{"id":"maturazai-matematyka-mma-p1d1p-021/zad/1","paper_id":"maturazai-matematyka-mma-p1d1p-021","number":"1","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Powierzchnia prostokątnej działki budowlanej równa się \\(1540\\) m\\(^{2}\\). Oblicz wymiary tej działki wiedząc, że różnią się one o \\(9\\) m.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: wymiary działki to \\(35\\text{ m}\\) oraz \\(44\\text{ m}\\)\n\n## Sposób 1 - równanie kwadratowe (podstawienie)\n\nNiech krótszy bok działki wynosi \\(x\\) metrów. Skoro boki różnią się o \\(9\\text{ m}\\), dłuższy bok wynosi \\(x + 9\\) metrów.\n\nPole prostokąta to iloczyn boków, więc:\n\\[x(x + 9) = 1540\\]\n\\[x^2 + 9x = 1540\\]\n\\[x^2 + 9x - 1540 = 0\\]\n\nWyznaczamy deltę:\n\\[\\Delta = 9^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-1540) = 81 + 6160 = 6241\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = \\sqrt{6241} = 79\\]\n\nMiejsca zerowe:\n\\[x_1 = \\frac{-9 - 79}{2} = \\frac{-88}{2} = -44 \\quad \\text{(odrzucamy - długość nie może być ujemna)}\\]\n\\[x_2 = \\frac{-9 + 79}{2} = \\frac{70}{2} = 35\\]\n\n**Zatem krótszy bok to \\(35\\text{ m}\\), a dłuższy \\(35 + 9 = 44\\text{ m}\\).**\n\nSprawdzenie: \\(35 \\cdot 44 = 1540\\) ✓, \\(44 - 35 = 9\\) ✓\n\n## Sposób 2 - układ równań z sumą i różnicą\n\nOznaczamy oba boki jako \\(a\\) i \\(b\\). Zapisujemy układ:\n\\[\\begin{cases} a \\cdot b = 1540 \\\\ a - b = 9 \\end{cases}\\]\n\nZ drugiego równania: \\(a = b + 9\\). Podstawiamy do pierwszego:\n\\[(b+9) \\cdot b = 1540\\]\n\nTo ten sam punkt co w Sposobie 1 - dalej identycznie.\n\n**Alternatywnie - sprytny trick przez sumę i różnicę:**\n\nWiemy, że \\(a - b = 9\\). Szukamy \\(a + b\\), bo:\n\\[(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab = 81 + 4 \\cdot 1540 = 81 + 6160 = 6241\\]\n\\[a + b = \\sqrt{6241} = 79\\]\n\nTeraz mamy prosty układ:\n\\[\\begin{cases} a + b = 79 \\\\ a - b = 9 \\end{cases}\\]\n\nDodajemy równania: \\(2a = 88\\), skąd \\(a = 44\\).\n\nOdejmujemy: \\(2b = 70\\), skąd \\(b = 35\\).\n\n**Wymiary działki: \\(35\\text{ m}\\) i \\(44\\text{ m}\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i wzór na miejsca zerowe:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do rozwiązania równania \\(x^2 + 9x - 1540 = 0\\).\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - w Sposobie 2 (trick):\n\\[(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab\\]\n(wynika z \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\) i \\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\))\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie kwadratowe daje dwa rozwiązania: \\(x = 35\\) i \\(x = -44\\). Ujemne odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia - nie zapomnij o tym kroku!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić się przy obliczaniu \\(\\sqrt{6241}\\). Warto sprawdzić: \\(79^2 = (80-1)^2 = 6400 - 160 + 1 = 6241\\) ✓. Na egzaminie możesz to liczyć wolno i spokojnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o **wymiary** (oba boki) - nie wystarczy napisać tylko \\(x = 35\\). Pamiętaj obliczyć też drugi bok: \\(35 + 9 = 44\\text{ m}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź:** wymiary działki to \\(35\\text{ m}\\) oraz \\(44\\text{ m}\\).\n\n### Sposób 1 - Równanie kwadratowe (zmienna = krótszy bok)\nOznaczenia:\n- \\(x\\) - długość krótszego boku działki (w metrach, \\(x > 0\\)),\n- \\(x + 9\\) - długość dłuższego boku.\n\nZ warunku zadania (pole prostokąta):\n\\[x\\cdot(x+9) = 1540\\]\n\\[x^{2} + 9x - 1540 = 0.\\]\n\nObliczamy wyróżnik:\n\\[\\Delta = 9^{2} + 4\\cdot 1540 = 81 + 6160 = 6241, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 79.\\]\n\n\\[x_1 = \\dfrac{-9 - 79}{2} = -44, \\quad x_2 = \\dfrac{-9 + 79}{2} = 35.\\]\n\nPonieważ \\(x > 0\\), odrzucamy \\(x_1 = -44\\). Stąd \\(x = 35\\), a \\(x + 9 = 44\\).\n\n**Sprawdzenie:** \\(35 \\cdot 44 = 1540\\) ✓; różnica \\(44 - 35 = 9\\) ✓.\n\n### Sposób 2 - Układ równań\nNiech \\(a\\) i \\(b\\) - długości boków, \\(a > b > 0\\). Układ:\n\\[\\begin{cases} a\\cdot b = 1540 \\\\ a - b = 9 \\end{cases}\\]\n\nZ drugiego równania: \\(a = b + 9\\). Podstawiamy do pierwszego:\n\\[(b+9)\\cdot b = 1540 \\Rightarrow b^{2} + 9b - 1540 = 0.\\]\n\nDalej jak w sposobie 1 - \\(b = 35\\), \\(a = 44\\).\n\n### Sposób 3 - Rozkład na czynniki (zgadywanie)\nSzukamy pary liczb o iloczynie \\(1540\\) i różnicy \\(9\\):\n\\[1540 = 2^{2}\\cdot 5\\cdot 7\\cdot 11.\\]\nRozpatrujemy pary dzielników: \\(35 \\cdot 44 = 1540\\) i \\(44 - 35 = 9\\) ✓.\n\n### Wniosek dydaktyczny\nPrzy rozwiązywaniu równań kwadratowych opisujących długości zawsze sprawdzamy założenie \\(x > 0\\) - ujemne rozwiązanie nie ma sensu geometrycznego.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Powierzchnia prostokątnej działki budowlanej równa się 1540 m2. Oblicz wymiary tej działki wiedząc, że różnią się one o 9 m.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: wymiary działki to 35 m oraz 44 m

\n

Sposób 1 - równanie kwadratowe (podstawienie)

\n

Niech krótszy bok działki wynosi x metrów. Skoro boki różnią się o 9 m, dłuższy bok wynosi x+9 metrów.

\n

Pole prostokąta to iloczyn boków, więc:

\n
x(x+9)=1540
\n
x2+9x=1540
\n
x2+9x−1540=0
\n

Wyznaczamy deltę:

\n
Δ=92−4·1·(−1540)=81+6160=6241
\n
Δ=6241=79
\n

Miejsca zerowe:

\n
x1=−9−792=−882=−44(odrzucamy - długość nie może być ujemna)
\n
x2=−9+792=702=35
\n

Zatem krótszy bok to 35 m, a dłuższy 35+9=44 m.

\n

Sprawdzenie: 35·44=1540 ✓, 44−35=9 ✓

\n

Sposób 2 - układ równań z sumą i różnicą

\n

Oznaczamy oba boki jako a i b. Zapisujemy układ:

\n
{a·b=1540a−b=9
\n

Z drugiego równania: a=b+9. Podstawiamy do pierwszego:

\n
(b+9)·b=1540
\n

To ten sam punkt co w Sposobie 1 - dalej identycznie.

\n

Alternatywnie - sprytny trick przez sumę i różnicę:

\n

Wiemy, że a−b=9. Szukamy a+b, bo:

\n
(a+b)2=(a−b)2+4ab=81+4·1540=81+6160=6241
\n
a+b=6241=79
\n

Teraz mamy prosty układ:

\n
{a+b=79a−b=9
\n

Dodajemy równania: 2a=88, skąd a=44.

\n

Odejmujemy: 2b=70, skąd b=35.

\n

Wymiary działki: 35 m i 44 m.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wyróżnik i wzór na miejsca zerowe:

\n
Δ=b2−4ac,x1,2=−b±Δ2a
\n

Użyliśmy tego w Sposobie 1 do rozwiązania równania x2+9x−1540=0.

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7) - w Sposobie 2 (trick):

\n
(a+b)2=(a−b)2+4ab
\n

(wynika z (a+b)2=a2+2ab+b2 i (a−b)2=a2−2ab+b2)

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Równanie kwadratowe daje dwa rozwiązania: x=35 i x=−44. Ujemne odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia - nie zapomnij o tym kroku!
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić się przy obliczaniu 6241. Warto sprawdzić: 792=(80−1)2=6400−160+1=6241 ✓. Na egzaminie możesz to liczyć wolno i spokojnie.
\n
⚠️ Uwaga: Zadanie pyta o wymiary (oba boki) - nie wystarczy napisać tylko x=35. Pamiętaj obliczyć też drugi bok: 35+9=44 m.
\n

Poprawna odpowiedź: wymiary działki to 35 m oraz 44 m.

\n
Sposób 1 - Równanie kwadratowe (zmienna = krótszy bok)
\n

Oznaczenia:

\n\n

Z warunku zadania (pole prostokąta):

\n
x·(x+9)=1540
\n
x2+9x−1540=0.
\n

Obliczamy wyróżnik:

\n
Δ=92+4·1540=81+6160=6241,Δ=79.
\n
x1=−9−792=−44,x2=−9+792=35.
\n

Ponieważ x>0, odrzucamy x1=−44. Stąd x=35, a x+9=44.

\n

Sprawdzenie: 35·44=1540 ✓; różnica 44−35=9 ✓.

\n
Sposób 2 - Układ równań
\n

Niech a i b - długości boków, a>b>0. Układ:

\n
{a·b=1540a−b=9
\n

Z drugiego równania: a=b+9. Podstawiamy do pierwszego:

\n
(b+9)·b=1540⇒b2+9b−1540=0.
\n

Dalej jak w sposobie 1 - b=35, a=44.

\n
Sposób 3 - Rozkład na czynniki (zgadywanie)
\n

Szukamy pary liczb o iloczynie 1540 i różnicy 9:

\n
1540=22·5·7·11.
\n

Rozpatrujemy pary dzielników: 35·44=1540 i 44−35=9 ✓.

\n
Wniosek dydaktyczny
\n

Przy rozwiązywaniu równań kwadratowych opisujących długości zawsze sprawdzamy założenie x>0 - ujemne rozwiązanie nie ma sensu geometrycznego.

"}]}