{"id":"maturazai-matematyka-mma-p1d1p-021/zad/2","paper_id":"maturazai-matematyka-mma-p1d1p-021","number":"2","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Na wspólne konto państwa Kowalskich wpływają pieniądze z ich dwóch pensji miesięcznych, razem jest to kwota \\(3200\\) złotych. Na początku każdego miesiąca małżonkowie dzielą całość tej kwoty. Na diagramie kołowym przedstawiono strukturę planowanych, przez państwa Kowalskich, miesięcznych wydatków. Korzystając z tych danych: a) Oblicz, ile procent danej kwoty stanowią miesięczne wydatki państwa Kowalskich na wyżywienie. b) Oblicz, ile pieniędzy wydają państwo Kowalscy w ciągu miesiąca łącznie, na gaz i energię oraz czynsz.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**a)** Wyżywienie stanowi \\(56{,}5\\%\\) miesięcznej kwoty.\n**b)** Na gaz i energię oraz czynsz łącznie: \\(\\mathbf{848}\\) **zł**.\n\n## Sposób 1 - obliczenia procentowe krok po kroku\n\n### Część a) - procent na wyżywienie\n\n**Krok 1: Zamień czynsz (w złotówkach) na procenty.**\n\nCzynsz wynosi \\(400\\) zł, a całość kwoty to \\(3200\\) zł:\n\\[\\text{czynsz \\%} = \\frac{400}{3200} \\cdot 100\\% = \\frac{1}{8} \\cdot 100\\% = 12{,}5\\%\\]\n\n**Krok 2: Zsumuj wszystkie znane wydatki procentowe.**\n\\[5\\% + 12\\% + 14\\% + 12{,}5\\% = 43{,}5\\%\\]\n\n**Krok 3: Wyżywienie to reszta do 100%.**\n\\[\\text{wyżywienie} = 100\\% - 43{,}5\\% = \\mathbf{56{,}5\\%}\\]\n\n### Część b) - łączna kwota na gaz, energię i czynsz\n\n**Krok 1: Oblicz kwotę na gaz i energię (14% z 3200 zł).**\n\\[0{,}14 \\cdot 3200 = 448 \\text{ zł}\\]\n\n**Krok 2: Dodaj czynsz.**\n\\[448 + 400 = \\mathbf{848 \\text{ zł}}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez proporcję\n\n**Sprawdzenie części a):**\n\nJeśli wyżywienie to \\(56{,}5\\%\\), to kwota na wyżywienie wynosi:\n\\[0{,}565 \\cdot 3200 = 1808 \\text{ zł}\\]\n\nSprawdźmy, czy wszystkie wydatki sumują się do \\(3200\\) zł:\n\n| Kategoria | Procent | Kwota |\n| Wyżywienie | \\(56{,}5\\%\\) | \\(1808\\) zł |\n| Ubrania | \\(12\\%\\) | \\(384\\) zł |\n| Gaz i energia | \\(14\\%\\) | \\(448\\) zł |\n| Czynsz | \\(12{,}5\\%\\) | \\(400\\) zł |\n| Inne | \\(5\\%\\) | \\(160\\) zł |\n| **Suma** | **\\(100\\%\\)** | **\\(3200\\) zł** ✓ |\n\nWynik się zgadza - weryfikacja potwierdza poprawność.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe działania procentowe (definicja procentu jako \\(\\frac{część}{całość} \\cdot 100\\%\\)) oraz prosta arytmetyka. Karty wzorów CKE nie ma potrzeby otwierać.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Czynsz jest podany w złotówkach, nie w procentach - trzeba go **najpierw przeliczyć na procenty** przed odejmowaniem od 100%. Bardzo częsty błąd to pominięcie tego kroku i odjęcie samego \\(400\\) od \\(100\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W części b) pytanie dotyczy **łącznie** gazu i czynszu. Uczniowie czasem obliczają tylko jedną pozycję (zazwyczaj gaz i energię jako \\(14\\%\\)) i zapominają dodać czynsz, który był podany wprost w złotówkach.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(14\\%\\) z \\(3200\\) zł łatwo o błąd dziesiętny - pamiętaj, że \\(14\\% = 0{,}14\\), a nie \\(1{,}4\\).\n\n**Poprawna odpowiedź:** a) \\(56{,}5\\%\\); b) \\(848\\) zł.\n\n### Sposób 1 - Krok po kroku z procentów\n**Krok 1. Procent kwoty przeznaczonej na czynsz.**\nCzynsz wynosi \\(400\\) zł z \\(3200\\) zł:\n\\[\\dfrac{400}{3200}\\cdot 100\\% = \\dfrac{1}{8}\\cdot 100\\% = 12{,}5\\%.\\]\n\n**Krok 2. Procent na wyżywienie.**\nSuma wszystkich kategorii musi dać \\(100\\%\\):\n\\[\\text{wyżywienie} = 100\\% - (5\\% + 12\\% + 14\\% + 12{,}5\\%) = 100\\% - 43{,}5\\% = 56{,}5\\%.\\]\n\n**Krok 3. Kwota na gaz i energię.**\n\\[14\\%\\text{ z }3200 = 0{,}14\\cdot 3200 = 448\\text{ zł}.\\]\n\n**Krok 4. Łącznie gaz + energia + czynsz:**\n\\[448 + 400 = 848\\text{ zł}.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez sumę procentów\nŁączny procent na gaz, energię i czynsz:\n\\[14\\% + 12{,}5\\% = 26{,}5\\%.\\]\n\\[26{,}5\\%\\text{ z }3200 = 0{,}265\\cdot 3200 = 848\\text{ zł}.\\] ✓\n\n### Weryfikacja\n\\[\\text{inne}(5\\%) + \\text{ubrania}(12\\%) + \\text{gaz}(14\\%) + \\text{czynsz}(12{,}5\\%) + \\text{wyżywienie}(56{,}5\\%) = 100\\%.\\]\n\nW złotych:\n\\[160 + 384 + 448 + 400 + 1808 = 3200\\text{ zł} ✓.\\]\n\n### Komentarz dydaktyczny\nPrzy diagramach kołowych z mieszaną notacją (procenty + kwota) zawsze warto zamienić wszystkie dane na jedną jednostkę (procenty lub złote) - łatwiej sprawdzić spójność.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Na wspólne konto państwa Kowalskich wpływają pieniądze z ich dwóch pensji miesięcznych, razem jest to kwota 3200 złotych. Na początku każdego miesiąca małżonkowie dzielą całość tej kwoty. Na diagramie kołowym przedstawiono strukturę planowanych, przez państwa Kowalskich, miesięcznych wydatków. Korzystając z tych danych: a) Oblicz, ile procent danej kwoty stanowią miesięczne wydatki państwa Kowalskich na wyżywienie. b) Oblicz, ile pieniędzy wydają państwo Kowalscy w ciągu miesiąca łącznie, na gaz i energię oraz czynsz.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

a) Wyżywienie stanowi 56,5% miesięcznej kwoty.
b) Na gaz i energię oraz czynsz łącznie: 848 zł.

\n

Sposób 1 - obliczenia procentowe krok po kroku

\n
Część a) - procent na wyżywienie
\n

Krok 1: Zamień czynsz (w złotówkach) na procenty.

\n

Czynsz wynosi 400 zł, a całość kwoty to 3200 zł:

\n
czynsz \\%=4003200·100%=18·100%=12,5%
\n

Krok 2: Zsumuj wszystkie znane wydatki procentowe.

\n
5%+12%+14%+12,5%=43,5%
\n

Krok 3: Wyżywienie to reszta do 100%.

\n
wyżywienie=100%−43,5%=56,5%
\n
Część b) - łączna kwota na gaz, energię i czynsz
\n

Krok 1: Oblicz kwotę na gaz i energię (14% z 3200 zł).

\n
0,14·3200=448 zł
\n

Krok 2: Dodaj czynsz.

\n
448+400=848 zł
\n

Sposób 2 - weryfikacja przez proporcję

\n

Sprawdzenie części a):

\n

Jeśli wyżywienie to 56,5%, to kwota na wyżywienie wynosi:

\n
0,565·3200=1808 zł
\n

Sprawdźmy, czy wszystkie wydatki sumują się do 3200 zł:

\n

| Kategoria | Procent | Kwota |
| Wyżywienie | 56,5% | 1808 zł |
| Ubrania | 12% | 384 zł |
| Gaz i energia | 14% | 448 zł |
| Czynsz | 12,5% | 400 zł |
| Inne | 5% | 160 zł |
| Suma | 100% | 3200 zł ✓ |

\n

Wynik się zgadza - weryfikacja potwierdza poprawność.

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe działania procentowe (definicja procentu jako częśćcałość·100%) oraz prosta arytmetyka. Karty wzorów CKE nie ma potrzeby otwierać.

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Czynsz jest podany w złotówkach, nie w procentach - trzeba go najpierw przeliczyć na procenty przed odejmowaniem od 100%. Bardzo częsty błąd to pominięcie tego kroku i odjęcie samego 400 od 100.
\n
⚠️ Uwaga: W części b) pytanie dotyczy łącznie gazu i czynszu. Uczniowie czasem obliczają tylko jedną pozycję (zazwyczaj gaz i energię jako 14%) i zapominają dodać czynsz, który był podany wprost w złotówkach.
\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu 14% z 3200 zł łatwo o błąd dziesiętny - pamiętaj, że 14%=0,14, a nie 1,4.
\n

Poprawna odpowiedź: a) 56,5%; b) 848 zł.

\n
Sposób 1 - Krok po kroku z procentów
\n

Krok 1. Procent kwoty przeznaczonej na czynsz.
Czynsz wynosi 400 zł z 3200 zł:

\n
4003200·100%=18·100%=12,5%.
\n

Krok 2. Procent na wyżywienie.
Suma wszystkich kategorii musi dać 100%:

\n
wyżywienie=100%−(5%+12%+14%+12,5%)=100%−43,5%=56,5%.
\n

Krok 3. Kwota na gaz i energię.

\n
14% z 3200=0,14·3200=448 zł.
\n

Krok 4. Łącznie gaz + energia + czynsz:

\n
448+400=848 zł.
\n
Sposób 2 - Przez sumę procentów
\n

Łączny procent na gaz, energię i czynsz:

\n
14%+12,5%=26,5%.
\n

26,5% z 3200=0,265·3200=848 zł. ✓

\n
Weryfikacja
\n
inne(5%)+ubrania(12%)+gaz(14%)+czynsz(12,5%)+wyżywienie(56,5%)=100%.
\n

W złotych:

\n
160+384+448+400+1808=3200 zł✓.
\n
Komentarz dydaktyczny
\n

Przy diagramach kołowych z mieszaną notacją (procenty + kwota) zawsze warto zamienić wszystkie dane na jedną jednostkę (procenty lub złote) - łatwiej sprawdzić spójność.

"}]}