{"id":"maturazai-matematyka-mma-p1d1p-021/zad/4","paper_id":"maturazai-matematyka-mma-p1d1p-021","number":"4","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Równanie postaci \\(C=\\frac{5}{9}\\cdot F - \\frac{160}{9}\\), ustala zależność między temperaturą, wyrażoną w stopniach Celsjusza \\((C)\\) oraz Fahrenheita \\((F)\\). a) Oblicz, ile stopni w skali Fahrenheita, ma wrząca w temperaturze \\(100^{\\circ}C\\) woda. b) Wyznacz taką temperaturę, przy której liczba stopni w skali Celsjusza jest równa liczbie stopni w skali Fahrenheita.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**a)** Woda wrząca w \\(100°\\text{C}\\) ma temperaturę \\(F = 212°\\text{F}\\)\n\n**b)** Temperatura, przy której obie skale wskazują tę samą wartość liczbową: \\(C = F = -40°\\)\n\n## Sposób 1 - podstawienie i rozwiązanie równania\n\n### Część a)\n\nMamy wzór:\n\\[C = \\frac{5}{9} \\cdot F - \\frac{160}{9}\\]\n\nPodstawiamy \\(C = 100\\) i szukamy \\(F\\):\n\\[100 = \\frac{5}{9} \\cdot F - \\frac{160}{9}\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(9\\), żeby pozbyć się mianowników:\n\\[900 = 5F - 160\\]\n\nPrzenosimy \\(-160\\) na lewą stronę:\n\\[900 + 160 = 5F\\]\n\\[1060 = 5F\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(5\\):\n\\[F = \\frac{1060}{5} = 212\\]\n\n**Woda wrząca ma temperaturę \\(212°\\text{F}\\).**\n\n### Część b)\n\nSzukamy temperatury, przy której liczba stopni Celsjusza **równa się** liczbie stopni Fahrenheita, czyli \\(C = F\\).\n\nPodstawiamy \\(F = C\\) do wzoru:\n\\[C = \\frac{5}{9} \\cdot C - \\frac{160}{9}\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(9\\):\n\\[9C = 5C - 160\\]\n\nPrzenosimy \\(5C\\) na lewą stronę:\n\\[9C - 5C = -160\\]\n\\[4C = -160\\]\n\\[C = -40\\]\n\nPonieważ przyjęliśmy \\(F = C\\), mamy \\(F = -40\\).\n\n**W temperaturze \\(-40°\\) obie skale wskazują tę samą wartość liczbową.**\n\n## Sposób 2 - wyznaczenie wzoru odwrotnego (F w zależności od C)\n\n### Część a) - wzór odwrotny\n\nPrzekształcamy wzór \\(C = \\frac{5}{9} \\cdot F - \\frac{160}{9}\\), żeby wyrazić \\(F\\) przez \\(C\\):\n\n\\[C + \\frac{160}{9} = \\frac{5}{9} \\cdot F\\]\n\\[F = \\frac{9}{5} \\cdot C + \\frac{160}{5}\\]\n\\[F = \\frac{9}{5} \\cdot C + 32\\]\n\nTo klasyczny wzór znany z fizyki. Podstawiamy \\(C = 100\\):\n\n\\[F = \\frac{9}{5} \\cdot 100 + 32 = 180 + 32 = 212\\]\n\n**Wynik taki sam: \\(F = 212°\\text{F}\\).** ✓\n\n### Część b) - weryfikacja graficzna (intuicja)\n\nRównanie \\(C = F\\) to prosta \\(y = x\\) na płaszczyźnie \\((F, C)\\).\n\nWzór \\(C = \\frac{5}{9}F - \\frac{160}{9}\\) to prosta o nachyleniu \\(\\frac{5}{9}\\) i wyrazie wolnym \\(-\\frac{160}{9} \\approx -17{,}8\\).\n\nSzukamy przecięcia tych dwóch prostych. Ich przecięcie to punkt \\((-40, -40)\\), co zgadza się z Częścią b) Sposobu 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe działania algebraiczne (mnożenie przez mianownik, przenoszenie wyrazów).\n\nMożemy jednak wskazać, że zadanie opiera się na:\n- **Rozwiązywaniu równania liniowego** jednej niewiadomej (działania jak przy prostej \\(y = ax + b\\) z Działu 11, s. 22)\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W części a) łatwo zapomnieć pomnożyć **obie** strony równania przez \\(9\\). Jeśli pomnożysz tylko prawą stronę - popełnisz błąd i otrzymasz złą wartość \\(F\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W części b) kluczowe jest poprawne ustawienie warunku: \\(C = F\\). Uczniowie często mylnie piszą \\(C = -F\\) lub próbują przyrównać coś innego. Warunek brzmi dosłownie: **ta sama liczba w obu skalach**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(-40°\\) jest ujemny - to poprawna odpowiedź, nie błąd! Intuicja podpowiada, że takie przecięcie skal musi być w niskich temperaturach (skala Fahrenheita rośnie wolniej niż Celsjusza), więc wynik ujemny ma pełny sens fizyczny.\n\n**Poprawna odpowiedź:** a) \\(F = 212^{\\circ}\\mathrm{F}\\); b) \\(C = F = -40^{\\circ}\\).\n\n### Sposób 1 - Bezpośrednie podstawienie\n**a) Podstawienie \\(C = 100\\):**\n\\[100 = \\dfrac{5}{9}\\cdot F - \\dfrac{160}{9} \\quad |\\cdot 9\\]\n\\[900 = 5F - 160\\]\n\\[5F = 1060\\]\n\\[F = 212.\\]\n\nStąd woda wrze przy \\(F = 212^{\\circ}\\mathrm{F}\\).\n\n**b) Warunek \\(C = F\\).**\nPodstawiamy \\(C = F\\) do równania:\n\\[F = \\dfrac{5}{9}\\cdot F - \\dfrac{160}{9} \\quad |\\cdot 9\\]\n\\[9F = 5F - 160\\]\n\\[4F = -160\\]\n\\[F = -40.\\]\n\nZatem \\(C = F = -40^{\\circ}\\).\n\n### Sposób 2 - Wyznaczenie \\(F\\) z równania (odwrócenie funkcji)\nZ równania \\(C = \\dfrac{5}{9}F - \\dfrac{160}{9}\\) wyznaczamy \\(F\\):\n\\[9C = 5F - 160 \\Rightarrow 5F = 9C + 160 \\Rightarrow F = \\dfrac{9}{5}C + 32.\\]\n\n**a)** \\(F(100) = \\dfrac{9}{5}\\cdot 100 + 32 = 180 + 32 = 212\\) ✓\n\n**b)** \\(F = C\\) daje \\(C = \\dfrac{9}{5}C + 32\\), czyli \\(-\\dfrac{4}{5}C = 32\\) → \\(C = -40\\) ✓\n\n### Weryfikacja\nDla \\(F = -40\\):\n\\[C = \\dfrac{5}{9}\\cdot(-40) - \\dfrac{160}{9} = \\dfrac{-200 - 160}{9} = \\dfrac{-360}{9} = -40\\] ✓\n\n### Komentarz dydaktyczny\nSkale Celsjusza i Fahrenheita pokrywają się tylko w jednym punkcie, \\(-40^{\\circ}\\), co jest znanym faktem fizycznym. Wzór \\(F = \\dfrac{9}{5}C + 32\\) warto znać - jest standardem w konwersji temperatur.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Równanie postaci C=59·F−1609, ustala zależność między temperaturą, wyrażoną w stopniach Celsjusza (C) oraz Fahrenheita (F). a) Oblicz, ile stopni w skali Fahrenheita, ma wrząca w temperaturze 100∘C woda. b) Wyznacz taką temperaturę, przy której liczba stopni w skali Celsjusza jest równa liczbie stopni w skali Fahrenheita.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

a) Woda wrząca w 100°C ma temperaturę F=212°F

\n

b) Temperatura, przy której obie skale wskazują tę samą wartość liczbową: C=F=−40°

\n

Sposób 1 - podstawienie i rozwiązanie równania

\n
Część a)
\n

Mamy wzór:

\n
C=59·F−1609
\n

Podstawiamy C=100 i szukamy F:

\n
100=59·F−1609
\n

Mnożymy obie strony przez 9, żeby pozbyć się mianowników:

\n
900=5F−160
\n

Przenosimy −160 na lewą stronę:

\n
900+160=5F
\n
1060=5F
\n

Dzielimy obie strony przez 5:

\n
F=10605=212
\n

Woda wrząca ma temperaturę 212°F.

\n
Część b)
\n

Szukamy temperatury, przy której liczba stopni Celsjusza równa się liczbie stopni Fahrenheita, czyli C=F.

\n

Podstawiamy F=C do wzoru:

\n
C=59·C−1609
\n

Mnożymy obie strony przez 9:

\n
9C=5C−160
\n

Przenosimy 5C na lewą stronę:

\n
9C−5C=−160
\n
4C=−160
\n
C=−40
\n

Ponieważ przyjęliśmy F=C, mamy F=−40.

\n

W temperaturze −40° obie skale wskazują tę samą wartość liczbową.

\n

Sposób 2 - wyznaczenie wzoru odwrotnego (F w zależności od C)

\n
Część a) - wzór odwrotny
\n

Przekształcamy wzór C=59·F−1609, żeby wyrazić F przez C:

\n
C+1609=59·F
\n
F=95·C+1605
\n
F=95·C+32
\n

To klasyczny wzór znany z fizyki. Podstawiamy C=100:

\n
F=95·100+32=180+32=212
\n

Wynik taki sam: F=212°F. ✓

\n
Część b) - weryfikacja graficzna (intuicja)
\n

Równanie C=F to prosta y=x na płaszczyźnie (F,C).

\n

Wzór C=59F−1609 to prosta o nachyleniu 59 i wyrazie wolnym −1609≈−17,8.

\n

Szukamy przecięcia tych dwóch prostych. Ich przecięcie to punkt (−40,−40), co zgadza się z Częścią b) Sposobu 1. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe działania algebraiczne (mnożenie przez mianownik, przenoszenie wyrazów).

\n

Możemy jednak wskazać, że zadanie opiera się na:

\n\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: W części a) łatwo zapomnieć pomnożyć obie strony równania przez 9. Jeśli pomnożysz tylko prawą stronę - popełnisz błąd i otrzymasz złą wartość F.
\n
⚠️ Uwaga: W części b) kluczowe jest poprawne ustawienie warunku: C=F. Uczniowie często mylnie piszą C=−F lub próbują przyrównać coś innego. Warunek brzmi dosłownie: ta sama liczba w obu skalach.
\n
⚠️ Uwaga: Wynik −40° jest ujemny - to poprawna odpowiedź, nie błąd! Intuicja podpowiada, że takie przecięcie skal musi być w niskich temperaturach (skala Fahrenheita rośnie wolniej niż Celsjusza), więc wynik ujemny ma pełny sens fizyczny.
\n

Poprawna odpowiedź: a) F=212∘F; b) C=F=−40∘.

\n
Sposób 1 - Bezpośrednie podstawienie
\n

a) Podstawienie C=100:

\n
100=59·F−1609|·9
\n
900=5F−160
\n
5F=1060
\n
F=212.
\n

Stąd woda wrze przy F=212∘F.

\n

b) Warunek C=F.
Podstawiamy C=F do równania:

\n
F=59·F−1609|·9
\n
9F=5F−160
\n
4F=−160
\n
F=−40.
\n

Zatem C=F=−40∘.

\n
Sposób 2 - Wyznaczenie F z równania (odwrócenie funkcji)
\n

Z równania C=59F−1609 wyznaczamy F:

\n
9C=5F−160⇒5F=9C+160⇒F=95C+32.
\n

a) F(100)=95·100+32=180+32=212 ✓

\n

b) F=C daje C=95C+32, czyli −45C=32 → C=−40 ✓

\n
Weryfikacja
\n

Dla F=−40:
C=59·(−40)−1609=−200−1609=−3609=−40 ✓

\n
Komentarz dydaktyczny
\n

Skale Celsjusza i Fahrenheita pokrywają się tylko w jednym punkcie, −40∘, co jest znanym faktem fizycznym. Wzór F=95C+32 warto znać - jest standardem w konwersji temperatur.

"}]}