{"id":"maturazai-matematyka-mma-p1d1p-021/zad/5","paper_id":"maturazai-matematyka-mma-p1d1p-021","number":"5","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Dany jest trójkąt, którego dwa boki mają długości \\(8\\text{ cm}\\) i \\(12\\text{ cm}\\), kąt zawarty między tymi bokami ma miarę \\(120^{\\circ}\\). Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(R = \\dfrac{4\\sqrt{57}}{3}\\text{ cm}\\)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie cosinusów + twierdzenie sinusów\n\n**Krok 1: Wyznaczamy brakujący bok trójkąta.**\n\nOznaczmy boki: \\(a = 8\\text{ cm}\\), \\(b = 12\\text{ cm}\\), kąt między nimi \\(\\gamma = 120°\\). Szukamy boku \\(c\\) (naprzeciwko kąta \\(\\gamma\\)).\n\nZe **twierdzenia cosinusów**:\n\\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\\cos\\gamma\\]\n\\[c^2 = 8^2 + 12^2 - 2 \\cdot 8 \\cdot 12 \\cdot \\cos 120°\\]\n\nPamiętamy: \\(\\cos 120° = -\\frac{1}{2}\\), więc:\n\\[c^2 = 64 + 144 - 192 \\cdot \\left(-\\frac{1}{2}\\right) = 208 + 96 = 304\\]\n\\[c = \\sqrt{304} = \\sqrt{16 \\cdot 19} = 4\\sqrt{19}\\text{ cm}\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczamy promień okręgu opisanego.**\n\nZe **twierdzenia sinusów**:\n\\[\\frac{c}{\\sin\\gamma} = 2R\\]\n\nPamiętamy: \\(\\sin 120° = \\sin(180° - 60°) = \\sin 60° = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\), więc:\n\\[2R = \\frac{c}{\\sin\\gamma} = \\frac{4\\sqrt{19}}{\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}} = \\frac{4\\sqrt{19} \\cdot 2}{\\sqrt{3}} = \\frac{8\\sqrt{19}}{\\sqrt{3}}\\]\n\nWyłudzamy mianownik:\n\\[2R = \\frac{8\\sqrt{19} \\cdot \\sqrt{3}}{3} = \\frac{8\\sqrt{57}}{3}\\]\n\n**Zatem:**\n\\[\\boxed{R = \\frac{4\\sqrt{57}}{3}\\text{ cm}}\\]\n\n## Sposób 2 - Pole trójkąta + wzór \\(R = \\dfrac{abc}{4P}\\)\n\n**Krok 1: Obliczamy pole trójkąta.**\n\nZe wzoru na pole przez dwa boki i kąt między nimi:\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b \\cdot \\sin\\gamma = \\frac{1}{2} \\cdot 8 \\cdot 12 \\cdot \\sin 120° = 48 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 24\\sqrt{3}\\text{ cm}^2\\]\n\n**Krok 2: Używamy wzoru na promień okręgu opisanego.**\n\nZ planimetrii (karta CKE): \\(P = \\dfrac{abc}{4R}\\), stąd \\(R = \\dfrac{abc}{4P}\\).\n\nMamy: \\(a = 8\\), \\(b = 12\\), \\(c = 4\\sqrt{19}\\) (z kroku 1 Sposobu 1), \\(P = 24\\sqrt{3}\\):\n\\[R = \\frac{8 \\cdot 12 \\cdot 4\\sqrt{19}}{4 \\cdot 24\\sqrt{3}} = \\frac{384\\sqrt{19}}{96\\sqrt{3}} = \\frac{4\\sqrt{19}}{\\sqrt{3}} = \\frac{4\\sqrt{19} \\cdot \\sqrt{3}}{3} = \\frac{4\\sqrt{57}}{3}\\text{ cm}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik - **potwierdzenie poprawności**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - twierdzenie cosinusów:\n\\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\\cos\\gamma\\]\nUżyte w Sposobie 1 do wyznaczenia trzeciego boku trójkąta.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 16)** - twierdzenie sinusów i promień okręgu opisanego:\n\\[\\frac{a}{\\sin\\alpha} = \\frac{b}{\\sin\\beta} = \\frac{c}{\\sin\\gamma} = 2R\\]\nKluczowy wzór w Sposobie 1 - bezpośrednio dał nam \\(R\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 16)** - pole trójkąta przez dwa boki i kąt:\n\\[P = \\frac{1}{2}ab\\sin\\gamma\\]\nUżyte w Sposobie 2 do obliczenia pola.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 16)** - wzór na promień okręgu opisanego przez pole:\n\\[P = \\frac{abc}{4R} \\implies R = \\frac{abc}{4P}\\]\nKluczowy wzór w Sposobie 2.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 14)** - wzór redukcyjny:\n\\[\\sin(180° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\]\nUżyty przy uproszczeniu \\(\\sin 120° = \\sin 60° = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\cos 120° = -\\frac{1}{2}\\), **nie** \\(+\\frac{1}{2}\\)! Kąt rozwarty ma ujemny cosinus. Pomylenie znaku zmienia \\(+96\\) na \\(-96\\) i daje błędny wynik \\(c^2 = 112\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy upraszczaniu \\(\\sqrt{304}\\) pamiętaj rozłożyć: \\(304 = 16 \\cdot 19\\), więc \\(\\sqrt{304} = 4\\sqrt{19}\\). Nie zostawiaj \\(\\sqrt{304}\\) bez uproszczenia - wynikowy \\(R\\) się nie uprości.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyłudzaniu mianownika: \\(\\dfrac{\\sqrt{19}}{\\sqrt{3}} = \\dfrac{\\sqrt{19} \\cdot \\sqrt{3}}{3} = \\dfrac{\\sqrt{57}}{3}\\). Błąd pojawia się gdy uczeń pisze \\(\\sqrt{19/3}\\) zamiast \\(\\dfrac{\\sqrt{57}}{3}\\) - formalnie równoważne, ale niepoprawna forma z kartą wzorów.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(R = \\dfrac{4\\sqrt{57}}{3}\\text{ cm}\\).\n\n### Sposób 1 - Twierdzenie cosinusów + twierdzenie sinusów\n**Krok 1. Długość trzeciego boku (tw. cosinusów).**\nOznaczenia: boki trójkąta \\(b = 8\\), \\(c = 12\\), kąt między nimi \\(\\alpha = 120^{\\circ}\\), trzeci bok \\(a\\) leży naprzeciw kąta \\(\\alpha\\). Wtedy:\n\\[a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\\cos\\alpha.\\]\n\\[\\cos 120^{\\circ} = -\\dfrac{1}{2},\\]\nwięc:\n\\[a^{2} = 8^{2} + 12^{2} - 2\\cdot 8\\cdot 12\\cdot\\left(-\\dfrac{1}{2}\\right) = 64 + 144 + 96 = 304.\\]\n\\[a = \\sqrt{304} = \\sqrt{16\\cdot 19} = 4\\sqrt{19}\\text{ cm}.\\]\n\n**Krok 2. Promień okręgu opisanego (tw. sinusów).**\nDla boku \\(a\\) naprzeciw kąta \\(\\alpha = 120^{\\circ}\\):\n\\[\\dfrac{a}{\\sin\\alpha} = 2R.\\]\n\\[\\sin 120^{\\circ} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}.\\]\n\\[2R = \\dfrac{4\\sqrt{19}}{\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}} = \\dfrac{4\\sqrt{19}\\cdot 2}{\\sqrt{3}} = \\dfrac{8\\sqrt{19}}{\\sqrt{3}}.\\]\n\\[R = \\dfrac{4\\sqrt{19}}{\\sqrt{3}} = \\dfrac{4\\sqrt{19}\\cdot\\sqrt{3}}{3} = \\dfrac{4\\sqrt{57}}{3}\\text{ cm}.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzór na pole + wzór \\(R = \\dfrac{abc}{4P}\\)\n**Pole trójkąta:**\n\\[P = \\dfrac{1}{2}bc\\sin\\alpha = \\dfrac{1}{2}\\cdot 8\\cdot 12\\cdot\\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = 24\\sqrt{3}\\text{ cm}^{2}.\\]\n\n**Promień okręgu opisanego:**\n\\[R = \\dfrac{abc}{4P} = \\dfrac{8\\cdot 12\\cdot 4\\sqrt{19}}{4\\cdot 24\\sqrt{3}} = \\dfrac{384\\sqrt{19}}{96\\sqrt{3}} = \\dfrac{4\\sqrt{19}}{\\sqrt{3}} = \\dfrac{4\\sqrt{57}}{3}\\text{ cm}.\\]\n\n### Weryfikacja numeryczna\n\\[\\sqrt{57} \\approx 7{,}55,\\quad R \\approx \\dfrac{4\\cdot 7{,}55}{3} \\approx 10{,}07\\text{ cm}.\\]\nSprawdzenie przez twierdzenie sinusów: \\(\\dfrac{a}{\\sin\\alpha} = \\dfrac{4\\sqrt{19}}{\\sqrt{3}/2} \\approx \\dfrac{17{,}44}{0{,}866} \\approx 20{,}13 = 2R\\) ✓.\n\n### Komentarz dydaktyczny\nKąt rozwarty (tu \\(120^{\\circ}\\)) oznacza, że trójkąt jest rozwartokątny - środek okręgu opisanego leży **na zewnątrz** trójkąta. Promień okręgu opisanego zawsze wyznaczamy z twierdzenia sinusów po znalezieniu boku naprzeciw znanego kąta.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Dany jest trójkąt, którego dwa boki mają długości 8 cm i 12 cm, kąt zawarty między tymi bokami ma miarę 120∘. Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: R=4573 cm

\n

Sposób 1 - Twierdzenie cosinusów + twierdzenie sinusów

\n

Krok 1: Wyznaczamy brakujący bok trójkąta.

\n

Oznaczmy boki: a=8 cm, b=12 cm, kąt między nimi γ=120°. Szukamy boku c (naprzeciwko kąta γ).

\n

Ze twierdzenia cosinusów:

\n
c2=a2+b2−2abcosγ
\n
c2=82+122−2·8·12·cos120°
\n

Pamiętamy: cos120°=−12, więc:

\n
c2=64+144−192·(−12)=208+96=304
\n
c=304=16·19=419 cm
\n

Krok 2: Wyznaczamy promień okręgu opisanego.

\n

Ze twierdzenia sinusów:

\n
csinγ=2R
\n

Pamiętamy: sin120°=sin(180°−60°)=sin60°=32, więc:

\n
2R=csinγ=41932=419·23=8193
\n

Wyłudzamy mianownik:

\n
2R=819·33=8573
\n

Zatem:

\n
R=4573 cm
\n

Sposób 2 - Pole trójkąta + wzór R=abc4P

\n

Krok 1: Obliczamy pole trójkąta.

\n

Ze wzoru na pole przez dwa boki i kąt między nimi:

\n
P=12·a·b·sinγ=12·8·12·sin120°=48·32=243 cm2
\n

Krok 2: Używamy wzoru na promień okręgu opisanego.

\n

Z planimetrii (karta CKE): P=abc4R, stąd R=abc4P.

\n

Mamy: a=8, b=12, c=419 (z kroku 1 Sposobu 1), P=243:

\n
R=8·12·4194·243=38419963=4193=419·33=4573 cm
\n

Oba sposoby dają ten sam wynik - potwierdzenie poprawności.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15-16) - twierdzenie cosinusów:

\n
c2=a2+b2−2abcosγ
\n

Użyte w Sposobie 1 do wyznaczenia trzeciego boku trójkąta.

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 16) - twierdzenie sinusów i promień okręgu opisanego:

\n
asinα=bsinβ=csinγ=2R
\n

Kluczowy wzór w Sposobie 1 - bezpośrednio dał nam R.

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 16) - pole trójkąta przez dwa boki i kąt:

\n
P=12absinγ
\n

Użyte w Sposobie 2 do obliczenia pola.

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 16) - wzór na promień okręgu opisanego przez pole:

\n
P=abc4R⟹R=abc4P
\n

Kluczowy wzór w Sposobie 2.

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 14) - wzór redukcyjny:

\n
sin(180°−α)=sinα
\n

Użyty przy uproszczeniu sin120°=sin60°=32.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: cos120°=−12, nie +12! Kąt rozwarty ma ujemny cosinus. Pomylenie znaku zmienia +96 na −96 i daje błędny wynik c2=112.
\n
⚠️ Uwaga: Przy upraszczaniu 304 pamiętaj rozłożyć: 304=16·19, więc 304=419. Nie zostawiaj 304 bez uproszczenia - wynikowy R się nie uprości.
\n
⚠️ Uwaga: Przy wyłudzaniu mianownika: 193=19·33=573. Błąd pojawia się gdy uczeń pisze 19/3 zamiast 573 - formalnie równoważne, ale niepoprawna forma z kartą wzorów.
\n

Poprawna odpowiedź: R=4573 cm.

\n
Sposób 1 - Twierdzenie cosinusów + twierdzenie sinusów
\n

Krok 1. Długość trzeciego boku (tw. cosinusów).
Oznaczenia: boki trójkąta b=8, c=12, kąt między nimi α=120∘, trzeci bok a leży naprzeciw kąta α. Wtedy:

\n
a2=b2+c2−2bccosα.
\n
cos120∘=−12,
\n

więc:

\n
a2=82+122−2·8·12·(−12)=64+144+96=304.
\n
a=304=16·19=419 cm.
\n

Krok 2. Promień okręgu opisanego (tw. sinusów).
Dla boku a naprzeciw kąta α=120∘:

\n
asinα=2R.
\n
sin120∘=32.
\n
2R=41932=419·23=8193.
\n
R=4193=419·33=4573 cm.
\n
Sposób 2 - Wzór na pole + wzór R=abc4P
\n

Pole trójkąta:

\n
P=12bcsinα=12·8·12·32=243 cm2.
\n

Promień okręgu opisanego:

\n
R=abc4P=8·12·4194·243=38419963=4193=4573 cm.
\n
Weryfikacja numeryczna
\n
57≈7,55,R≈4·7,553≈10,07 cm.
\n

Sprawdzenie przez twierdzenie sinusów: asinα=4193/2≈17,440,866≈20,13=2R ✓.

\n
Komentarz dydaktyczny
\n

Kąt rozwarty (tu 120∘) oznacza, że trójkąt jest rozwartokątny - środek okręgu opisanego leży na zewnątrz trójkąta. Promień okręgu opisanego zawsze wyznaczamy z twierdzenia sinusów po znalezieniu boku naprzeciw znanego kąta.

"}]}