{"id":"maturazai-matematyka-mma-p1d1p-021/zad/6","paper_id":"maturazai-matematyka-mma-p1d1p-021","number":"6","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Do pewnego przepisu z książki kucharskiej należy przygotować \\(0{,}25\\) litra płynu. Mamy do wyboru trzy szklanki w kształcie walca, o wewnętrznych wymiarach: pierwsza - o średnicy \\(6\\text{ cm}\\) i wysokości \\(10\\text{ cm}\\), druga - o średnicy \\(5{,}8\\text{ cm}\\) i wysokości \\(9{,}5\\text{ cm}\\) oraz trzecia - o średnicy \\(6\\text{ cm}\\) i wysokości \\(9\\text{ cm}\\). Której szklanki objętość jest najbliższa \\(0{,}25\\) litra? Odpowiedź uzasadnij.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: Druga szklanka (średnica 5,8 cm, wysokość 9,5 cm)\n\nJej objętość wynosi \\(V_2 \\approx 250{,}9 \\text{ cm}^3\\), co jest najbliższe \\(250 \\text{ cm}^3 = 0{,}25 \\text{ l}\\).\n\n## Sposób 1 - Obliczenie objętości każdej szklanki i porównanie różnic\n\n**Kluczowy fakt:** \\(0{,}25 \\text{ l} = 250 \\text{ cm}^3\\). Szukamy, która szklanka ma objętość najbliższą \\(250 \\text{ cm}^3\\).\n\nWzór na objętość walca:\n\\[V = \\pi r^2 h\\]\n\ngdzie \\(r\\) to **promień** (połowa średnicy), \\(h\\) to wysokość.\n\n**Szklanka 1:** średnica \\(6 \\text{ cm}\\), więc \\(r_1 = 3 \\text{ cm}\\), \\(h_1 = 10 \\text{ cm}\\)\n\\[V_1 = \\pi \\cdot 3^2 \\cdot 10 = 90\\pi \\approx 282{,}74 \\text{ cm}^3\\]\n\nRóżnica od \\(250 \\text{ cm}^3\\):\n\\[|V_1 - 250| \\approx |282{,}74 - 250| = 32{,}74 \\text{ cm}^3\\]\n\n**Szklanka 2:** średnica \\(5{,}8 \\text{ cm}\\), więc \\(r_2 = 2{,}9 \\text{ cm}\\), \\(h_2 = 9{,}5 \\text{ cm}\\)\n\\[V_2 = \\pi \\cdot (2{,}9)^2 \\cdot 9{,}5 = \\pi \\cdot 8{,}41 \\cdot 9{,}5 = 79{,}895\\pi \\approx 250{,}93 \\text{ cm}^3\\]\n\nRóżnica od \\(250 \\text{ cm}^3\\):\n\\[|V_2 - 250| \\approx |250{,}93 - 250| = 0{,}93 \\text{ cm}^3\\]\n\n**Szklanka 3:** średnica \\(6 \\text{ cm}\\), więc \\(r_3 = 3 \\text{ cm}\\), \\(h_3 = 9 \\text{ cm}\\)\n\\[V_3 = \\pi \\cdot 3^2 \\cdot 9 = 81\\pi \\approx 254{,}47 \\text{ cm}^3\\]\n\nRóżnica od \\(250 \\text{ cm}^3\\):\n\\[|V_3 - 250| \\approx |254{,}47 - 250| = 4{,}47 \\text{ cm}^3\\]\n\n**Zestawienie różnic:**\n\n| Szklanka | Objętość | Różnica od 250 cm³ |\n| 1 | \\(\\approx 282{,}74 \\text{ cm}^3\\) | \\(\\approx 32{,}74 \\text{ cm}^3\\) |\n| **2** | \\(\\mathbf{\\approx 250{,}93 \\text{ cm}^3}\\) | \\(\\mathbf{\\approx 0{,}93 \\text{ cm}^3}\\) |\n| 3 | \\(\\approx 254{,}47 \\text{ cm}^3\\) | \\(\\approx 4{,}47 \\text{ cm}^3\\) |\n\n**Wniosek:** Szklanka 2 ma objętość najbliższą \\(250 \\text{ cm}^3\\), ponieważ jej różnica od szukanej wartości wynosi niecały \\(1 \\text{ cm}^3\\).\n\n## Sposób 2 - Porównanie bez kalkulatora (szacowanie przez \\(\\pi \\approx 3{,}14\\))\n\nZamiast liczyć dokładne wartości, można obliczyć \\(\\pi r^2 h\\) z przybliżeniem \\(\\pi \\approx 3{,}14\\) i zaokrąglać sprytnie.\n\n**Szklanka 1:**\n\\[V_1 = 3{,}14 \\cdot 9 \\cdot 10 = 3{,}14 \\cdot 90 = 282{,}6 \\text{ cm}^3\\]\n\nWyraźnie za dużo - różnica od 250 wynosi około \\(32{,}6 \\text{ cm}^3\\). **Odrzucamy.**\n\n**Szklanka 3:**\n\\[V_3 = 3{,}14 \\cdot 9 \\cdot 9 = 3{,}14 \\cdot 81 = 254{,}34 \\text{ cm}^3\\]\n\nRóżnica od 250 wynosi około \\(4{,}3 \\text{ cm}^3\\).\n\n**Szklanka 2:**\n\\[(2{,}9)^2 = 8{,}41\\]\n\\[V_2 = 3{,}14 \\cdot 8{,}41 \\cdot 9{,}5 = 3{,}14 \\cdot 79{,}895 \\approx 3{,}14 \\cdot 79{,}9 \\approx 250{,}9 \\text{ cm}^3\\]\n\nRóżnica od 250 wynosi niecały \\(1 \\text{ cm}^3\\).\n\n**Wniosek jest identyczny:** szklanka 2 wygrywa.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - objętość walca:\n\\[V = \\pi r^2 h\\]\n\nWzór ten stosujemy do obliczenia objętości każdej ze szklanek (walce o promieniu \\(r\\) i wysokości \\(h\\)). Pamiętamy, że \\(r = \\frac{d}{2}\\), gdzie \\(d\\) to **średnica** - ten krok jest kluczowy i najczęściej pomijany!\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie podaje **średnice**, a wzór wymaga **promieni**. Użycie średnicy zamiast promienia daje objętość czterokrotnie zawyżoną!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(0{,}25 \\text{ l} = 250 \\text{ cm}^3\\) - koniecznie przeliczyć litry na centymetry sześcienne przed porównaniem (1 l = 1000 cm³).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy powiedzieć, która szklanka ma „mniej więcej 250 cm³\" - trzeba **porównać bezwzględne różnice** od wartości 250 i wskazać tę najmniejszą. To jest serce uzasadnienia w tym zadaniu.\n\n**Poprawna odpowiedź:** druga szklanka (\\(V_2 \\approx 250{,}9\\text{ cm}^{3}\\)) jest najbliższa \\(0{,}25\\text{ l} = 250\\text{ cm}^{3}\\).\n\n### Sposób 1 - Porównanie objętości walców\n**Zamiana jednostek:**\n\\[0{,}25\\text{ l} = 250\\text{ cm}^{3}.\\]\n\n**Wzór na objętość walca:** \\(V = \\pi r^{2} h\\), gdzie \\(r = \\dfrac{d}{2}\\).\n\n**Szklanka 1** (\\(d = 6\\text{ cm}\\), \\(h = 10\\text{ cm}\\)):\n\\[r_1 = 3\\text{ cm},\\quad V_1 = \\pi\\cdot 3^{2}\\cdot 10 = 90\\pi \\approx 282{,}6\\text{ cm}^{3}.\\]\n\n**Szklanka 2** (\\(d = 5{,}8\\text{ cm}\\), \\(h = 9{,}5\\text{ cm}\\)):\n\\[r_2 = 2{,}9\\text{ cm},\\quad V_2 = \\pi\\cdot (2{,}9)^{2}\\cdot 9{,}5 = \\pi\\cdot 8{,}41\\cdot 9{,}5 = 79{,}895\\pi \\approx 250{,}9\\text{ cm}^{3}.\\]\n\n**Szklanka 3** (\\(d = 6\\text{ cm}\\), \\(h = 9\\text{ cm}\\)):\n\\[r_3 = 3\\text{ cm},\\quad V_3 = \\pi\\cdot 3^{2}\\cdot 9 = 81\\pi \\approx 254{,}3\\text{ cm}^{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Obliczenie różnic od \\(250\\text{ cm}^{3}\\)\n\\[|V_1 - 250| \\approx 32{,}6\\text{ cm}^{3},\\]\n\\[|V_2 - 250| \\approx 0{,}9\\text{ cm}^{3},\\]\n\\[|V_3 - 250| \\approx 4{,}3\\text{ cm}^{3}.\\]\n\nNajmniejsza różnica (\\(0{,}9\\text{ cm}^{3}\\)) dotyczy szklanki drugiej.\n\n### Wniosek\nDo przygotowania \\(0{,}25\\) litra płynu najlepiej nadaje się **szklanka druga** (o średnicy \\(5{,}8\\text{ cm}\\) i wysokości \\(9{,}5\\text{ cm}\\)).\n\n### Komentarz dydaktyczny\nObjętość walca rośnie kwadratowo z promieniem i liniowo z wysokością - niewielka zmiana średnicy (tu: z \\(6\\) do \\(5{,}8\\text{ cm}\\)) daje zauważalną zmianę objętości (\\(\\approx 31\\text{ cm}^{3}\\)). Przy \\(\\pi\\) warto używać \\(\\pi \\approx 3{,}1416\\) lub pełnej dokładności kalkulatora.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Do pewnego przepisu z książki kucharskiej należy przygotować 0,25 litra płynu. Mamy do wyboru trzy szklanki w kształcie walca, o wewnętrznych wymiarach: pierwsza - o średnicy 6 cm i wysokości 10 cm, druga - o średnicy 5,8 cm i wysokości 9,5 cm oraz trzecia - o średnicy 6 cm i wysokości 9 cm. Której szklanki objętość jest najbliższa 0,25 litra? Odpowiedź uzasadnij.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: Druga szklanka (średnica 5,8 cm, wysokość 9,5 cm)

\n

Jej objętość wynosi V2≈250,9 cm3, co jest najbliższe 250 cm3=0,25 l.

\n

Sposób 1 - Obliczenie objętości każdej szklanki i porównanie różnic

\n

Kluczowy fakt: 0,25 l=250 cm3. Szukamy, która szklanka ma objętość najbliższą 250 cm3.

\n

Wzór na objętość walca:

\n
V=πr2h
\n

gdzie r to promień (połowa średnicy), h to wysokość.

\n

Szklanka 1: średnica 6 cm, więc r1=3 cm, h1=10 cm

\n
V1=π·32·10=90π≈282,74 cm3
\n

Różnica od 250 cm3:

\n
|V1−250|≈|282,74−250|=32,74 cm3
\n

Szklanka 2: średnica 5,8 cm, więc r2=2,9 cm, h2=9,5 cm

\n
V2=π·(2,9)2·9,5=π·8,41·9,5=79,895π≈250,93 cm3
\n

Różnica od 250 cm3:

\n
|V2−250|≈|250,93−250|=0,93 cm3
\n

Szklanka 3: średnica 6 cm, więc r3=3 cm, h3=9 cm

\n
V3=π·32·9=81π≈254,47 cm3
\n

Różnica od 250 cm3:

\n
|V3−250|≈|254,47−250|=4,47 cm3
\n

Zestawienie różnic:

\n

| Szklanka | Objętość | Różnica od 250 cm³ |
| 1 | ≈282,74 cm3 | ≈32,74 cm3 |
| 2 | ≈250,93 cm3 | ≈0,93 cm3 |
| 3 | ≈254,47 cm3 | ≈4,47 cm3 |

\n

Wniosek: Szklanka 2 ma objętość najbliższą 250 cm3, ponieważ jej różnica od szukanej wartości wynosi niecały 1 cm3.

\n

Sposób 2 - Porównanie bez kalkulatora (szacowanie przez π≈3,14)

\n

Zamiast liczyć dokładne wartości, można obliczyć πr2h z przybliżeniem π≈3,14 i zaokrąglać sprytnie.

\n

Szklanka 1:

\n
V1=3,14·9·10=3,14·90=282,6 cm3
\n

Wyraźnie za dużo - różnica od 250 wynosi około 32,6 cm3. Odrzucamy.

\n

Szklanka 3:

\n
V3=3,14·9·9=3,14·81=254,34 cm3
\n

Różnica od 250 wynosi około 4,3 cm3.

\n

Szklanka 2:

\n
(2,9)2=8,41
\n
V2=3,14·8,41·9,5=3,14·79,895≈3,14·79,9≈250,9 cm3
\n

Różnica od 250 wynosi niecały 1 cm3.

\n

Wniosek jest identyczny: szklanka 2 wygrywa.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 26-28) - objętość walca:

\n
V=πr2h
\n

Wzór ten stosujemy do obliczenia objętości każdej ze szklanek (walce o promieniu r i wysokości h). Pamiętamy, że r=d2, gdzie d to średnica - ten krok jest kluczowy i najczęściej pomijany!

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Zadanie podaje średnice, a wzór wymaga promieni. Użycie średnicy zamiast promienia daje objętość czterokrotnie zawyżoną!
\n
⚠️ Uwaga: 0,25 l=250 cm3 - koniecznie przeliczyć litry na centymetry sześcienne przed porównaniem (1 l = 1000 cm³).
\n
⚠️ Uwaga: Nie wystarczy powiedzieć, która szklanka ma „mniej więcej 250 cm³" - trzeba porównać bezwzględne różnice od wartości 250 i wskazać tę najmniejszą. To jest serce uzasadnienia w tym zadaniu.
\n

Poprawna odpowiedź: druga szklanka (V2≈250,9 cm3) jest najbliższa 0,25 l=250 cm3.

\n
Sposób 1 - Porównanie objętości walców
\n

Zamiana jednostek:

\n
0,25 l=250 cm3.
\n

Wzór na objętość walca: V=πr2h, gdzie r=d2.

\n

Szklanka 1 (d=6 cm, h=10 cm):

\n
r1=3 cm,V1=π·32·10=90π≈282,6 cm3.
\n

Szklanka 2 (d=5,8 cm, h=9,5 cm):

\n
r2=2,9 cm,V2=π·(2,9)2·9,5=π·8,41·9,5=79,895π≈250,9 cm3.
\n

Szklanka 3 (d=6 cm, h=9 cm):

\n
r3=3 cm,V3=π·32·9=81π≈254,3 cm3.
\n
Sposób 2 - Obliczenie różnic od 250 cm3
\n
|V1−250|≈32,6 cm3,
\n
|V2−250|≈0,9 cm3,
\n
|V3−250|≈4,3 cm3.
\n

Najmniejsza różnica (0,9 cm3) dotyczy szklanki drugiej.

\n
Wniosek
\n

Do przygotowania 0,25 litra płynu najlepiej nadaje się szklanka druga (o średnicy 5,8 cm i wysokości 9,5 cm).

\n
Komentarz dydaktyczny
\n

Objętość walca rośnie kwadratowo z promieniem i liniowo z wysokością - niewielka zmiana średnicy (tu: z 6 do 5,8 cm) daje zauważalną zmianę objętości (≈31 cm3). Przy π warto używać π≈3,1416 lub pełnej dokładności kalkulatora.

"}]}