{"id":"maturazai-matematyka-mma-p1d1p-021/zad/7","paper_id":"maturazai-matematyka-mma-p1d1p-021","number":"7","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Funkcja \\(f: R \\to R\\) jest określona wzorem: \\(f(x)=x^{2}-6x+12\\). a) Rozwiąż nierówność \\(f(x)-19>0\\). b) Uzasadnij, że obrazem wykresu funkcji \\(f\\), w symetrii względem prostej o równaniu \\(x=6\\), nie jest parabola, określona równaniem \\(y=(x-9)^{2}+6\\).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n**a)** \\(x \\in (-\\infty, -1) \\cup (7, +\\infty)\\)\n\n**b)** Wierzchołek wykresu \\(f\\) to \\(W = (3, 3)\\). Jego obraz w symetrii osiowej względem \\(x = 6\\) to \\(W' = (9, 3)\\). Tymczasem wierzchołek paraboli \\(y = (x-9)^2 + 6\\) to \\(W_1 = (9, 6)\\). Ponieważ \\(W' \\neq W_1\\), parabole są różne.\n\n## Sposób 1 - rozwiązanie przez wyróżnik (część a)\n\n**Przekształcamy nierówność:**\n\n\\[f(x) - 19 > 0 \\implies x^2 - 6x + 12 - 19 > 0 \\implies x^2 - 6x - 7 > 0\\]\n\n**Szukamy miejsc zerowych trójmianu \\(x^2 - 6x - 7\\):**\n\n\\[\\Delta = (-6)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-7) = 36 + 28 = 64\\]\n\n\\[x_1 = \\frac{6 - \\sqrt{64}}{2} = \\frac{6 - 8}{2} = -1, \\qquad x_2 = \\frac{6 + 8}{2} = \\frac{14}{2} = 7\\]\n\n**Postać iloczynowa:** \\(x^2 - 6x - 7 = (x + 1)(x - 7)\\)\n\nParabola otwiera się **w górę** (współczynnik \\(a = 1 > 0\\)), więc trójmian jest dodatni **na zewnątrz** pierwiastków:\n\n\\[\\boxed{x \\in (-\\infty,\\, -1) \\cup (7,\\, +\\infty)}\\]\n\n## Sposób 2 - rozkład na czynniki \"na skróty\" (część a)\n\nZamiast liczyć wyróżnik, możemy spróbować rozłożyć \\(x^2 - 6x - 7\\) od razu.\n\nSzukamy liczb, których **suma** to \\(-6\\), a **iloczyn** to \\(-7\\):\n\n\\[-6 = (-7) + 1, \\qquad (-7) \\cdot 1 = -7 \\checkmark\\]\n\nZatem:\n\\[x^2 - 6x - 7 = (x - 7)(x + 1) > 0\\]\n\nIloczyn jest dodatni, gdy oba czynniki mają **ten sam znak**:\n\n| Przedział | \\(x + 1\\) | \\(x - 7\\) | Iloczyn |\n| \\(x < -1\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) ✓ |\n| \\(-1 < x < 7\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✗ |\n| \\(x > 7\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✓ |\n\nWynik: \\(x \\in (-\\infty, -1) \\cup (7, +\\infty)\\) - zgodny z Metodą 1.\n\n## Sposób 1 - argument wierzchołka (część b)\n\n**Wyznaczamy wierzchołek \\(W\\) paraboli \\(f\\).**\n\nFunkcja \\(f(x) = x^2 - 6x + 12\\), więc \\(a = 1\\), \\(b = -6\\), \\(c = 12\\).\n\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{-6}{2} = 3\\]\n\n\\[q = f(3) = 9 - 18 + 12 = 3\\]\n\nWierzchołek: \\(W = (3,\\, 3)\\).\n\n**Wyznaczamy obraz \\(W' \\) w symetrii osiowej względem prostej \\(x = 6\\).**\n\nSymetria względem \\(x = 6\\) odbija punkt \\((x, y)\\) na \\((12 - x,\\, y)\\), bo:\n\n\\[x' = 2 \\cdot 6 - x = 12 - x\\]\n\nDla \\(W = (3, 3)\\):\n\\[W' = (12 - 3,\\; 3) = (9,\\; 3)\\]\n\n**Sprawdzamy wierzchołek danej paraboli \\(y = (x-9)^2 + 6\\).**\n\nParabola jest w postaci kanonicznej - odczytujemy wprost:\n\n\\[W_1 = (9,\\; 6)\\]\n\n**Wniosek:**\n\n\\[W' = (9,\\; 3) \\neq (9,\\; 6) = W_1\\]\n\nOdbicie wykresu \\(f\\) ma wierzchołek w \\((9, 3)\\), a dana parabola ma wierzchołek w \\((9, 6)\\). **Ponieważ wierzchołki są różne, parabole są różne.** \\(\\square\\)\n\n## Sposób 2 - sprawdzenie konkretnego punktu (część b)\n\nWyznaczamy obraz **innego** punktu wykresu \\(f\\) i sprawdzamy, czy leży na \\(y = (x-9)^2 + 6\\).\n\nWeźmy \\(x = 6\\) (punkt leży na osi symetrii \\(x = 6\\), więc odbija się na siebie):\n\n\\[f(6) = 36 - 36 + 12 = 12 \\implies \\text{punkt } (6, 12) \\text{ leży na wykresie } f\\]\n\nObraz \\((6, 12)\\) w symetrii względem \\(x = 6\\):\n\n\\[x' = 12 - 6 = 6, \\quad y' = 12 \\implies (6,\\, 12)\\]\n\n(punkt na osi symetrii pozostaje na miejscu - to poprawne).\n\nSprawdzamy, czy \\((6, 12)\\) leży na \\(y = (x-9)^2 + 6\\):\n\n\\[(6 - 9)^2 + 6 = 9 + 6 = 15 \\neq 12\\]\n\nPunkt \\((6, 12)\\) **nie leży** na \\(y = (x-9)^2 + 6\\), choć powinien, gdyby ta parabola była obrazem \\(f\\). Sprzeczność dowodzi, że obrazem **nie jest** podana parabola. \\(\\square\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\n- Wyróżnik:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyty w Sposobie 1 (część a) do wyznaczenia pierwiastków \\(x_1, x_2\\).\n\n- Miejsca zerowe:\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\n\n- Wierzchołek paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\qquad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\nUżyty w części b) do wyznaczenia \\(W = (3, 3)\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy nierówności \\(f(x) - 19 > 0\\) uczniowie często zapominają odjąć 19 **przed** szukaniem pierwiastków i liczą \\(\\Delta\\) dla oryginalnej funkcji \\(f\\) - to błąd. Zawsze najpierw upraszczamy nierówność do postaci \\([\\text{trójmian}] > 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy symetrii osiowej względem \\(x = k\\) wzór na obraz to \\(x' = 2k - x\\), **nie** \\(x' = x + k\\) ani \\(x' = k - x\\). Tu \\(k = 6\\), więc \\(x' = 12 - x\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniu b) celem jest **uzasadnienie**, że parabole są różne - wystarczy znaleźć **jeden** punkt (np. wierzchołek), który się nie zgadza. Nie trzeba porównywać całych wzorów. Pokazanie \\(W' \\neq W_1\\) jest w pełni wystarczające!\n\n**Poprawna odpowiedź:** a) \\(x \\in (-\\infty, -1) \\cup (7, \\infty)\\); b) obrazem wierzchołka \\(W = (3, 3)\\) w symetrii względem prostej \\(x = 6\\) jest \\(W' = (9, 3)\\); parabola \\(y = (x-9)^{2} + 6\\) ma wierzchołek \\(W_1 = (9, 6)\\), więc \\(W' \\neq W_1\\) - parabole są różne.\n\n### Sposób 1 - Część a: rozwiązanie nierówności\nZapisujemy nierówność \\(f(x) - 19 > 0\\):\n\\[x^{2} - 6x + 12 - 19 > 0\\]\n\\[x^{2} - 6x - 7 > 0.\\]\n\n**Wyróżnik i pierwiastki:**\n\\[\\Delta = 36 + 28 = 64, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 8.\\]\n\\[x_1 = \\dfrac{6-8}{2} = -1, \\quad x_2 = \\dfrac{6+8}{2} = 7.\\]\n\nTrójmian \\(x^{2} - 6x - 7\\) ma ramiona w górę (\\(a = 1 > 0\\)), więc przyjmuje wartości dodatnie poza przedziałem \\([-1, 7]\\):\n\\[x \\in (-\\infty, -1) \\cup (7, \\infty).\\]\n\n### Sposób 2 - Część b: porównanie wierzchołków\n**Wierzchołek funkcji \\(f\\):**\n\\[W_f = \\left(-\\dfrac{b}{2a},\\, f\\left(-\\dfrac{b}{2a}\\right)\\right) = \\left(3,\\, f(3)\\right).\\]\n\\[f(3) = 9 - 18 + 12 = 3 \\Rightarrow W_f = (3, 3).\\]\n\n**Obraz \\(W_f\\) w symetrii względem prostej \\(x = 6\\).**\nSymetria osiowa względem prostej pionowej \\(x = 6\\) zmienia tylko pierwszą współrzędną:\n\\[(x, y) \\mapsto (12 - x, y).\\]\nZatem:\n\\[W_f' = (12 - 3,\\, 3) = (9, 3).\\]\n\n**Wierzchołek paraboli \\(y = (x-9)^{2} + 6\\):**\nPostać kanoniczna: \\(W_1 = (9, 6)\\).\n\n**Porównanie:**\n\\[W_f' = (9, 3) \\neq (9, 6) = W_1.\\]\n\nObrazy wierzchołków się różnią, a każda parabola ma dokładnie jeden wierzchołek. Gdyby parabola \\(y = (x-9)^{2} + 6\\) była obrazem \\(f\\) w podanej symetrii, to wierzchołek obrazu musiałby być wierzchołkiem tej paraboli. Ponieważ tak nie jest - **obrazem \\(f\\) w tej symetrii nie jest parabola** \\(y = (x-9)^{2} + 6\\).\n\n### Sposób 3 - Część b: wyznaczenie faktycznego obrazu \\(f\\) w symetrii\nNiech \\((x, y)\\) leży na wykresie obrazu; wtedy punkt \\((12 - x, y)\\) leży na wykresie \\(f\\):\n\\[y = f(12 - x) = (12 - x)^{2} - 6(12 - x) + 12.\\]\n\\[y = 144 - 24x + x^{2} - 72 + 6x + 12 = x^{2} - 18x + 84.\\]\n\nPostać kanoniczna:\n\\[x^{2} - 18x + 84 = (x - 9)^{2} - 81 + 84 = (x - 9)^{2} + 3.\\]\n\nFaktyczny obraz: \\(y = (x - 9)^{2} + 3\\), a zadana parabola to \\(y = (x - 9)^{2} + 6\\) - są to różne parabole (przesunięte pionowo o \\(3\\)).\n\n### Komentarz dydaktyczny\nSymetria osiowa zachowuje kształt paraboli oraz odległości - zmienia tylko kierunek poziomy. Najszybszy sposób odrzucenia hipotezy \"to ta sama parabola\": porównać wierzchołki.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Funkcja f:R→R jest określona wzorem: f(x)=x2−6x+12. a) Rozwiąż nierówność f(x)−19>0. b) Uzasadnij, że obrazem wykresu funkcji f, w symetrii względem prostej o równaniu x=6, nie jest parabola, określona równaniem y=(x−9)2+6.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

a) x∈(−∞,−1)∪(7,+∞)

\n

b) Wierzchołek wykresu f to W=(3,3). Jego obraz w symetrii osiowej względem x=6 to W′=(9,3). Tymczasem wierzchołek paraboli y=(x−9)2+6 to W1=(9,6). Ponieważ W′≠W1, parabole są różne.

\n

Sposób 1 - rozwiązanie przez wyróżnik (część a)

\n

Przekształcamy nierówność:

\n
f(x)−19>0⟹x2−6x+12−19>0⟹x2−6x−7>0
\n

Szukamy miejsc zerowych trójmianu x2−6x−7:

\n
Δ=(−6)2−4·1·(−7)=36+28=64
\n
x1=6−642=6−82=−1,x2=6+82=142=7
\n

Postać iloczynowa: x2−6x−7=(x+1)(x−7)

\n

Parabola otwiera się w górę (współczynnik a=1>0), więc trójmian jest dodatni na zewnątrz pierwiastków:

\n
x∈(−∞,−1)∪(7,+∞)
\n

Sposób 2 - rozkład na czynniki "na skróty" (część a)

\n

Zamiast liczyć wyróżnik, możemy spróbować rozłożyć x2−6x−7 od razu.

\n

Szukamy liczb, których suma to −6, a iloczyn to −7:

\n
−6=(−7)+1,(−7)·1=−7✓
\n

Zatem:

\n
x2−6x−7=(x−7)(x+1)>0
\n

Iloczyn jest dodatni, gdy oba czynniki mają ten sam znak:

\n

| Przedział | x+1 | x−7 | Iloczyn |
| x<−1 | − | − | + ✓ |
| −1<x<7 | + | − | − ✗ |
| x>7 | + | + | + ✓ |

\n

Wynik: x∈(−∞,−1)∪(7,+∞) - zgodny z Metodą 1.

\n

Sposób 1 - argument wierzchołka (część b)

\n

Wyznaczamy wierzchołek W paraboli f.

\n

Funkcja f(x)=x2−6x+12, więc a=1, b=−6, c=12.

\n
p=−b2a=−−62=3
\n
q=f(3)=9−18+12=3
\n

Wierzchołek: W=(3,3).

\n

Wyznaczamy obraz W′ w symetrii osiowej względem prostej x=6.

\n

Symetria względem x=6 odbija punkt (x,y) na (12−x,y), bo:

\n
x′=2·6−x=12−x
\n

Dla W=(3,3):

\n
W′=(12−3,3)=(9,3)
\n

Sprawdzamy wierzchołek danej paraboli y=(x−9)2+6.

\n

Parabola jest w postaci kanonicznej - odczytujemy wprost:

\n
W1=(9,6)
\n

Wniosek:

\n
W′=(9,3)≠(9,6)=W1
\n

Odbicie wykresu f ma wierzchołek w (9,3), a dana parabola ma wierzchołek w (9,6). Ponieważ wierzchołki są różne, parabole są różne. ◻

\n

Sposób 2 - sprawdzenie konkretnego punktu (część b)

\n

Wyznaczamy obraz innego punktu wykresu f i sprawdzamy, czy leży na y=(x−9)2+6.

\n

Weźmy x=6 (punkt leży na osi symetrii x=6, więc odbija się na siebie):

\n
f(6)=36−36+12=12⟹punkt (6,12) leży na wykresie f
\n

Obraz (6,12) w symetrii względem x=6:

\n
x′=12−6=6,y′=12⟹(6,12)
\n

(punkt na osi symetrii pozostaje na miejscu - to poprawne).

\n

Sprawdzamy, czy (6,12) leży na y=(x−9)2+6:

\n
(6−9)2+6=9+6=15≠12
\n

Punkt (6,12) nie leży na y=(x−9)2+6, choć powinien, gdyby ta parabola była obrazem f. Sprzeczność dowodzi, że obrazem nie jest podana parabola. ◻

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)

\n\n
Δ=b2−4ac
\n

Użyty w Sposobie 1 (część a) do wyznaczenia pierwiastków x1,x2.

\n\n
x1,2=−b±Δ2a
\n\n
p=−b2a,q=−Δ4a
\n

Użyty w części b) do wyznaczenia W=(3,3).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przy nierówności f(x)−19>0 uczniowie często zapominają odjąć 19 przed szukaniem pierwiastków i liczą Δ dla oryginalnej funkcji f - to błąd. Zawsze najpierw upraszczamy nierówność do postaci [trójmian]>0.
\n
⚠️ Uwaga: Przy symetrii osiowej względem x=k wzór na obraz to x′=2k−x, nie x′=x+k ani x′=k−x. Tu k=6, więc x′=12−x.
\n
⚠️ Uwaga: W zadaniu b) celem jest uzasadnienie, że parabole są różne - wystarczy znaleźć jeden punkt (np. wierzchołek), który się nie zgadza. Nie trzeba porównywać całych wzorów. Pokazanie W′≠W1 jest w pełni wystarczające!
\n

Poprawna odpowiedź: a) x∈(−∞,−1)∪(7,∞); b) obrazem wierzchołka W=(3,3) w symetrii względem prostej x=6 jest W′=(9,3); parabola y=(x−9)2+6 ma wierzchołek W1=(9,6), więc W′≠W1 - parabole są różne.

\n
Sposób 1 - Część a: rozwiązanie nierówności
\n

Zapisujemy nierówność f(x)−19>0:

\n
x2−6x+12−19>0
\n
x2−6x−7>0.
\n

Wyróżnik i pierwiastki:

\n
Δ=36+28=64,Δ=8.
\n
x1=6−82=−1,x2=6+82=7.
\n

Trójmian x2−6x−7 ma ramiona w górę (a=1>0), więc przyjmuje wartości dodatnie poza przedziałem [−1,7]:

\n
x∈(−∞,−1)∪(7,∞).
\n
Sposób 2 - Część b: porównanie wierzchołków
\n

Wierzchołek funkcji f:

\n
Wf=(−b2a,f(−b2a))=(3,f(3)).
\n
f(3)=9−18+12=3⇒Wf=(3,3).
\n

Obraz Wf w symetrii względem prostej x=6.
Symetria osiowa względem prostej pionowej x=6 zmienia tylko pierwszą współrzędną:

\n
(x,y)↦(12−x,y).
\n

Zatem:

\n
Wf′=(12−3,3)=(9,3).
\n

Wierzchołek paraboli y=(x−9)2+6:
Postać kanoniczna: W1=(9,6).

\n

Porównanie:

\n
Wf′=(9,3)≠(9,6)=W1.
\n

Obrazy wierzchołków się różnią, a każda parabola ma dokładnie jeden wierzchołek. Gdyby parabola y=(x−9)2+6 była obrazem f w podanej symetrii, to wierzchołek obrazu musiałby być wierzchołkiem tej paraboli. Ponieważ tak nie jest - obrazem f w tej symetrii nie jest parabola y=(x−9)2+6.

\n
Sposób 3 - Część b: wyznaczenie faktycznego obrazu f w symetrii
\n

Niech (x,y) leży na wykresie obrazu; wtedy punkt (12−x,y) leży na wykresie f:

\n
y=f(12−x)=(12−x)2−6(12−x)+12.
\n
y=144−24x+x2−72+6x+12=x2−18x+84.
\n

Postać kanoniczna:

\n
x2−18x+84=(x−9)2−81+84=(x−9)2+3.
\n

Faktyczny obraz: y=(x−9)2+3, a zadana parabola to y=(x−9)2+6 - są to różne parabole (przesunięte pionowo o 3).

\n
Komentarz dydaktyczny
\n

Symetria osiowa zachowuje kształt paraboli oraz odległości - zmienia tylko kierunek poziomy. Najszybszy sposób odrzucenia hipotezy "to ta sama parabola": porównać wierzchołki.

"}]}