{"id":"maturazai-matematyka-mma-p1g1p-021/zad/1","paper_id":"maturazai-matematyka-mma-p1g1p-021","number":"1","points":1,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2002,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Lewa strona równania \\(1+x^{2}+x^{4}+x^{6}+\\ldots+x^{2n}+\\ldots=3\\) jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego o ilorazie \\(x^{2}\\). Z warunku zbieżności mamy \\(x^{2}<1\\). Zatem dziedziną równania jest przedział \\((-1,1)\\). Równanie można zapisać w postaci \\(1+x^{2}(1+x^{2}+x^{4}+\\ldots)=3\\). Stąd \\(1+3x^{2}=3\\). Pierwiastkami ostatniego równania są liczby: \\(x_{1}=-\\frac{\\sqrt{6}}{3}\\), \\(x_{2}=\\frac{\\sqrt{6}}{3}\\) należące do dziedziny. Odpowiedź: Rozwiązaniami równania są liczby \\(x_{1}=-\\frac{\\sqrt{6}}{3}\\), \\(x_{2}=\\frac{\\sqrt{6}}{3}\\). Postępując w analogiczny sposób rozwiąż równanie: \\(1+x+x^{2}+x^{3}+\\ldots+x^{n}+\\ldots=2\\).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = \\dfrac{1}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego\n\n**Rozpoznajemy strukturę szeregu.**\n\nLewa strona równania:\n\\[1 + x + x^2 + x^3 + \\ldots + x^n + \\ldots\\]\nto suma nieskończonego ciągu geometrycznego o:\n- pierwszym wyrazie \\(a_1 = 1\\),\n- ilorazie \\(q = x\\).\n\n**Warunek zbieżności:** szereg zbiega wtedy i tylko wtedy, gdy \\(|q| < 1\\), czyli:\n\\[|x| < 1 \\iff x \\in (-1, 1)\\]\n\nTo jest dziedzina równania.\n\n**Korzystamy ze wzoru na sumę** nieskończonego ciągu geometrycznego:\n\\[S = \\frac{a_1}{1 - q} = \\frac{1}{1 - x}\\]\n\n**Stawiamy równanie:**\n\\[\\frac{1}{1-x} = 2\\]\n\n**Rozwiązujemy:**\n\\[1 = 2(1-x)\\]\n\\[1 = 2 - 2x\\]\n\\[2x = 1\\]\n\\[\\boxed{x = \\frac{1}{2}}\\]\n\n**Sprawdzamy dziedzinę:** \\(x = \\frac{1}{2} \\in (-1, 1)\\) - tak, należy do dziedziny. ✓\n\n## Sposób 2 - Metoda analogiczna do przykładu (wyciągnięcie \\(x\\) przed nawias)\n\nZadanie podpowiada metodę - skorzystamy dokładnie z tego samego triku co w przykładzie.\n\n**Zapisujemy lewą stronę inaczej:**\n\\[1 + x + x^2 + x^3 + \\ldots = 2\\]\n\nWyciągamy \\(x\\) przed nawias z wyrazów od drugiego:\n\\[1 + x(1 + x + x^2 + \\ldots) = 2\\]\n\n**Zauważamy**, że wyrażenie w nawiasie \\((1 + x + x^2 + \\ldots)\\) to dokładnie lewa strona naszego równania, czyli równa się \\(2\\):\n\\[1 + x \\cdot 2 = 2\\]\n\\[1 + 2x = 2\\]\n\\[2x = 1\\]\n\\[\\boxed{x = \\frac{1}{2}}\\]\n\nDziedzina: \\(x = \\frac{1}{2} \\in (-1, 1)\\) - spełniona. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego:\n\\[S = \\frac{a_1}{1-q}, \\quad \\text{dla } |q| < 1\\]\n\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 - podstawiliśmy \\(a_1 = 1\\), \\(q = x\\) i przyrównaliśmy do \\(2\\).\n\nWarunek zbieżności \\(|q| < 1\\) wyznaczył dziedzinę równania: \\(x \\in (-1, 1)\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o dziedzinie! Równanie ma sens tylko dla \\(|x| < 1\\). Gdyby wynik był np. \\(x = 2\\), należałoby go odrzucić jako spoza dziedziny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Iloraz ciągu to \\(q = x\\), a nie \\(q = x^2\\) jak w przykładzie z zadania. Nie kopiuj ślepo - sprawdź jaki jest iloraz w swoim szeregu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić wzór \\(\\frac{a_1}{1-q}\\) z \\(\\frac{a_1}{1+q}\\) - szczególnie gdy \\(q < 0\\). Sprawdź znak mianownika.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(x = 0{,}5\\)**\n\n### Sposób 1 - Analogia do zadania wzorcowego\nLewa strona \\(1 + x + x^{2} + x^{3} + \\ldots + x^{n} + \\ldots\\) jest sumą nieskończonego szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie \\(a_{1} = 1\\) i ilorazie \\(q = x\\).\n\n**Warunek zbieżności:** \\(|x| < 1\\), czyli \\(x \\in (-1, 1)\\) - to dziedzina równania.\n\n**Zapisanie równania w postaci wygodnej:**\n\\[1 + x(1 + x + x^{2} + \\ldots) = 2.\\]\nWyrażenie w nawiasie jest identyczne z całą lewą stroną, czyli równe \\(2\\). Zatem:\n\\[1 + x \\cdot 2 = 2\\]\n\\[1 + 2x = 2\\]\n\\[2x = 1 \\Rightarrow x = \\tfrac{1}{2} = 0{,}5.\\]\nSprawdzamy: \\(0{,}5 \\in (-1, 1)\\) ✓.\n\n### Sposób 2 - Wzór na sumę szeregu geometrycznego\nDla \\(|q| < 1\\): \\(S = \\dfrac{a_{1}}{1-q}\\). Tu \\(a_{1} = 1, q = x\\):\n\\[\\dfrac{1}{1-x} = 2 \\Rightarrow 1 = 2(1-x) \\Rightarrow 1 = 2 - 2x \\Rightarrow x = \\tfrac{1}{2}.\\]\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt - wyznaczenie dziedziny \\((-1, 1)\\) (dopuszczalne \\(|x| < 1\\));\n- 1 pkt - zapis \\(1 + x(1 + x + x^{2} + \\ldots) = 2\\);\n- 1 pkt - zapis \\(1 + 2x = 2\\);\n- 1 pkt - wyznaczenie \\(x = 0{,}5\\).\n\n**Trik:** szereg geometryczny \\(1 + q + q^{2} + \\ldots\\) ma sumę \\(\\dfrac{1}{1-q}\\), ale szybciej jest „wyjąć\" pierwszy wyraz i zauważyć, że reszta to ta sama suma - wtedy otrzymujemy równanie liniowe na sumę.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2002 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Lewa strona równania 1+x2+x4+x6+…+x2n+…=3 jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego o ilorazie x2. Z warunku zbieżności mamy x2<1. Zatem dziedziną równania jest przedział (−1,1). Równanie można zapisać w postaci 1+x2(1+x2+x4+…)=3. Stąd 1+3x2=3. Pierwiastkami ostatniego równania są liczby: x1=−63, x2=63 należące do dziedziny. Odpowiedź: Rozwiązaniami równania są liczby x1=−63, x2=63. Postępując w analogiczny sposób rozwiąż równanie: 1+x+x2+x3+…+xn+…=2.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: x=12

\n

Sposób 1 - Wzór na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego

\n

Rozpoznajemy strukturę szeregu.

\n

Lewa strona równania:

\n
1+x+x2+x3+…+xn+…
\n

to suma nieskończonego ciągu geometrycznego o:

\n\n

Warunek zbieżności: szereg zbiega wtedy i tylko wtedy, gdy |q|<1, czyli:

\n
|x|<1⟺x∈(−1,1)
\n

To jest dziedzina równania.

\n

Korzystamy ze wzoru na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego:

\n
S=a11−q=11−x
\n

Stawiamy równanie:

\n
11−x=2
\n

Rozwiązujemy:

\n
1=2(1−x)
\n
1=2−2x
\n
2x=1
\n
x=12
\n

Sprawdzamy dziedzinę: x=12∈(−1,1) - tak, należy do dziedziny. ✓

\n

Sposób 2 - Metoda analogiczna do przykładu (wyciągnięcie x przed nawias)

\n

Zadanie podpowiada metodę - skorzystamy dokładnie z tego samego triku co w przykładzie.

\n

Zapisujemy lewą stronę inaczej:

\n
1+x+x2+x3+…=2
\n

Wyciągamy x przed nawias z wyrazów od drugiego:

\n
1+x(1+x+x2+…)=2
\n

Zauważamy, że wyrażenie w nawiasie (1+x+x2+…) to dokładnie lewa strona naszego równania, czyli równa się 2:

\n
1+x·2=2
\n
1+2x=2
\n
2x=1
\n
x=12
\n

Dziedzina: x=12∈(−1,1) - spełniona. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego:

\n
S=a11−q,dla |q|<1
\n

Użyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 - podstawiliśmy a1=1, q=x i przyrównaliśmy do 2.

\n

Warunek zbieżności |q|<1 wyznaczył dziedzinę równania: x∈(−1,1).

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj o dziedzinie! Równanie ma sens tylko dla |x|<1. Gdyby wynik był np. x=2, należałoby go odrzucić jako spoza dziedziny.
\n
⚠️ Uwaga: Iloraz ciągu to q=x, a nie q=x2 jak w przykładzie z zadania. Nie kopiuj ślepo - sprawdź jaki jest iloraz w swoim szeregu.
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić wzór a11−q z a11+q - szczególnie gdy q<0. Sprawdź znak mianownika.
\n

Poprawna odpowiedź: x=0,5

\n
Sposób 1 - Analogia do zadania wzorcowego
\n

Lewa strona 1+x+x2+x3+…+xn+… jest sumą nieskończonego szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie a1=1 i ilorazie q=x.

\n

Warunek zbieżności: |x|<1, czyli x∈(−1,1) - to dziedzina równania.

\n

Zapisanie równania w postaci wygodnej:

\n
1+x(1+x+x2+…)=2.
\n

Wyrażenie w nawiasie jest identyczne z całą lewą stroną, czyli równe 2. Zatem:

\n
1+x·2=2
\n
1+2x=2
\n
2x=1⇒x=12=0,5.
\n

Sprawdzamy: 0,5∈(−1,1) ✓.

\n
Sposób 2 - Wzór na sumę szeregu geometrycznego
\n

Dla |q|<1: S=a11−q. Tu a1=1,q=x:

\n
11−x=2⇒1=2(1−x)⇒1=2−2x⇒x=12.
\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: szereg geometryczny 1+q+q2+… ma sumę 11−q, ale szybciej jest „wyjąć" pierwszy wyraz i zauważyć, że reszta to ta sama suma - wtedy otrzymujemy równanie liniowe na sumę.

"}]}