{"id":"maturazai-matematyka-mma-p1d1p-021/zad/3","paper_id":"maturazai-matematyka-mma-p1d1p-021","number":"3","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Upraszczając pierwiastek kwadratowy z liczby \\(27+10\\sqrt{2}\\), zapiszemy ją w postaci kwadratu sumy dwóch liczb. Postępujemy następująco: \\[\\sqrt{27+10\\sqrt{2}} = \\sqrt{25+10\\sqrt{2}+2} = \\sqrt{(5)^{2}+2\\cdot 5\\cdot \\sqrt{2}+(\\sqrt{2})^{2}} = \\sqrt{(5+\\sqrt{2})^{2}} = 5+\\sqrt{2}\\] Przeanalizuj ten przykład, a następnie, stosując analogiczne postępowanie, uprość \\(\\sqrt{11+6\\sqrt{2}}\\).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(3 + \\sqrt{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Rozpoznanie kwadratu sumy (analogicznie do przykładu)\n\n**Kluczowe pytanie:** Czy możemy napisać \\(11 + 6\\sqrt{2}\\) jako \\(a^2 + 2ab + b^2\\) dla jakichś liczb \\(a\\) i \\(b\\)?\n\nZe wzoru skróconego mnożenia wiemy, że:\n\\[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]\n\n**Szukamy \\(a\\) i \\(b\\) takich, że:**\n\\[a^2 + 2ab + b^2 = 11 + 6\\sqrt{2}\\]\n\n**Obserwacja:** Składnik \\(6\\sqrt{2}\\) to część \"środkowa\" \\(2ab\\). Spróbujmy \\(b = \\sqrt{2}\\) (bo pod pierwiastkiem jest \\(\\sqrt{2}\\)):\n\n\\[2ab = 6\\sqrt{2} \\implies 2a \\cdot \\sqrt{2} = 6\\sqrt{2} \\implies a = 3\\]\n\n**Sprawdzenie:** \\(a^2 + b^2 = 9 + 2 = 11\\) ✓ - zgadza się z wyrazem wolnym!\n\n**Przepisujemy i upraszczamy:**\n\\[\\sqrt{11 + 6\\sqrt{2}} = \\sqrt{9 + 6\\sqrt{2} + 2}\\]\n\\[= \\sqrt{3^2 + 2 \\cdot 3 \\cdot \\sqrt{2} + (\\sqrt{2})^2}\\]\n\\[= \\sqrt{(3 + \\sqrt{2})^2}\\]\n\\[= 3 + \\sqrt{2}\\]\n\n(ostatni krok: \\(\\sqrt{x^2} = |x|\\), ale \\(3 + \\sqrt{2} > 0\\), więc \\(|3 + \\sqrt{2}| = 3 + \\sqrt{2}\\))\n\n**Wynik: \\(\\sqrt{11 + 6\\sqrt{2}} = 3 + \\sqrt{2}\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podniesienie do kwadratu\n\nZamiast szukać - **sprawdzamy**, czy wynik jest poprawny.\n\nJeśli \\(\\sqrt{11 + 6\\sqrt{2}} = 3 + \\sqrt{2}\\), to po podniesieniu obu stron do kwadratu powinniśmy dostać \\(11 + 6\\sqrt{2}\\).\n\n\\[(3 + \\sqrt{2})^2 = 3^2 + 2 \\cdot 3 \\cdot \\sqrt{2} + (\\sqrt{2})^2\\]\n\\[= 9 + 6\\sqrt{2} + 2\\]\n\\[= 11 + 6\\sqrt{2} \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza. Ponieważ \\(3 + \\sqrt{2} > 0\\), mamy pewność, że to jest dokładnie ta nieujemna wartość, której szukamy.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - wzór na kwadrat sumy:\n\\[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy go w obie strony: raz rozkładając \\(11 + 6\\sqrt{2}\\) na pełny kwadrat, a raz weryfikując wynik.\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - własność:\n\\[\\sqrt{a^2} = |a|\\]\nUżyta w ostatnim kroku, gdy wyciągaliśmy wyrażenie spod pierwiastka. Ponieważ \\(a = 3 + \\sqrt{2} > 0\\), wartość bezwzględna znika.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{A + B} \\neq \\sqrt{A} + \\sqrt{B}\\) - to bardzo częsty błąd! Nie można \"rozdzielić\" pierwiastka po dodawaniu. Dlatego właśnie szukamy kwadratu sumy zamiast liczyć \\(\\sqrt{11} + \\sqrt{6\\sqrt{2}}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy szukaniu \\(a\\) i \\(b\\) nie ma jednej \"mechanicznej\" procedury - trzeba spojrzeć na składnik z \\(\\sqrt{2}\\) i **domyślić się** podziału. Klucz: część niewymierna (tu \\(6\\sqrt{2}\\)) musi być dokładnie \"środkowym wyrazem\" \\(2ab\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Na końcu korzystamy z \\(\\sqrt{x^2} = |x|\\), a nie \\(\\sqrt{x^2} = x\\). W tym zadaniu wynik jest dodatni, ale w ogólności zawsze warto sprawdzić znak!\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(\\sqrt{11 + 6\\sqrt{2}} = 3 + \\sqrt{2}\\).\n\n### Sposób 1 - Analogicznie do podanego wzoru\nChcemy zapisać wyrażenie pod pierwiastkiem w postaci \\((a + b\\sqrt{2})^{2}\\), gdzie \\(a, b\\) - liczby całkowite.\n\nZauważamy, że \\(11 = 9 + 2\\), więc:\n\\[\\sqrt{11 + 6\\sqrt{2}} = \\sqrt{9 + 6\\sqrt{2} + 2}.\\]\n\nDalej rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia \\((a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}\\), biorąc \\(a = 3\\) oraz \\(b = \\sqrt{2}\\):\n\\[9 + 6\\sqrt{2} + 2 = 3^{2} + 2\\cdot 3\\cdot\\sqrt{2} + (\\sqrt{2})^{2} = (3 + \\sqrt{2})^{2}.\\]\n\nZatem:\n\\[\\sqrt{11 + 6\\sqrt{2}} = \\sqrt{(3 + \\sqrt{2})^{2}} = \\big|3 + \\sqrt{2}\\big| = 3 + \\sqrt{2}\\]\n(ponieważ \\(3 + \\sqrt{2} > 0\\)).\n\n### Sposób 2 - Metoda nieoznaczonych współczynników\nZakładamy, że \\(\\sqrt{11 + 6\\sqrt{2}} = a + b\\sqrt{2}\\) dla pewnych \\(a, b \\in \\mathbb{R}\\), \\(a + b\\sqrt{2} > 0\\). Podnosimy do kwadratu:\n\\[11 + 6\\sqrt{2} = a^{2} + 2b^{2} + 2ab\\sqrt{2}.\\]\n\nPorównujemy części wymierną i niewymierną:\n\\[\\begin{cases} a^{2} + 2b^{2} = 11 \\\\ 2ab = 6 \\end{cases}\\]\n\nZ drugiego równania \\(ab = 3\\), więc \\(b = \\dfrac{3}{a}\\). Podstawiamy:\n\\[a^{2} + 2\\cdot\\dfrac{9}{a^{2}} = 11 \\quad |\\cdot a^{2}\\]\n\\[a^{4} - 11a^{2} + 18 = 0.\\]\n\nPodstawienie \\(t = a^{2} \\ge 0\\): \\(t^{2} - 11t + 18 = 0\\); \\(\\Delta = 121 - 72 = 49\\); \\(t = \\dfrac{11 \\pm 7}{2}\\), czyli \\(t = 9\\) lub \\(t = 2\\).\n\nDla \\(a^{2} = 9\\): \\(a = 3\\), \\(b = 1\\) → \\(a + b\\sqrt{2} = 3 + \\sqrt{2}\\).\nDla \\(a^{2} = 2\\): \\(a = \\sqrt{2}\\), \\(b = \\dfrac{3}{\\sqrt{2}} = \\dfrac{3\\sqrt{2}}{2}\\) → \\(\\sqrt{2} + 3 = 3 + \\sqrt{2}\\) (to samo).\n\n### Weryfikacja\n\\[(3 + \\sqrt{2})^{2} = 9 + 6\\sqrt{2} + 2 = 11 + 6\\sqrt{2}\\] ✓\n\n### Komentarz dydaktyczny\nRozkładanie \\(\\sqrt{a + b\\sqrt{c}}\\) do postaci \\(x + y\\sqrt{c}\\) jest możliwe, gdy \\(\\sqrt{a^{2} - b^{2}c}\\) jest liczbą wymierną. Tutaj: \\(\\sqrt{11^{2} - 6^{2}\\cdot 2} = \\sqrt{121 - 72} = \\sqrt{49} = 7 \\in \\mathbb{Q}\\) ✓.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Upraszczając pierwiastek kwadratowy z liczby 27+102, zapiszemy ją w postaci kwadratu sumy dwóch liczb. Postępujemy następująco: 27+102=25+102+2=(5)2+2·5·2+(2)2=(5+2)2=5+2 Przeanalizuj ten przykład, a następnie, stosując analogiczne postępowanie, uprość 11+62.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: 3+2

\n

Sposób 1 - Rozpoznanie kwadratu sumy (analogicznie do przykładu)

\n

Kluczowe pytanie: Czy możemy napisać 11+62 jako a2+2ab+b2 dla jakichś liczb a i b?

\n

Ze wzoru skróconego mnożenia wiemy, że:

\n
(a+b)2=a2+2ab+b2
\n

Szukamy a i b takich, że:

\n
a2+2ab+b2=11+62
\n

Obserwacja: Składnik 62 to część "środkowa" 2ab. Spróbujmy b=2 (bo pod pierwiastkiem jest 2):

\n
2ab=62⟹2a·2=62⟹a=3
\n

Sprawdzenie: a2+b2=9+2=11 ✓ - zgadza się z wyrazem wolnym!

\n

Przepisujemy i upraszczamy:

\n
11+62=9+62+2
\n
=32+2·3·2+(2)2
\n
=(3+2)2
\n
=3+2
\n

(ostatni krok: x2=|x|, ale 3+2>0, więc |3+2|=3+2)

\n

Wynik: 11+62=3+2

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez podniesienie do kwadratu

\n

Zamiast szukać - sprawdzamy, czy wynik jest poprawny.

\n

Jeśli 11+62=3+2, to po podniesieniu obu stron do kwadratu powinniśmy dostać 11+62.

\n
(3+2)2=32+2·3·2+(2)2
\n
=9+62+2
\n
=11+62✓
\n

Wynik się zgadza. Ponieważ 3+2>0, mamy pewność, że to jest dokładnie ta nieujemna wartość, której szukamy.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7) - wzór na kwadrat sumy:

\n
(a+b)2=a2+2ab+b2
\n

Użyliśmy go w obie strony: raz rozkładając 11+62 na pełny kwadrat, a raz weryfikując wynik.

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5) - własność:

\n
a2=|a|
\n

Użyta w ostatnim kroku, gdy wyciągaliśmy wyrażenie spod pierwiastka. Ponieważ a=3+2>0, wartość bezwzględna znika.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: A+B≠A+B - to bardzo częsty błąd! Nie można "rozdzielić" pierwiastka po dodawaniu. Dlatego właśnie szukamy kwadratu sumy zamiast liczyć 11+62.
\n
⚠️ Uwaga: Przy szukaniu a i b nie ma jednej "mechanicznej" procedury - trzeba spojrzeć na składnik z 2 i domyślić się podziału. Klucz: część niewymierna (tu 62) musi być dokładnie "środkowym wyrazem" 2ab.
\n
⚠️ Uwaga: Na końcu korzystamy z x2=|x|, a nie x2=x. W tym zadaniu wynik jest dodatni, ale w ogólności zawsze warto sprawdzić znak!
\n

Poprawna odpowiedź: 11+62=3+2.

\n
Sposób 1 - Analogicznie do podanego wzoru
\n

Chcemy zapisać wyrażenie pod pierwiastkiem w postaci (a+b2)2, gdzie a,b - liczby całkowite.

\n

Zauważamy, że 11=9+2, więc:

\n
11+62=9+62+2.
\n

Dalej rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia (a+b)2=a2+2ab+b2, biorąc a=3 oraz b=2:

\n
9+62+2=32+2·3·2+(2)2=(3+2)2.
\n

Zatem:

\n
11+62=(3+2)2=|3+2|=3+2
\n

(ponieważ 3+2>0).

\n
Sposób 2 - Metoda nieoznaczonych współczynników
\n

Zakładamy, że 11+62=a+b2 dla pewnych a,b∈ℝ, a+b2>0. Podnosimy do kwadratu:

\n
11+62=a2+2b2+2ab2.
\n

Porównujemy części wymierną i niewymierną:

\n
{a2+2b2=112ab=6
\n

Z drugiego równania ab=3, więc b=3a. Podstawiamy:

\n
a2+2·9a2=11|·a2
\n
a4−11a2+18=0.
\n

Podstawienie t=a2≥0: t2−11t+18=0; Δ=121−72=49; t=11±72, czyli t=9 lub t=2.

\n

Dla a2=9: a=3, b=1 → a+b2=3+2.
Dla a2=2: a=2, b=32=322 → 2+3=3+2 (to samo).

\n
Weryfikacja
\n

(3+2)2=9+62+2=11+62 ✓

\n
Komentarz dydaktyczny
\n

Rozkładanie a+bc do postaci x+yc jest możliwe, gdy a2−b2c jest liczbą wymierną. Tutaj: 112−62·2=121−72=49=7∈ℚ ✓.

"}]}