{"id":"maturazai-matematyka-mma-p1d1p-021/zad/10","paper_id":"maturazai-matematyka-mma-p1d1p-021","number":"10","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, podzielne przez \\(6\\) są kolejnymi wyrazami pewnego ciągu rosnącego. a) Zapisz wzór ogólny na \\(n\\)-ty wyraz tego ciągu arytmetycznego. b) Oblicz, ile wyrazów ma ten ciąg. c) Oblicz sumę piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź:\n**a)** \\(a_n = 6n + 6\\)  |  **b)** ciąg ma **15 wyrazów**  |  **c)** \\(S_{15} = 810\\)\n\n## Sposób 1 - bezpośrednie zastosowanie wzorów ciągu arytmetycznego\n\n**Krok 1 - Znajdź pierwszy i ostatni wyraz.**\n\nSzukamy dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez \\(6\\).\n\n- Najmniejsza dwucyfrowa podzielna przez \\(6\\): \\(\\quad 6 \\cdot 2 = 12\\), więc \\(a_1 = 12\\)\n- Największa dwucyfrowa podzielna przez \\(6\\): \\(\\quad 6 \\cdot 16 = 96\\), bo \\(6 \\cdot 17 = 102\\) - już trzycyfrowa, więc ostatni wyraz to \\(96\\)\n\nRóżnica kolejnych wyrazów: \\(18 - 12 = 24 - 18 = 6\\), zatem różnica ciągu \\(r = 6\\).\n\n**a) Wzór ogólny:**\n\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r = 12 + (n-1) \\cdot 6 = 12 + 6n - 6\\]\n\n\\[\\boxed{a_n = 6n + 6}\\]\n\nSprawdzenie: \\(a_1 = 6 \\cdot 1 + 6 = 12\\) ✓,   \\(a_2 = 6 \\cdot 2 + 6 = 18\\) ✓\n\n**b) Liczba wyrazów:**\n\nOstatni wyraz ciągu to \\(96\\). Wyznaczamy \\(n\\):\n\n\\[6n + 6 = 96\\]\n\\[6n = 90\\]\n\\[n = 15\\]\n\n**Ciąg ma 15 wyrazów.**\n\n**c) Suma 15 wyrazów:**\n\n\\[S_{15} = \\frac{a_1 + a_{15}}{2} \\cdot 15 = \\frac{12 + 96}{2} \\cdot 15 = \\frac{108}{2} \\cdot 15 = 54 \\cdot 15\\]\n\n\\[\\boxed{S_{15} = 810}\\]\n\n## Sposób 2 - ciąg jako wielokrotności 6\n\nLiczby dwucyfrowe podzielne przez \\(6\\) to:\n\n\\[6 \\cdot 2, \\quad 6 \\cdot 3, \\quad 6 \\cdot 4, \\quad \\ldots, \\quad 6 \\cdot 16\\]\n\nMnożniki tworzą ciąg \\(2, 3, 4, \\ldots, 16\\) - jest ich \\(16 - 2 + 1 = 15\\). Stąd od razu: **15 wyrazów** ✓\n\nWzór ogólny: \\(n\\)-ty wyraz to \\(6 \\cdot (n+1)\\), czyli:\n\n\\[a_n = 6(n+1) = 6n + 6\\] ✓\n\nSuma pierwszych 15 wyrazów (mnożniki od 2 do 16):\n\n\\[S_{15} = 6 \\cdot (2 + 3 + 4 + \\ldots + 16) = 6 \\cdot \\sum_{k=2}^{16} k = 6 \\cdot \\left(\\frac{16 \\cdot 17}{2} - 1\\right) = 6 \\cdot (136 - 1) = 6 \\cdot 135 = 810\\] ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)**\n\nWzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy w punkcie **a)** do zbudowania wzoru ogólnego.\n\nWzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\nUżyliśmy w punkcie **c)** do obliczenia \\(S_{15}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - przyjęcie \\(a_1 = 6\\) zamiast \\(a_1 = 12\\). Liczba \\(6\\) jest jednocyfrowa, więc **nie należy** do tego ciągu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyznaczaniu ostatniego wyrazu łatwo pomylić się o jeden krok - warto sprawdzić: \\(6 \\cdot 16 = 96\\) (OK, dwucyfrowa), \\(6 \\cdot 17 = 102\\) (trzycyfrowa - za duża).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W punkcie c) pytanie dotyczy **piętnastu początkowych wyrazów** - czyli \\(S_{15}\\). Ponieważ cały ciąg ma dokładnie 15 wyrazów, jest to suma **wszystkich** wyrazów. Nie myl \\(S_{15}\\) z \\(S_{15}\\) licząc od innego miejsca!\n\n**Poprawna odpowiedź:** a) \\(a_n = 6n + 6\\) dla \\(n = 1, 2, \\ldots, 15\\); b) \\(15\\) wyrazów; c) \\(S_{15} = 810\\).\n\n### Sposób 1 - Standardowe wzory ciągu arytmetycznego\n**a) Wzór ogólny.**\nLiczby dwucyfrowe to liczby z przedziału \\([10, 99]\\). Najmniejsza liczba dwucyfrowa podzielna przez \\(6\\): \\(12\\) (bo \\(10 : 6\\) nie jest całkowite, \\(12 : 6 = 2\\)). Stąd \\(a_1 = 12\\).\n\nKażda kolejna liczba podzielna przez \\(6\\) różni się od poprzedniej o \\(6\\), więc różnica ciągu \\(r = 6\\).\n\nWzór ogólny ciągu arytmetycznego: \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\):\n\\[a_n = 12 + (n-1)\\cdot 6 = 12 + 6n - 6 = 6n + 6.\\]\n\n**b) Liczba wyrazów.**\nNajwiększa liczba dwucyfrowa podzielna przez \\(6\\): sprawdzamy \\(99 : 6 = 16{,}5\\), więc największa całkowita wielokrotność \\(6\\) w \\([10, 99]\\) to \\(6\\cdot 16 = 96\\).\n\nZ równania \\(a_n = 96\\):\n\\[6n + 6 = 96 \\Rightarrow 6n = 90 \\Rightarrow n = 15.\\]\n\nCiąg ma \\(15\\) wyrazów.\n\n**c) Suma \\(15\\) początkowych wyrazów.**\nWzór na sumę \\(n\\) początkowych wyrazów:\n\\[S_n = \\dfrac{a_1 + a_n}{2}\\cdot n.\\]\n\\[S_{15} = \\dfrac{12 + 96}{2}\\cdot 15 = \\dfrac{108}{2}\\cdot 15 = 54\\cdot 15 = 810.\\]\n\n### Sposób 2 - Suma wyciągnięciem wspólnego czynnika\nCiąg \\(12, 18, 24, \\ldots, 96\\) można zapisać jako \\(6\\cdot\\{2, 3, 4, \\ldots, 16\\}\\):\n\\[S_{15} = 6\\cdot(2 + 3 + \\ldots + 16) = 6\\cdot\\dfrac{(2+16)\\cdot 15}{2} = 6\\cdot 135 = 810.\\]\n\n### Sposób 3 - Przez sumę pierwszych \\(N\\) liczb naturalnych\n\\[2 + 3 + \\ldots + 16 = \\sum_{k=1}^{16}k - 1 = \\dfrac{16\\cdot 17}{2} - 1 = 136 - 1 = 135.\\]\n\\[S_{15} = 6\\cdot 135 = 810\\] ✓\n\n### Weryfikacja\nSprawdzenie wzoru: \\(a_1 = 6\\cdot 1 + 6 = 12\\) ✓; \\(a_{15} = 6\\cdot 15 + 6 = 96\\) ✓.\nCiąg pełny: \\(12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96\\) - \\(15\\) wyrazów ✓.\n\n### Komentarz dydaktyczny\nPrzy wyszukiwaniu \"najmniejszej / największej liczby podzielnej przez \\(k\\) w przedziale\" zawsze pomaga dzielenie z resztą: dla \\(10 : 6 = 1 r 4\\), najbliższa wielokrotność \\(6\\) powyżej \\(10\\) to \\(10 + (6 - 4) = 12\\). Dla \\(99 : 6 = 16 r 3\\), największa wielokrotność \\(6\\) nie większa niż \\(99\\) to \\(99 - 3 = 96\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, podzielne przez 6 są kolejnymi wyrazami pewnego ciągu rosnącego. a) Zapisz wzór ogólny na n-ty wyraz tego ciągu arytmetycznego. b) Oblicz, ile wyrazów ma ten ciąg. c) Oblicz sumę piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

a) an=6n+6  |  b) ciąg ma 15 wyrazów  |  c) S15=810

\n

Sposób 1 - bezpośrednie zastosowanie wzorów ciągu arytmetycznego

\n

Krok 1 - Znajdź pierwszy i ostatni wyraz.

\n

Szukamy dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 6.

\n\n

Różnica kolejnych wyrazów: 18−12=24−18=6, zatem różnica ciągu r=6.

\n

a) Wzór ogólny:

\n
an=a1+(n−1)·r=12+(n−1)·6=12+6n−6
\n
an=6n+6
\n

Sprawdzenie: a1=6·1+6=12 ✓,   a2=6·2+6=18 ✓

\n

b) Liczba wyrazów:

\n

Ostatni wyraz ciągu to 96. Wyznaczamy n:

\n
6n+6=96
\n
6n=90
\n
n=15
\n

Ciąg ma 15 wyrazów.

\n

c) Suma 15 wyrazów:

\n
S15=a1+a152·15=12+962·15=1082·15=54·15
\n
S15=810
\n

Sposób 2 - ciąg jako wielokrotności 6

\n

Liczby dwucyfrowe podzielne przez 6 to:

\n
6·2,6·3,6·4,…,6·16
\n

Mnożniki tworzą ciąg 2,3,4,…,16 - jest ich 16−2+1=15. Stąd od razu: 15 wyrazów ✓

\n

Wzór ogólny: n-ty wyraz to 6·(n+1), czyli:

\n

an=6(n+1)=6n+6 ✓

\n

Suma pierwszych 15 wyrazów (mnożniki od 2 do 16):

\n

S15=6·(2+3+4+…+16)=6·∑k=216k=6·(16·172−1)=6·(136−1)=6·135=810 ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)

\n

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

\n
an=a1+(n−1)r
\n

Użyliśmy w punkcie a) do zbudowania wzoru ogólnego.

\n

Wzór na sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego:

\n
Sn=a1+an2·n
\n

Użyliśmy w punkcie c) do obliczenia S15.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd - przyjęcie a1=6 zamiast a1=12. Liczba 6 jest jednocyfrowa, więc nie należy do tego ciągu!
\n
⚠️ Uwaga: Przy wyznaczaniu ostatniego wyrazu łatwo pomylić się o jeden krok - warto sprawdzić: 6·16=96 (OK, dwucyfrowa), 6·17=102 (trzycyfrowa - za duża).
\n
⚠️ Uwaga: W punkcie c) pytanie dotyczy piętnastu początkowych wyrazów - czyli S15. Ponieważ cały ciąg ma dokładnie 15 wyrazów, jest to suma wszystkich wyrazów. Nie myl S15 z S15 licząc od innego miejsca!
\n

Poprawna odpowiedź: a) an=6n+6 dla n=1,2,…,15; b) 15 wyrazów; c) S15=810.

\n
Sposób 1 - Standardowe wzory ciągu arytmetycznego
\n

a) Wzór ogólny.
Liczby dwucyfrowe to liczby z przedziału [10,99]. Najmniejsza liczba dwucyfrowa podzielna przez 6: 12 (bo 10:6 nie jest całkowite, 12:6=2). Stąd a1=12.

\n

Każda kolejna liczba podzielna przez 6 różni się od poprzedniej o 6, więc różnica ciągu r=6.

\n

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego: an=a1+(n−1)r:

\n
an=12+(n−1)·6=12+6n−6=6n+6.
\n

b) Liczba wyrazów.
Największa liczba dwucyfrowa podzielna przez 6: sprawdzamy 99:6=16,5, więc największa całkowita wielokrotność 6 w [10,99] to 6·16=96.

\n

Z równania an=96:

\n
6n+6=96⇒6n=90⇒n=15.
\n

Ciąg ma 15 wyrazów.

\n

c) Suma 15 początkowych wyrazów.
Wzór na sumę n początkowych wyrazów:

\n
Sn=a1+an2·n.
\n
S15=12+962·15=1082·15=54·15=810.
\n
Sposób 2 - Suma wyciągnięciem wspólnego czynnika
\n

Ciąg 12,18,24,…,96 można zapisać jako 6·{2,3,4,…,16}:

\n
S15=6·(2+3+…+16)=6·(2+16)·152=6·135=810.
\n
Sposób 3 - Przez sumę pierwszych N liczb naturalnych
\n
2+3+…+16=∑k=116k−1=16·172−1=136−1=135.
\n

S15=6·135=810 ✓

\n
Weryfikacja
\n

Sprawdzenie wzoru: a1=6·1+6=12 ✓; a15=6·15+6=96 ✓.
Ciąg pełny: 12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,78,84,90,96 - 15 wyrazów ✓.

\n
Komentarz dydaktyczny
\n

Przy wyszukiwaniu "najmniejszej / największej liczby podzielnej przez k w przedziale" zawsze pomaga dzielenie z resztą: dla 10:6=1r4, najbliższa wielokrotność 6 powyżej 10 to 10+(6−4)=12. Dla 99:6=16r3, największa wielokrotność 6 nie większa niż 99 to 99−3=96.

"}]}