2)\nObliczymy pole rombu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jako sumę pól trójkątów 𝐴𝐵𝐷 i 𝐵𝐶𝐷:\n𝑃𝐴𝐵𝐷= 𝑃𝐵𝐶𝐷\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑃𝐴𝐵𝐷⋅2 = 48 ⋅2 = 96 (cm2)\nObliczymy wysokość rombu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Skorzystamy ze wzoru na pole rombu z uwzględnieniem\nwysokości:\n𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑎⋅ℎ\nℎ= 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷\n𝑎\nℎ= 96\n10 = 9,6 (cm)\nOdpowiedź: Wysokość rombu 𝐴𝐵𝐶𝐷 poprowadzona z wierzchołka 𝐷 na bok 𝐴𝐵 jest\nrówna 9,6 cm.","solution":"Przekątne rombu są prostopadłe i dzielą się na połowy. Połowa przekątnej BD ma 6 cm.\n\nZ twierdzenia Pitagorasa:\n\n((AC)/(2) )^2+6^2=10^2\n\n((AC)/(2) )^2=64\n\n(AC)/(2)=8, AC=16\n\nPole rombu:\n\nP=(12·16)/(2)=96 cm^2\n\nZ drugiej strony P=10h , więc:\n\n10h=96, h=9 , 6 cm\n\nOdpowiedź: 9 , 6 cm","image":"img/matematyka-2026-styczen-egzamin-osmoklasisty-probny/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":"Planimetria","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · styczeń 2026","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty","text_html":"<p>Zadanie 19. (0-3)</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 19. (0-3)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Dobieranie modelu matematycznego</li></ol>\n<p>do prostej sytuacji oraz budowanie go<br>w różnych kontekstach, także<br>w kontekście praktycznym.<br>KLASY IV-VI<br>IX. Wielokąty koła i okręgi. Uczeń:</p>\n<ol><li>zna najważniejsze własności […] rombu</li></ol>\n<p>[…].<br>KLASY VII i VIII<br>VIII. Własności figur geometrycznych na<br>płaszczyźnie. Uczeń:</p>\n<ol><li>zna i stosuje w sytuacjach praktycznych</li></ol>\n<p>twierdzenie Pitagorasa (bez twierdzenia<br>odwrotnego).<br>IX. Wielokąty. Uczeń:</p>\n<ol><li>stosuje wzory na pole […] rombu […].</li></ol>\n<p>Zasady oceniania<br>3 punkty - pełne rozwiązanie<br>poprawny sposób obliczenia wysokości rombu poprowadzonej z wierzchołka 𝐷 na bok 𝐴𝐵,<br>prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik liczbowy (9,6 cm).<br>2 punkty<br>poprawny sposób obliczenia pola rombu.<br>1 punkt<br>• poprawny sposób obliczenia połowy długości przekątnej 𝐴𝐶<br>LUB<br>• ustalenie, np. zapisanie na rysunku połowy długości przekątnej 𝐴𝐶 (8 cm).<br>0 punktów<br>rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.<br>Próbny egzamin ósmoklasisty z matematyki - styczeń 2026 r.<br>Przykładowe rozwiązania ocenione na 3 punkty<br>I sposób<br>Zaznaczymy na rysunku przekątną 𝐴𝐶 i oznaczymy połowę długości tej przekątnej jako 𝑥.<br>Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa, aby obliczyć 𝑥:<br>62 + 𝑥2 = 102<br>𝑥2 = 64<br>𝑥= √64<br>𝑥= 8 (cm)<br>Połowa długości przekątnej 𝐴𝐶 jest równa 8 cm, zatem przekątna 𝐴𝐶 ma długość 16 cm.<br>Obliczymy pole rombu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Skorzystamy ze wzoru z przekątnymi rombu:<br>𝑃= |𝐵𝐷| ⋅|𝐴𝐶|<br>2<br>𝑃= 12 ⋅16<br>2<br>= 96 (cm2)<br>Obliczymy wysokość rombu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Skorzystamy ze wzoru na pole z uwzględnieniem<br>wysokości rombu:<br>𝑃= 𝑎⋅ℎ<br>ℎ= 𝑃<br>𝑎<br>ℎ= 96<br>10 = 9,6 (cm)<br>Odpowiedź: Wysokość rombu 𝐴𝐵𝐶𝐷 poprowadzona z wierzchołka 𝐷 na bok 𝐴𝐵 jest<br>równa 9,6 cm.<br>II sposób<br>Przekątna 𝐵𝐷 dzieli romb 𝐴𝐵𝐶𝐷 na dwa trójkąty przystające 𝐴𝐵𝐷 i 𝐵𝐶𝐷.<br>Zauważymy, że połowa długości przekątnej 𝐴𝐶 rombu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest wysokością opuszczoną<br>na bok 𝐵𝐷 trójkąta 𝐴𝐵𝐷 i trójkąta 𝐵𝐶𝐷.<br>Obliczymy wysokość trójkąta 𝐴𝐵𝐷 (połowę długości przekątnej 𝐴𝐶). Skorzystamy<br>z twierdzenia Pitagorasa:<br>𝐴<br>𝐶<br>𝐵<br>𝐷<br>10 cm<br>𝑥<br>𝐴<br>𝐶<br>𝐵<br>𝐷<br>10 cm<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>62 + (1<br>2 |𝐴𝐶|)<br>2<br>= 102<br>(1<br>2 |𝐴𝐶|)<br>2<br>= 64<br>1<br>2 |𝐴𝐶| = √64<br>1<br>2 |𝐴𝐶| = 8<br>Obliczymy pole trójkąta 𝐴𝐵𝐷:<br>𝑃𝐴𝐵𝐷= 1<br>2 ⋅1<br>2 |𝐴𝐶| ⋅|𝐵𝐷|<br>𝑃𝐴𝐵𝐷= 1<br>2 ⋅8 ⋅12 = 48 (cm2)<br>Obliczymy pole rombu 𝐴𝐵𝐶𝐷 jako sumę pól trójkątów 𝐴𝐵𝐷 i 𝐵𝐶𝐷:<br>𝑃𝐴𝐵𝐷= 𝑃𝐵𝐶𝐷<br>𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑃𝐴𝐵𝐷⋅2 = 48 ⋅2 = 96 (cm2)<br>Obliczymy wysokość rombu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Skorzystamy ze wzoru na pole rombu z uwzględnieniem<br>wysokości:<br>𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷= 𝑎⋅ℎ<br>ℎ= 𝑃𝐴𝐵𝐶𝐷<br>𝑎<br>ℎ= 96<br>10 = 9,6 (cm)<br>Odpowiedź: Wysokość rombu 𝐴𝐵𝐶𝐷 poprowadzona z wierzchołka 𝐷 na bok 𝐴𝐵 jest<br>równa 9,6 cm.</p>","solutions":[{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Przekątne rombu są prostopadłe i dzielą się na połowy. Połowa przekątnej BD ma 6 cm.</p>\n<p>Z twierdzenia Pitagorasa:</p>\n<p>((AC)/(2) )^2+6^2=10^2</p>\n<p>((AC)/(2) )^2=64</p>\n<p>(AC)/(2)=8, AC=16</p>\n<p>Pole rombu:</p>\n<p>P=(12·16)/(2)=96 cm^2</p>\n<p>Z drugiej strony P=10h , więc:</p>\n<p>10h=96, h=9 , 6 cm</p>\n<p>Odpowiedź: 9 , 6 cm</p>"}]}