{"id":"maturazai-matematyka-mma-p1d1p-021/zad/9","paper_id":"maturazai-matematyka-mma-p1d1p-021","number":"9","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Wykaż, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów sinusów miar wszystkich jego kątów wewnętrznych równa się \\(2\\).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: dowód\n\nTo zadanie otwarte - należy **wykazać** (udowodnić), że suma kwadratów sinusów wszystkich kątów wewnętrznych trójkąta prostokątnego wynosi 2.\n\n## Sposób 1 - wzory redukcyjne i jedynka trygonometryczna\n\n**Oznaczenia:** niech trójkąt prostokątny ma kąty \\(\\alpha\\), \\(\\beta\\) i kąt prosty \\(90°\\), przy czym kąt prosty jest jednym z kątów wewnętrznych.\n\n**Krok 1.** Z sumy kątów trójkąta:\n\\[\\alpha + \\beta + 90° = 180°\\]\n\\[\\alpha + \\beta = 90°\\]\n\\[\\beta = 90° - \\alpha\\]\n\n**Krok 2.** Zastosujemy wzór redukcyjny do \\(\\sin\\beta\\):\n\\[\\sin\\beta = \\sin(90° - \\alpha) = \\cos\\alpha\\]\n\n**Krok 3.** Wartość sinusa kąta prostego:\n\\[\\sin 90° = 1\\]\n\n**Krok 4.** Teraz obliczamy sumę kwadratów sinusów wszystkich trzech kątów:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\sin^2\\beta + \\sin^2 90° = \\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha + 1^2\\]\n\n**Krok 5.** Stosujemy jedynkę trygonometryczną \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\):\n\\[= 1 + 1 = \\mathbf{2}\\]\n\n**Co należało wykazać.** \\(\\square\\)\n\n## Sposób 2 - definicja sinusa przez boki trójkąta\n\nTo podejście geometryczne - wyrażamy sinusy wprost przez długości boków.\n\n**Oznaczenia:** niech \\(a, b\\) to przyprostokątne, \\(c\\) - przeciwprostokątna.\n\n- Kąt naprzeciwko boku \\(a\\) to \\(\\alpha\\), kąt naprzeciwko boku \\(b\\) to \\(\\beta\\)\n- Kąt prosty jest naprzeciwko \\(c\\)\n\n**Krok 1.** Z definicji sinusa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{a}{c}, \\quad \\sin\\beta = \\frac{b}{c}, \\quad \\sin 90° = 1\\]\n\n**Krok 2.** Sumujemy kwadraty:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\sin^2\\beta + \\sin^2 90° = \\frac{a^2}{c^2} + \\frac{b^2}{c^2} + 1 = \\frac{a^2 + b^2}{c^2} + 1\\]\n\n**Krok 3.** Z twierdzenia Pitagorasa: \\(a^2 + b^2 = c^2\\), więc:\n\\[\\frac{a^2 + b^2}{c^2} = \\frac{c^2}{c^2} = 1\\]\n\n**Krok 4.** Zatem:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\sin^2\\beta + \\sin^2 90° = 1 + 1 = \\mathbf{2}\\]\n\n**Co należało wykazać.** \\(\\square\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14):**\n\n- **Jedynka trygonometryczna:**\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyta w Sposobie 1 - kluczowy krok, dzięki któremu suma \\(\\sin^2\\alpha + \\sin^2\\beta\\) redukuje się do 1.\n\n- **Wzór redukcyjny:**\n\\[\\sin(90° - \\alpha) = \\cos\\alpha\\]\nUżyty w Sposobie 1 - pozwala zastąpić \\(\\sin\\beta\\) przez \\(\\cos\\alpha\\), co umożliwia zastosowanie jedynki.\n\n- **Wartość \\(\\sin 90° = 1\\)** - z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych (s. 11).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15):**\n\n- **Twierdzenie Pitagorasa:** \\(a^2 + b^2 = c^2\\)\nUżyte w Sposobie 2 - pozwala uprościć ułamek \\(\\frac{a^2 + b^2}{c^2}\\) do 1.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że kąt prosty \\(90°\\) **też jest kątem wewnętrznym trójkąta** i jego sinus też trzeba uwzględnić. Uczniowie często piszą tylko \\(\\sin^2\\alpha + \\sin^2\\beta\\) i próbują dowieść, że to równa się 2 - co jest błędem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór redukcyjny \\(\\sin(90° - \\alpha) = \\cos\\alpha\\) to nie \"oczywistość\" - należy go jawnie przywołać w dowodzie. Bez tego krok przejścia od \\(\\sin\\beta\\) do \\(\\cos\\alpha\\) nie jest uzasadniony.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 definicja \\(\\sin\\alpha = \\frac{a}{c}\\) działa **tylko w trójkącie prostokątnym** - jest to szczegółowy przypadek ogólnej definicji. Warto to zaznaczyć, bo takie ograniczenie jest zgodne z treścią zadania.\n\n**Teza:** W trójkącie prostokątnym \\(\\sin^{2}\\alpha + \\sin^{2}\\beta + \\sin^{2}\\gamma = 2\\).\n\n### Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna\nNiech kąty trójkąta prostokątnego mają miary \\(\\alpha\\), \\(\\beta\\), \\(\\gamma\\), przy czym \\(\\gamma = 90^{\\circ}\\). Wtedy:\n\\[\\alpha + \\beta + \\gamma = 180^{\\circ} \\Rightarrow \\alpha + \\beta = 90^{\\circ} \\Rightarrow \\beta = 90^{\\circ} - \\alpha.\\]\n\nSuma kwadratów sinusów:\n\\[\\sin^{2}\\alpha + \\sin^{2}\\beta + \\sin^{2}\\gamma = \\sin^{2}\\alpha + \\sin^{2}(90^{\\circ} - \\alpha) + \\sin^{2}90^{\\circ}.\\]\n\nKorzystamy z tożsamości redukcyjnej:\n\\[\\sin(90^{\\circ} - \\alpha) = \\cos\\alpha \\quad\\Rightarrow\\quad \\sin^{2}(90^{\\circ} - \\alpha) = \\cos^{2}\\alpha.\\]\n\nRównież \\(\\sin 90^{\\circ} = 1\\), czyli \\(\\sin^{2}90^{\\circ} = 1\\).\n\nStąd:\n\\[\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha + 1.\\]\n\nZ jedynki trygonometrycznej \\(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha = 1\\), więc:\n\\[\\sin^{2}\\alpha + \\sin^{2}\\beta + \\sin^{2}\\gamma = 1 + 1 = 2. \\quad \\blacksquare\\]\n\n### Sposób 2 - Z twierdzenia sinusów\nW trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej \\(c\\) i przyprostokątnych \\(a\\), \\(b\\):\n- \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{a}{c}\\), \\(\\sin\\beta = \\dfrac{b}{c}\\), \\(\\sin\\gamma = \\sin 90^{\\circ} = 1\\).\n\n**Suma kwadratów:**\n\\[\\sin^{2}\\alpha + \\sin^{2}\\beta + \\sin^{2}\\gamma = \\dfrac{a^{2}}{c^{2}} + \\dfrac{b^{2}}{c^{2}} + 1 = \\dfrac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}} + 1.\\]\n\nZ twierdzenia Pitagorasa \\(a^{2} + b^{2} = c^{2}\\):\n\\[= \\dfrac{c^{2}}{c^{2}} + 1 = 1 + 1 = 2. \\quad \\blacksquare\\]\n\n### Sposób 3 - Wzór ogólny\nDla dowolnego trójkąta \\(\\sin^{2}\\alpha + \\sin^{2}\\beta + \\sin^{2}\\gamma = 2 + 2\\cos\\alpha\\cos\\beta\\cos\\gamma\\). Dla \\(\\gamma = 90^{\\circ}\\): \\(\\cos\\gamma = 0\\), więc suma \\(= 2\\).\n\n### Komentarz dydaktyczny\nMetoda Pitagorasa jest najbardziej bezpośrednia - wiąże fakt geometryczny (prostokątny trójkąt) z trygonometrycznym. Tożsamość \\(\\sin(90^{\\circ} - \\alpha) = \\cos\\alpha\\) to kluczowy wzór redukcyjny warto go zapamiętać.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Wykaż, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów sinusów miar wszystkich jego kątów wewnętrznych równa się 2.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: dowód

\n

To zadanie otwarte - należy wykazać (udowodnić), że suma kwadratów sinusów wszystkich kątów wewnętrznych trójkąta prostokątnego wynosi 2.

\n

Sposób 1 - wzory redukcyjne i jedynka trygonometryczna

\n

Oznaczenia: niech trójkąt prostokątny ma kąty α, β i kąt prosty 90°, przy czym kąt prosty jest jednym z kątów wewnętrznych.

\n

Krok 1. Z sumy kątów trójkąta:

\n
α+β+90°=180°
\n
α+β=90°
\n
β=90°−α
\n

Krok 2. Zastosujemy wzór redukcyjny do sinβ:

\n
sinβ=sin(90°−α)=cosα
\n

Krok 3. Wartość sinusa kąta prostego:

\n
sin90°=1
\n

Krok 4. Teraz obliczamy sumę kwadratów sinusów wszystkich trzech kątów:

\n
sin2α+sin2β+sin290°=sin2α+cos2α+12
\n

Krok 5. Stosujemy jedynkę trygonometryczną sin2α+cos2α=1:

\n
=1+1=2
\n

Co należało wykazać. ◻

\n

Sposób 2 - definicja sinusa przez boki trójkąta

\n

To podejście geometryczne - wyrażamy sinusy wprost przez długości boków.

\n

Oznaczenia: niech a,b to przyprostokątne, c - przeciwprostokątna.

\n\n

Krok 1. Z definicji sinusa w trójkącie prostokątnym:

\n
sinα=ac,sinβ=bc,sin90°=1
\n

Krok 2. Sumujemy kwadraty:

\n
sin2α+sin2β+sin290°=a2c2+b2c2+1=a2+b2c2+1
\n

Krok 3. Z twierdzenia Pitagorasa: a2+b2=c2, więc:

\n
a2+b2c2=c2c2=1
\n

Krok 4. Zatem:

\n
sin2α+sin2β+sin290°=1+1=2
\n

Co należało wykazać. ◻

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14):

\n\n
sin2α+cos2α=1
\n

Użyta w Sposobie 1 - kluczowy krok, dzięki któremu suma sin2α+sin2β redukuje się do 1.

\n\n
sin(90°−α)=cosα
\n

Użyty w Sposobie 1 - pozwala zastąpić sinβ przez cosα, co umożliwia zastosowanie jedynki.

\n\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15):

\n\n

Użyte w Sposobie 2 - pozwala uprościć ułamek a2+b2c2 do 1.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że kąt prosty 90° też jest kątem wewnętrznym trójkąta i jego sinus też trzeba uwzględnić. Uczniowie często piszą tylko sin2α+sin2β i próbują dowieść, że to równa się 2 - co jest błędem.
\n
⚠️ Uwaga: Wzór redukcyjny sin(90°−α)=cosα to nie "oczywistość" - należy go jawnie przywołać w dowodzie. Bez tego krok przejścia od sinβ do cosα nie jest uzasadniony.
\n
⚠️ Uwaga: W Sposobie 2 definicja sinα=ac działa tylko w trójkącie prostokątnym - jest to szczegółowy przypadek ogólnej definicji. Warto to zaznaczyć, bo takie ograniczenie jest zgodne z treścią zadania.
\n

Teza: W trójkącie prostokątnym sin2α+sin2β+sin2γ=2.

\n
Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna
\n

Niech kąty trójkąta prostokątnego mają miary α, β, γ, przy czym γ=90∘. Wtedy:

\n
α+β+γ=180∘⇒α+β=90∘⇒β=90∘−α.
\n

Suma kwadratów sinusów:

\n
sin2α+sin2β+sin2γ=sin2α+sin2(90∘−α)+sin290∘.
\n

Korzystamy z tożsamości redukcyjnej:

\n
sin(90∘−α)=cosα⇒sin2(90∘−α)=cos2α.
\n

Również sin90∘=1, czyli sin290∘=1.

\n

Stąd:

\n
sin2α+cos2α+1.
\n

Z jedynki trygonometrycznej sin2α+cos2α=1, więc:

\n
sin2α+sin2β+sin2γ=1+1=2.∎
\n
Sposób 2 - Z twierdzenia sinusów
\n

W trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej c i przyprostokątnych a, b:

\n\n

Suma kwadratów:

\n
sin2α+sin2β+sin2γ=a2c2+b2c2+1=a2+b2c2+1.
\n

Z twierdzenia Pitagorasa a2+b2=c2:

\n
=c2c2+1=1+1=2.∎
\n
Sposób 3 - Wzór ogólny
\n

Dla dowolnego trójkąta sin2α+sin2β+sin2γ=2+2cosαcosβcosγ. Dla γ=90∘: cosγ=0, więc suma =2.

\n
Komentarz dydaktyczny
\n

Metoda Pitagorasa jest najbardziej bezpośrednia - wiąże fakt geometryczny (prostokątny trójkąt) z trygonometrycznym. Tożsamość sin(90∘−α)=cosα to kluczowy wzór redukcyjny warto go zapamiętać.

"}]}